二次函数讲义-有例题讲解和作业.docx

一、二次函数的概念
1、定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2、注意点：
（1）二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0，而b、c为任意实数。
（2）当b=c=0时，二次函数是最简单的二次函数。
（3）二次函数是常数，自变量的取值为全体实数 （为整式）
3、三种函数解析式：
（1）一般式： y=ax2+bx+c（a≠0），
对称轴：直线x= 顶点坐标：( )
（2）顶点式：（a≠0），
对称轴：直线x= 顶点坐标为（, ）

（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,

对称轴:直线x=
(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).

二、二次函数的图象
1、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.
2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.
注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到
3、二次函数的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.

三、二次函数的性质
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（0,0）

（轴）
(0, )

(,0)

(,)

()

注：常用性质：

1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；
当a<0时，函数开口方向向下；
2、增减性：
当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；
当a<0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；
3、最大或最小值：
当a>0时，函数有最小值，并且当x= ， y最小 ＝
当a<0时，函数有最大值，并且当x= ， y最大 ＝
例题精讲
1关于抛物线（a≠0），下面几点结论中，正确的有（ ）
① 当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当
a<0时，情况相反.
② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.
③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.
④ 一元二次方程（a≠0）的根，就是抛物线与x轴
交点的横坐标.
A.①②③④ B.①②③ C. ①② D.①

重庆市2007已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线（≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。
注：抛物线（≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为

（1）过点C作CH⊥轴，垂足为H
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2
∴OB＝4，OA＝
由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝
∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3
∴C点坐标为（，3）
（2）∵抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点
∴ 解得：
∴此抛物线的解析式为：
（3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C
MP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝300，所以ON＝
∴P（，）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
把代入得：
∴ M（，），E（，）
同理：Q（，），D（，1）
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD
即，解得：，（舍）
∴ P点坐标为（，）
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）

徐州市200725.某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。
解：

、（2006山东潍坊）已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
[解]（1）把代入得，
一次函数的解析式为；
二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，
设二次函数解析式为，
把代入得，
二次函数解析式为．
（2）由
解得或，
，
过点分别作直线的垂线，垂足为，
则，
直角梯形的中位线长为，
过作垂直于直线于点，则，，
，
的长等于中点到直线的距离的2倍，
以为直径的圆与直线相切．
（3）平移后二次函数解析式为，
令，得，，，
过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，
要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，
此时，半径为2，面积为，
设圆心为中点为，连，则，
在三角形中，，
，而，，
当时，过三点的圆面积最小，最小面积为．

作业：
一、选择题：
1、已知二次函数的图像与轴的交点坐标为（0，），与轴的交点坐标为（，0）和（，0），若＞0，则函数解析式为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、形状与抛物线相同，对称轴是，且过点（0，3）的抛物线是（ ）
A、 B、
C、 D、或
3、已知一次函数的图像与轴、轴分别交于A、C两点，二次函数的图像过点C且与一次函数图像在第二象限交于另一点B，若AC∶CB＝1∶2，则二次函数图像的顶点坐标为（ ）
A、（－1，3） B、（，） C、（，） D、（，）
4、已知二次函数的最大值是2，它的图像交轴于A、B两点，交轴于C点，则＝ 。
二、填空题：
1、已抛物线过点A（－1，0）和B（3，0），与轴交于点C，且BC＝，则这条抛物线的解析式为 。
2、已知二次函数的图像交轴于A、B两点，对称轴方程为，若AB＝6，且此二次函数的最大值为5，则此二次函数的解析式为 。
3、如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。（精确到0.1米）
4、已知抛物线与抛物线的形状相同，顶点在直线，且顶点到轴的距离为，则此抛物线的解析式为 。
三、解答题：
1、已知抛物线交轴于A、B两点，点A在轴左侧，该图像对称轴为，最高点的纵坐标为4，且。
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M在轴上方的抛物线上，且，求点M的坐标。

2、如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，点P是线段AB的中点，抛物线经过点A、P、O（原点）。
（1）求过A、P、O的抛物线解析式；
（2）在（1）中所得到的抛物线上，是否存在一点Q，使∠QAO＝450，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。