线性规划目标函数及基本不等式常见类型梳理.doc

授课提纲
一、线性规划问题中目标函数常见类型梳理
1、基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）
2、直线的斜率型
3、平面内两点间的距离型（或距离的平方型）
4、点到直线的距离型
5、变换问题研究目标函数
二、基本不等式
1、（1）基本不等式若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
(2)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
(3)若，则 (当且仅当时取“=”）
2、利用基本不等式求值技巧
授课主要内容：
一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）
例1.已知实数x、y满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．5 B．-6 C．10 D．-10
变式练习一： 若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为 ．
变式练习二：设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为______．

二 直线的斜率型
例2.已知实数x、y满足不等式组,求函数的值域.
变式练习一：若x，y满足约束条件，则的最大值为 .
变式练习二：11.若实数满足，则的取值范围为（ ）

三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）
例3. 已知实数x、y满足，则的最值为___________.

解析：目标函数，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，。
变式练习一：设实数，满足约束条件 则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
变式练习二：

四 点到直线的距离型
例4.已知实数x、y满足的最小值。

解析：目标函数，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：
(-2,1)
1

O
x
y
2x+y=1

点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得，故
同步训练：已知实数x、y满足,则目标函数的最大值是____。
五 变换问题研究目标函数
例5.已知，且的最大值是最小值的3倍，则a等于（ ）
A．或3 B． C．或2 D．
解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，
准确画图找到可行域是关键.如图所示，
点和B点分别取得最小值和最大值. 由
，由得
B(1，1). ∴. 由题意B

变式练习一：如果实数满足条件：，则的最大值是 ▲ ．
基本不等式
考点一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋

技巧一：凑项
例1：已知，求函数的最大值。

技巧二：凑系数
例1. 当时，求的最大值。

技巧三： 分离
例3. 求的值域。

技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。

解：令，则
因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。
因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。
所以，所求函数的值域为。
考点二：条件求最值
1.若实数满足，则的最小值是 .
2：已知，且，求的最小值。
变式： （1）若且，求的最小值

技巧七、已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。
同时还应化简中y2前面的系数为 ， x＝x ＝x·
技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

法一：a＝， ab＝·b＝
　　　由a＞0得，0＜b＜1
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
　　　∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2
　　　令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
　　　∴≤3，ab≤18，∴y≥

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

作业：
1、求函数最小值.

2、求函数最小值.

3、若，则函数最小值为 .
4、已知，，且，求的最小值.
5、已知，，且，求的最小值.

6、设若的最小值为 （ ）
A 8 B 4 C 1 D
6