反比例函数(面积、动点)专项训练二.doc

九年级数学上期专项训练题二《反比例函数》
【热身训练】
要求：快速完成！并写出方法小结或感悟！
1．（2013•乌鲁木齐）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且AE=BE，则△OEF的面积的值为　 　．

考点：
反比例函数系数k的几何意义．3797161
分析：
连接OB．首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得出S△AOE=S△COF=1.5，然后由三角形任意一边的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F是BC的中点，则S△BEF=S△OCF=0.75，最后由S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF，得出结果．
解答：
解：连接OB．
∵E、F是反比例函数y=（x＞0）的图象上的点，EA⊥x轴于A，FC⊥y轴于C，
∴S△AOE=S△COF=×3=．
∵AE=BE，
∴S△BOE=S△AOE=，S△BOC=S△AOB=3，
∴S△BOF=S△BOC﹣S△COF=3﹣=，
∴F是BC的中点．
∴S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF=6﹣﹣﹣×=．
故答案是：．

点评：
本题主要考查反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．得出点F为BC的中点是解决本题的关键．
2．如图,已知直线与双曲线交于、两点，点的坐标为，为双曲线上一点，且在第一象限内，若△的面积为6，则点的坐标为 （2,4） ．
[来源:学&科&网Z&X&X&K]

3．（2013•雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）

考点：
反比例函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
（1）过点A作AD⊥x轴于D，根据A、C的坐标求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式；
（2）求出反比例函数和一次函数的另外一个交点即可；
（3）分两种情况：①AE⊥x轴，②EA⊥AC，分别写出E的坐标即可．
解答：
解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，
∵C的坐标为（﹣2，0），A的坐标为（n，6），
∴AD=6，CD=n+2，
∵tan∠ACO=2，
∴==2，
解得：n=1，
故A（1，6），
∴m=1×6=6，
∴反比例函数表达式为：y=，
又∵点A、C在直线y=kx+b上，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y=2x+4；

（2）由得： =2x+4，
解得：x=1或x=﹣3，
∵A（1，6），
∴B（﹣3，﹣2）；

（3）分两种情况：①当AE⊥x轴时，
即点E与点D重合，
此时E1（1，0）；
②当EA⊥AC时，
此时△ADE∽△CDA，
则=，
DE==12，
又∵D的坐标为（1，0），
∴E2（13，0）．

点评：
本题考查了反比例函数的综合题，涉及了点的坐标的求法以及待定系数法求函数解析式的知识，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
【例题精解】
4．（2013•义乌市）如图1所示，已知y=（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．
（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；
（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2，求此时P点的坐标；
（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．

考点：
反比例函数综合题
分析：
（1）根据同底等高的两个三角形的面积相等即可求出△PAB的面积；
（2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后证明△ABQ≌△ANQ，进而求出∠BAO=30°，由S四边形BQNC=2求出OA=3，于是P点坐标求出；
（3）分两类进行讨论，当点Q在线段BD上，根据题干条件求出AQ的长，进而求出四边形的周长，当点Q在线段BD的延长线上，依然根据题干条件求出AQ的长，再进一步求出四边形的周长．
解答：
解：（1）S△PAB=S△PAO=xy=×6=3；

（2）如图1，∵四边形BQNC是菱形，
∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，
∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，
∴BC=CQ=AQ，
∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，
在△ABQ和△ANQ中，
，
∴△ABQ≌△ANQ，
∴∠BAQ=∠NAQ﹣30°，
∴∠BAO=30°，
∵S四边形BQNC=2，
∴BQ=2，
∴AB=BQ=2，
∴OA=AB=3，
又∵P点在反比例函数y=的图象上，
∴P点坐标为（3，2）；

（3）∵OB=1，OA=3，
∴AB=，
∵△AOB∽△DBA，
∴=，
∴BD=3，
①如图2，当点Q在线段BD上，
∵AB⊥BD，C为AQ的中点，
∴BC=AQ，
∵四边形BNQC是平行四边形，
∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，
∴==，
∴BQ=CN=BD=，
∴AQ=2，
∴C四边形BQNC=2+2；
②如图3，当点Q在线段BD的延长线上，
∵AB⊥BD，C为AQ的中点，
∴BC=CQ=AQ，
∴平行四边形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，
∴==，
∴BQ=3BD=9，
∴AQ===2，
∴C四边形BNQC=2AQ=4．

点评：
本题主要考查反比例函数综合题的知识，此题涉及的知识有全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质以及菱形等知识，综合性较强，有一定的难度．

【形成练习】
1．（2013•六盘水）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

考点：
根的判别式；一元二次方程的定义．3718684
专题：
计算题．
分析：
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
解答：
解：根据题意得：△=b2﹣4ac=4﹣4（k﹣1）=8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，
解得：k＜2，且k≠1．
点评：
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．

2．（2013•荆州）已知：关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．

考点：
根的判别式；根与系数的关系
分析：
（1）确定判别式的范围即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可．
解答：
（1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根；
②当k≠0时，方程是一元二次方程，
∵△=（3k﹣1）2﹣4k×2（k﹣1）=（k﹣1）2≥0，
∴无论k为何实数，方程总有实数根．

（2）解：∵此方程有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=，x1x2=，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，即﹣4×=4，
解得：=±2，
即k=1或k=﹣．
点评：
本题考查了根的判别式及根与系数的关系，属于基础题，这些用到的知识点是需要我们熟练记忆的内容．
3．（2013•重庆）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：
①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，）．
其中正确结论的个数是（　　）

考点：
反比例函数综合题
专题：
压轴题；探究型．
分析：
根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S△ONC=S△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，而OC=OA，则NC=AM，在根据“SAS”可判断△OCN≌△OAM；根据全等的性质得到ON=OM，由于k的值不能确定，则∠MON的值不能确定，所以确定△ONM为等边三角形，则ON≠MN；根据S△OND=S△OAM=k和S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，即可得到S四边形DAMN=S△OMN；作NE⊥OM于E点，则△ONE为等腰直角三角形，设NE=x，则OM=ON=x，EM=x﹣x=（﹣1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x2=2+，所以ON2=（x）2=4+2，易得△BMN为等腰直角三角形，得到BN=MN=，设正方形ABCO的边长为a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值为+1，从而得到C点坐标为（0，+1）．
解答：
解：∵点M、N都在y=的图象上，
∴S△ONC=S△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠ONC=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，所以①正确；
∴ON=OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，
∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ON≠MN，所以②错误；
∵S△OND=S△OAM=k，
而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，
∴四边形DAMN与△MON面积相等，所以③正确；
作NE⊥OM于E点，如图，
∵∠MON=45°，
∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE=OE，
设NE=x，则ON=x，
∴OM=x，
∴EM=x﹣x=（﹣1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（﹣1）x]2，
∴x2=2+，
∴ON2=（x）2=4+2，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴BN=MN=，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a﹣，
在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a﹣）2=4+2，解得a1=+1，a2=﹣1（舍去），
∴OC=+1，
∴C点坐标为（0，+1），所以④正确．

点评：
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．
4．（2013•烟台）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：
（1）求出OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标．
解答：
解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=2，
将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，
∴M（2，2），
把M的坐标代入y=得：k=4，
∴反比例函数的解析式是y=；
（2）∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
=4×2﹣4=4，
由题意得： OP×AM=4，
∵AM=2，
∴OP=4，
∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．
点评：
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中．

第10页