指数函数、对数函数性质应用.docx

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第七周　指数函数、对数函数性质应用
重点知识梳理
1. 指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
图象
0<a<1
a>1

图象特征
在x轴上方，过定点(0,1)
性质
定义域
值域
单调性
函数值变化规律
R
(0，＋∞)
减函数
增函数
当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0<y<1
当x<0时，0<y<1；
当x>0时，y>1

2．对数函数的图象和性质
y＝logax
a>1
0<a<1
图象

性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数

3.求解与指数函数、对数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数、对数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．
典型例题剖析

例1　求下列函数的定义域
(1)f(x)＝；
(2)y＝.
【解析】(1)由1－2log6x≥0，解得log6x≤⇒0＜x≤，故所求定义域为(0， ]．
(2)由32x－1－≥0，得32x－1≥＝3－2，
∵y＝3x为增函数，∴2x－1≥－2，即x≥－，此函数的定义域为.
变式训练　函数f(x)＝＋log2(x－1)的定义域是(　　)
A．(1,2] B．[1,2]
C．(1，＋∞) D．[2，＋∞)
【答案】A
【解析】要使函数有意义，则，即，∴1＜x≤2，
即函数的定义域为(1,2]，
故选A.
例2　(1)已知函数f(x)＝()|x|－a，则函数f(x)的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
(2) 已知函数f(x)＝log(2x2＋x)，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，－) B．(－，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－)
【答案】(1)(－∞，0]　[0，＋∞)　(2)D
【解析】(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝()t，
不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，
又y＝()t是单调递减的，
因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．
(2)由2x2＋x>0，得x>0或x＜－，
令h(x)＝2x2＋x，则h(x)的单调减区间为(－∞，－)．
又∵x＜－，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－)．
故选D.
变式训练　函数f(x)＝loga(1－ax)在(1,3)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0，)
C．(，1) D．(0，]
【答案】D
【解析】令y＝logat，t＝1－ax，
∵a>0，∴t＝1－ax在(1,3)上单调递减．
∵f(x)＝loga(1－ax)(a>0且a≠1)在区间(1,3)内单调递增，
∴函数y＝logat是减函数，且t(x)>0在(1,3)上恒成立，
∴，∴0＜a≤.
故选D.
例3　(1)函数y＝()x－()x＋1在x∈[－3,2]上的值域是________．
(2) 已知函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x<4，求f(x)的最值，并给出函数取得最值时相应的x的值．
【答案】(1)[，57]
【解析】(1)因为x∈[－3,2]，若令t＝()x，则t∈.
y＝t2－t＋1＝2＋，
当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.
∴ 值域为.
(2)设t＝log2x，≤x<4，
∴log2≤t<log24，∴－2≤t＜2.
f(x)＝log2(4x)·log2(2x)
＝(log24＋log2x)(log22＋log2x)
＝(2＋log2x)(1＋log2x)＝(2＋t)(1＋t)
＝t2＋3t＋2＝2－，
∵－2≤t＜2，
∴当t＝－ 即x＝2时，
f(x)取得最小值，且fmin＝－.f(x)无最大值．
变式训练　函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为(　　)
A. B. C．1 D．2
【答案】B
【解析】函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，∵x＝1时，f(x)＝0，x＝3或x＝时，f(x)＝1，
∴1∈[a，b]，3和至少有一个在区间[a，b]上，
∴b－a的最小值为1－＝，
故选B.
跟踪训练

1．已知集合M＝，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则∁R(M∩N)等于(　　)
A．[1,2) B．(－∞，1)∪[2，＋∞)
C．[0,1] D．(－∞，0)∪[2，＋∞)
2．已知a＝2，b＝2，c＝，则(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞a＞b
3．函数y＝log(x2－3x＋2)的递增区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(2，＋∞)
C．(－∞，) D．(，＋∞)
4．f(x)＝lg(x2＋a)的值域为R，则实数a可以是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．10
5．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，3)
C．(，3) D．(1,3)
6．已知函数在f(x)＝log0.5(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(5，＋∞) B．[5，＋∞)
C．(－∞，3) D．(3，＋∞)
7．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－) B．(－，＋∞)
C．(－∞，－) D．(0，＋∞)
8．不等式<2x＋a－2恒成立，则a的取值范围是________．
9．函数y＝的定义域为________，值域为________．
10．不等式log(4x＋2x＋1)＞0的解集为________．
11．设0≤x≤2，y＝4－3·2x＋5，试求该函数的最值．

12．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围；
(2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

13．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值以及y取最大值时x的值．

参考答案
1．B　由题意可得M＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，N＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，
∴M∩N＝{x|1≤x＜2}＝[1,2)，
∴∁R(M∩N)＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，
故选B.
2．D　c＝＝210－1＝2，
∵log32.7＜log34.1＜log310，
且函数y＝2x为增函数，
∴2＜2＜2，
故c＞a＞b，
故选D.
3．A　由x2－3x＋2>0得x＜1或x>2，
当x∈(－∞，1)时，f(x)＝x2－3x＋2单调递减，
而0＜＜1，
由复合函数单调性可知y＝log(x2－3x＋2)在(－∞，1)上是单调递增的．
同理，y＝log(x2－3x＋2)在(2，＋∞)上是单调递减的．
故选A.
4．A
5．D　由题意可得，解得1＜a＜3，
故选D.
6．B　函数的定义域为{x|x>5或x＜1}．
令t＝x2－6x＋5，
则t＝x2－6x＋5在区间(5，＋∞)单调递增．
∵0＜0.5＜1，
根据复合函数的单调性可知函数f(x)＝log0.5(x2－6x＋5)在(5，＋∞)上是减函数．
∵函数f(x)＝log0.5(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，
∴a≥5.
故选B.
7．C　当x∈(0，)时，2x2＋x∈(0,1)，∴0＜a＜1.
∵函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)
由f(x)＝logat和t＝2x2＋x复合而成，
0＜a＜1时，f(x)＝logat在(0，＋∞)上是减函数，
∴只要求t＝2x2＋x>0的单调递减区间．
∵t＝2x2＋x>0的单调递减区间为(－∞，－)，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，－)，
故选C.
8．(－2,2)
解析　由题意，考察y＝x，是一个减函数，
∵ <2x＋a－2恒成立，
∴x2＋ax＞2x＋a－2恒成立，
∴x2＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立，
∴Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)＜0，
即(a－2)(a－2＋4)＜0，
即(a－2)(a＋2)＜0，
故有－2＜a＜2，即a的取值范围是(－2,2)．
故答案为(－2,2)．
9．(－∞，4]∪[0,4)
解析　要使函数y＝的解析式有意义，
自变量x须满足16－2x≥0，即2x≤16＝24，
解得x≤4，
故函数y＝的定义域为(－∞，4]．
又∵2x＞0，
∴0≤16－2x＜16，
则0≤＜4，
故函数y＝的值域为[0,4)．
故答案为(－∞，4]∪[0,4)．
10．(－∞，log2(－1))
解析　由log(4x＋2x＋1)＞0，得4x＋2x＋1＜1，
即(2x)2＋2·2x＜1，配方得(2x＋1)2＜2，
所以2x＜－1，两边取以2为底的对数，
得x＜log2(－1)．
11．解析　令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，
∴y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5
＝(t－3)2＋，t∈[1,4]．
∵y＝(t－3)2＋在[1,3]上是减函数，
在[3,4]上是增函数，
∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.
12．解析　(1)因为f(x)的定义域为R，所以ax2＋2x＋3＞0对任意x∈R恒成立，
显然a＝0时不合题意，从而必有，
解得a＞，
即a的取值范围是(，＋∞)．
(2)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，
因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函数定义域为(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，
又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．
(3)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有，解得a＝.
故存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.
13．解析　∵f(x)＝2＋log3x，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2
＝(2＋log3x)2＋2＋2log3x＝(log3x)2＋6log3x＋6
＝(log3x＋3)2－3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9]，
∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，
必须满足，
∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，
∴6≤y＝(log3x＋3)2－3≤13.
当log3x＝1，即x＝3时，y＝13.
∴当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13.

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