函数凹凸性的性质判定及应用.doc

函数凹凸性的判定性质及应用曹阳 数学计算机科学学院摘 要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一元到二元，即增加了一个变量，那么对于元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至元的情形，给出元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用； Convex function of Judge Properties and ApplicationsAbstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application. Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications; 1.引言 凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。凸函数在大学数学中很少具有直接的运用，而导数在函数图像的凹凸性研究是大学数学中一个重要的知识点，这说明凸性在大学数学，特别是数学分析中的应用没有得到应有的正视，长期以来，凸函数被热为只在一些具体学科，如机器人学，模具设计或一些数学分支（如全局优化，运筹学等）中具有重要的运用，而在大学数学中没有应用。本文将重点探讨凸函数在分析学中的一些简单应用。在本文中，我们首先给出凸函数的多种定义，性质，然后探讨二元与多元的情况下凸函数的定义，判定及性质。2. 一元函数凹凸性的判定2.1凸函数的多种定义及等价证明下面先先给出凸函数的13种常见定义。假设IR，f:IR.定义2.1.11： f在I内连续（）,则称f为凸函数。定义2.1.21：若则称f为凸函数定义2.1.31：的行列式0，则称f为凸函数定义2.1.41：，则称f为凸函数定义2.1.51:，则称f(x)为凸函数定义2.1.61： 则称f(x)为凸函数定义2.1.71：若在内存在单增函数,I, xI,有（）（），则称f为凸函数。定义2.1.81：设f在I上连续，且有，则称f为凸函数。定义2.1.91：若，（）（），则称f为凸函数。定义2.1.101：若在内可导，有（）（）（）（），则称f为凸函数。定义2.1.111：若在可导，且（）单调递增，则称f为凸函数。定义2.1.121：在内二次可导，（），则称f为凸函数。定义2.1.131：在区间上凸函数的充要条件是：函数为0,1上的凸函数， 下面给出几种定义间的相互证明。定理2.1.11若在区间上可导，则定义定义证明：因为在内存在单增函数，（）（） （）故对于，不妨设，有：（）（） （）将式（）两边关于求导，得（）（）（），得：（）（）（）；（）因为单调递增，且，所以，式（）可化为：（）（）（）（）（）（）即（）（）（）（）定理2.1.21： 若在上连续，则定义定义。证明：因为为上的凸函数，故：（）特别地，当时，有（）先证不等式的左边I，由实数的性质知在上可确定一个闭区间，若，则关于的对称点是，而在上连续，所以积分存在，所以：即下证不等式的右边作变换即，故定理2.1.31若在上二次可导，则定义定义。证明因，令，即（）（）（）（）；又因为在上可导，则在上连续，故由极限的性质可知因为具有二阶导数，所以，即，都有，设为上任意固定点，则定理2.1.41定义定义2证明因为（）在内可导，且单调递增，I, 且。可确定两个区间，曲线（）在（，（）的切线方程为（）（）故横坐标为的曲线的纵坐标与切线纵坐标之差为：（）（）（）（）而（）在内可导，而，故（）在内连续，在（）上可导，所以（）在上满足拉格朗日中值定理，即（），（。由式（），当时，有：（）（）（）（）同理（）在上满足拉格朗日中值定理，即（），（。由式（），当时，有：（）（）（）（）。由式（）得，由式（）得，所以2.2凹函数的多种定义及等价证明凹函数的13种常见定义。定义2.2.11： f在I内连续（）,则称f为凹函数。定义2.2.21：若则称f为凹函数定义2.2.31：的行列式0，则称f为凹函数定义2.2.41则称f为凹函数定义2.2.51 :，则称f为凹函数定义2.2.61： 则称f为凹函数定义2.2.71：若在内存在单减函数,I, xI,有（）（），则称f为凹函数。定义2.2.81：设f在I上连续，则称f为凹函数定义2.2.91：若，（）（），则称f为凹函数。定义2.2.101：若在内可导，有（）（）（）（），则称f为凹函数。定义2.2.111：若在可导，且（）单调递减，则称f为凹函数。定义2.2.121：在内二次可导，（），则称f为凹函数。定义2.2.131：在区间上凹函数的充要条件是：函数。为0,1上的凹函数。几种定义间的推到证明即可类比与凸函数的情况2.3关于凸凹函数性质的总结上一段为凸（或凹）函数的十三种定义及部分定义间的相互证明，这一段在此基础上就凸（或凹）函数的性质方面作进一步思考。根据上文所提到的定义，可知性质2.3.12：当在上一阶可导时，由在单增（或减），证明：必要性：计算（介于和之间）由于在单增（或减），可知上面两个因子同号，故有或充分性：设，有或。当而时就有或（或两式相加即有或由可见即f在I上I上单减（或单增）性质2.3.22设在上可导，在下凸（或上凹）或由于是过的曲线的切线，由于上面不等式的几何意义是：下凸（上凹）曲线总在曲线上的任一点的切线之上（下）。性质2.3.32：当在上二阶可导时，则可得当在上二阶可导时，在下凸（或上凹）证明：必要性：在上二阶可导，且下凸（或上凹）在I上单增（或单减）或充分性：，有或据上面的证明中徳充分性，可知已做；额下面证明链的证明：或f在I上单增或单减）性质2.3.42：若在上可导，则下述两个断语等价：（）（）证明：（）（）令则于是或两式相加，即得或过点与的弦为亦即（或）当令上式中的是两点横坐标的差）令当此时两点的横坐标缩小一半时），上式仍然成立或，用数学归纳法易证有或，此即或2.4 一元函数凹凸性判定定理及其应用定理2.4.11： 设，（1）若的图形在上是凸的，则（2）若的图形在上是凹的，则证 先证（1）：由于的图形在上是凸的，可知在 连续，在内可导。因为，在上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得。有由于的图形在上是凸的，有在上单调递减，得到，从而有同理可证（2）几何意义 如图所示，在弧AB上任取两点，其中，若的图形在上是凸的（或凹的），则弦MN的斜率小于（大于）过点N的切线斜率，大于（小于）过点M的切线斜率，即弦MN斜率的大小总是在过两端点的切线的斜率之间。:定理2.4.22 :设（1）若的图形在上是凸的，则（2）若的图形在上是凹的，则证明 因为在连续，在内可导，故在上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得令则=其中（1）若的图形在上是凸的，则，在上单调递减，于是，从而，即在上单调递减。取则有即 同理可证凹函数。几何意义 如图所示，在弧AB上任取3点，其中。当的图形在上是凸的(凹的)时，弦MN的斜率大于(小于)弦MP的斜率（1）函数凹凸性的直观解题法以函数在某区间I 上单调增加为例说明我们不难理解,随着自变量x的稳定增加,当函数y的增量越来越大时,函数图形是凹的,当函数y 的增量越来越小时,函数图形是凸的,当函数y的增量保持不变时,函数图像是直线. 对于减函数我们可以作类似的分析.例题例 如图，液体从一圆锥形漏斗流入正方体容器中，开始时漏斗盛满液体，经过50 秒漏完!已知正方体容器液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥中液面下落的距离,则H 与下落时间t(秒)的函数关系用图像表示只可能是以下哪一选项?分析: 不难看出圆锥中液面下落的距离H 随着时间t 是单调增加的函数, 由于正方体中液面上升的速度是一个常量,所以自变量t 是稳定增加的,因此液体从漏斗漏出的速度为一常量. 又由于圆锥的截面越向下越小,所以随着时间t的稳定增加,圆锥中液面下降的距离H 的变化将越来越快,H关于t 的函数图形应是凹的，故正确答案选(B)例2：用凸函数方法证明younger不等式：均为正数证明：令 则为凹函数。从而或由的单调增加性：即我们可以推广至三元甚至n元的情况均为正数证明:令则为凹函数。从而或从而例3：证明：对任何正数，当时，有证明：注意不等式系数之和且及系数均为正数，可考虑用凸，凹函数证明。设为凹函数，故由的单调增加性知：即例4：为内的凹函数，证明对任意的有证明：由知，存在使得记于是对若取由于f(x) 为凸函数，故从而若可取由于f(x)为凸函数，有成立，若亦成立，综上所述(2）应用凹凸性的常规定义证题对函数凹凸性定义, 不同教材有不同的定义形式,下面给出其中一种定义形式:设在区间I 上连续,如果对I 上任意两点都有那么称在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果对I上任意两点都有,那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).一般地,看.是区间I上的凹函数,则有.其中是I 内的任意点(=1,2,n)若.f(x)是区间I 上的凸函数时,则不等号反向).定理设.在,上连续,在内具有一阶和二阶导数,如果在内.(或). 那么.在上的图形是凹的（或凸的）（证明全略）（3） 数形结合解题函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图形的描绘更加精确。例1：如图所示 半径为r=4的圆c 切直线AB于0 点,线OT从OB出发绕O 点逆时针方向旋转到OA!OT 交圆C 于P,记. 弓形PMO 的面积s=f(x),试判定在上的凹凸性。解：由题意可得,又因为所以，得当时，当时，由函数凹凸性定理可知，在上函数图形为凹，在上函数图形为凸。函数的凹凸性是函数图形的一个重要特征，了解函数的凹凸性能使函数图形的描绘更加精确化。在解决函数变化率的过程中或求某些特殊不等式时，用函数凹凸性求解!会显得更为简捷。3.二元函数凹凸性的判定及其应用 3.1 二元函数凹凸的定义定义3.1.13:设是定义在区域C上的二元函数，且满足对任意，且，有（或）我们称在C上为凹（或凸）函数。为了研究方便，设定非常数函数和一次函数。从定义中看出，为上面定义中等号成立的充分条件而非必要条件。3.2 二元函数凹凸性的判定定理定理3.2.13 设在区域D上具有二阶连续偏导数，记 则 （1）在D上恒有A0, 且时，在区域D上是凹函数。如果A仅在个别处为零，并不影响函数在该区域的凹凸性.但如果在区域D上恒有A=0时，依据定理1无法判断在区域D上的凹凸性，定理2可解决这个问题。定理3.3.23 设在区域D上具有二阶连续偏导数，记在D恒有A=0,时，则当时，在区域D上凸函数；当时，在区域D上是凹函数。证明 任取，设记则由二元函数的泰勒公式可得= =其中：显然由A=0及得 B=0，于是当时，即在区域D上是凸函数。当时，即在区域D上是凹函数。例1 讨论的凹凸性函数的定义域为，于是，于是且由定理3.3.2可知在其定义域上是凹函数定理3.3.33设在开区域内2个偏导数，都存在且连续 在D内是凸（凹）函数的充要条件是：对于任意，有证明 只证明凸函数的情形充分性 任取由已知可得，所以在区域D内是凸函数必要性 由于在区域D内是凸函数，则对任何，都有整理得令两边取极限得即同理可证凹函数的情形。3.4 二元凹凸函数的应用（求最大值，最小值）定理3.4.15 设是在开区域D内具有连续偏导数的凸（或凹）函数，且则必为在D内的最大值与最小值证明： 只证明凸函数的情形。因为是在开区域D内具有连续偏导数的凸函数，由定理3可知，对于任给,有例1：求二元函数的最大值或最小值。解：函数的定义域为于是得，所以在其定义域内最小值为同理可证凹函数的情形。例2 求二元函数在定义域内的最大值或最小值解函数。的定义域为于是 则所以在其定义域内是凹函数，令得，所以在其定义域内最小值为4多元函数凹凸性的判定4.1多元函数凹凸性的几个定义定义4.1.16 设D是n维空间的一个区域，若 则（1）设 总能分解成则在D上是凹（凸）的；（2）设（1）的条件成立并且关于的两个不等式中，则称D是凸函数，否则称D为凹函数。定义4.1.26设是定义在凸函数D上的函数，是D上的任意两点，记（1）若恒有且等号不恒成立，则称在D上是凹（或凸）的（2）若则称在D上是严格上的凹（或凸）的。（3）若，则称在D上是线性的，则称在D上是线性的。这两种定义是等价的在二元函数中，设D是维空间的一个区域，若 则由定义一知（1）设总能分解成 则在D上是凹（凸）的；（）设（1）的条件成立并且关于的两个不等式中，则称D是凸函数，否则称D为凹函数。由定义二知设是定义在凸函数D上的函数是D上的任意两点，记（1）若恒有且等号不恒成立，则称在D上是凹（或凸）的（2）若则称在D上是严格上的凹（或凸）的。（3若则称在D上是线性的。例如三元函数就是一个凹函数4.2多元函数凹凸性的几个判定定理定理4.2.18 设是凸区域D上具有二阶连续偏导数的二元函数，记若且不恒为0，那么，当或，函数在D上上凹，当A0或C0，函数在D上上凸，若当或，函数在D上是凹的，当或C0，函数在D上上凸。证明:任取记由泰勒公式则当时则当时，定理得证利用泰勒公式，我们不难证明定理4.2.29设是凸函数D上的具连续偏导数的二元函数不同时取，则有在D上是严格凹（凸）的。若，则在D上线性的。定理一和定理显然不难推广到一般徳多元函数中去，这里不再叙述。定理4.2.39 设是凸区域D上的n元函数，是任意常数是D中的任意平面区域；（1）在D上上凹（凸）的等价于在上上凹（凸）或线性，但非恒线性的；（2）在D上严格凹（凸）的等价于在上是严格上凹（凸）的；（3）在D上是线性的等价于在D上是线性的。证明：（只证严格上凹的情形）设在D内任何平面区域上均严格上凹，故有因而在D上严格上凹。反之，若在D上严格上凹，显然在任何上也是严格上凹。在上面的基础上给出定义 设n元函数在n元凸区域D 上不是平的, 不是凹的, 也不是凸的, 则称在D上是凹凸不平的定理4.2.110 设是凸区域D上的具有二阶连续偏导数的二元函数，对记则、（1）在D上是平的;(2) 在D上是凹的(A,B,C不全恒为0)；（3）在D上是平的(A,B,C不全恒为0)；（4）在D上是凹凸不平的使或A（或C）在D上值是可正负的。（注：若在D内没有零点或只有孤立点，则（2）、（3）就成了严格上凹凸的情况）证明：只证（2）与（4）。先证（2）在D内任取一条线段，不妨记其方程是或(k是任意实数）易得在D上上凹在线段上上凹或线性，且在线段上上凹或线性但非恒线性，且（等号不恒取)，,且其中（对）对于(任意，等号不恒取)，分别有（1）时，有，对任意k恒成立，则。此时（2）时，即由（1）与（2）知，（等号不恒取）且（A,B,C不全恒为0）综上可得，在D上上凹且（A,B,C不全恒为0）再证（4）由定理中的（1）、（2）、（3）在D上凹凸不平在D上不是平的，不是凹的也不是凸的A，B,C不全恒为0，且使或使，或使，同时，,使，或使或,使 使,或A（或C）在D上可正负。小 结函数的凹凸性是解决函数问题经常遇到的，一元，二元，至多元函数的凹凸函数的性质及判定在数学中具有重要的作用。利用函数凹凸性的判定定理对解决函数问题具有很大的帮助。在熟悉函数凹凸性的定义时更要掌握函数凹凸性的几个重要的判定定理。参考文献1 同济大学数学教研室主编.数学分析M.北京：高等教育出版社.1982.2 华东师范大学数学系编.数学分析M.北京：高等教育出版社.1988.3 李再湘.函数凹凸性的定义J.数学通报.第三卷.1992(4):43-45.4 安振平.凹凸性的判定J.基础教育.第四卷.1994(6):43-45.5 杨正义.一元函数凹凸性的应用J.教学研究.第六卷.1997(6):45-47.6 郭慧清.多元函数函数凹凸性 J.甘肃教育.第二卷.1996(12):8-10.7 毛晓锋.函数凹凸性的性质J.数学通报.第五卷.2001(12):27-29.8 万莉娟.关于函数凹凸性的几个判别法J.高师理科学刊,2005,25(1):7-9.高俊宇.函数凹凸性在证不等式中的应用.沧州专科师范学校学报,2003,9,19(3).罗志斌,曾华菊.关于函数凹凸性定义的一个注解.赣南师范学院学报,2005(3).致 谢本文在选题，修改及其完稿的整个过程中，都是在宋贤梅老师的细心指导下完成的，在写作的过程中，宋老师严格要求，同时又给予鼓励，引导我正确的写作思路，传授我适当的写作方法,在此对她表示忠心的感谢！