探索问题的非常规解法培养学生的创造思维.doc

探索问题的非常规解法，培养学生的创新思维
扬中市第二中学 张克兰
当前，数学教学改革和发展的总趋势就是发展思维，培养能力。要达到这一要求，教师的教学就必须从要优化学生的思维品质入手，把创新教育渗透到课堂教学中，激发和培养学生的思维品质。数学教学应对创新意识的培养加以重视和提高，如何培养学生的创新意识，是教师在教学中必须处理和解决的问题，本文想通过解析几何中求最值问题的一个课堂教学片段探讨如何通过寻求问题的非常规解法，来培养学生的创造性思维。
A
O
B
y
M
x
•
例题：定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标.
题目出示后，同学们立即想到了运用直线
方程采取弦长公式来常规处理，因此有
解：设A(x1,y1) B(x2,y2) M(x0,y0)，
AB所在直线方程为y=kx+b代入y2=x得：
k2x2+（2kb-1）x+b2=0
△=4k2b2-4kb+1-4k2b2=-4kb+1﹥0
|AB|=……①
到这里要求学生讨论怎样将弦长3与弦AB的中点坐标联系起来？有学生回答
∵x1+x2==2x0， 1-2kb=2x0k2 ，2kb=1-2x0k2 代入①得：
|AB|=
9k4=（1+k2）（4x0k2-1） 解得x0=
这里k是变量，如何求这个分式函数的范围又是难点，让学生展开讨论如何进行变式转换，若
x0=，（令）
= ∵ t∈（1，+∞）∴由基本不等式得到
x0≥ 当且仅当，k=，b=，即点M的坐标为（）和（）
我们感到常规解法对此题型很繁琐，这题是否有非常规简捷的解法呢？如图若设A(x1,y1) B(x2,y2) M(x0,y0) ∵ 启发学生能否转化求x1+x2和的最值，联想到焦半径性质，于是有
A
O
F
B
y
M
x
•
解法二：设A(x1,y1) B(x2,y2) M(x0,y0)在△ABF中，∵|AB|≤|AF|＋|BF| |AF|＝x1+ |BF|＝x2+ |AB|＝3 ∴x1+ ＋x2+＝2x0+≥3
即 x0≥
x0取得最值时，弦AB恰好过抛物线焦点，
这时再设焦点弦AB的方程易于求出点M的坐标。
这种解法比较简捷，又容易被学生接受。但要
求学生注意，运用这种解法需要具备一定的条件？
学生会想到只有当|AB|=|AF|＋|BF|时才能
取得最值，老师再提出满足|AB|=|AF|＋|BF|的
弦AB一定经过抛物线的焦点F，是否所有的弦都能经过焦点呢？学生回答是否定的，试问经过抛物线焦点的弦必须具备什么条件？通过讨论学生会得出弦AB的长度必须满足|AB|≥2p=1，请同学们思考，若弦AB的长度|AB|＜2p=1，还能用这种方法解吗？于是出示
A
O
B
y
M
x
•
变题：如果将题中：“定长为3的线段AB”
改为“定长为a的线段AB”，则又如何解决？
分析：学生感到这里只能运用常规解法，
通过直线方程用弦长公式来处理，因此
解：设A(x1,y1) B(x2,y2) M(x0,y0)，
AB所在直线方程为y=kx+b代入y2=x得：
k2x2+（2kb-1）x+b2=0
△=4k2b2-4kb+1-4k2b2=-4kb+1﹥0
|AB|=……①
∵x1+x2==2x0， 1-2kb=2x0k2 ，2kb=1-2x0k2 代入①得：
|AB|=
a2k4=（1+k2）（4x0k2-1）
解得x0=
x0=，（令）
= 此函数在 t∈（0，a）上递减，在t∈（a，+∞）上递增 （ⅰ）若a＜1，当t=1时，（ x0）min=，
（ⅱ）若a≥1，当 t=a 时， （ x0）min=
此时再求出直线方程得到弦中点的坐标.
对此，我们再启发学生思考，关于弦中点的问题，我们时常用到“点差法”，即将直线方程用弦AB的中点坐标(x0,y0)表示，于是有
解法二：设A(x1,y1) B(x2,y2) M(x0,y0)，由“点差法”得

∴AB所在直线方程为， 将x= y2代入得：
y2-2y0y+（2y02-x0）=0
△ =4x0-4y02﹥0， x0﹥y02，|AB|=
∴（令t=4y02+1≥1）
== 此函数在 t∈（0，a）上递减，在t∈（a，+∞）上递增
∴（ⅰ）若a＜1，当t=1即 y02=0时，（ x0）min=，M（，0）
（ⅱ）若a≥1，当 t=a 时， （ x0）min=，M（，）
这种解法有点好处，它能较容易地求出弦中点的坐标
象这样，通过一题多解和一题多变，拓展了思维空间，培养学生的创造性思维。有利于培养他们学习数学的浓厚兴趣和创新精神。
总之，教师要善于对例题变化，并运用恰当的教学方法，就可以让学生感受到某种近似于探索的体验，去发现数学中的真理，让学生体验数学创新的乐趣，培养学生的创新意识，创新能力；教师要通过对例题变化，例题的解答教学，促进学生的思维活动，利用有形的和无形的活动，激发学生的认识数学，学习数学的兴趣，积极引导学生深入分析，归纳，猜想，转化，提出新的观点，新的思想。
培养学生的想象力和创造精神是实施创新教育中最为重要的一步。教师要启迪学生创造性地“学”，标新立异，打破常规，克服思维定势的干扰，善于找出新规律，运用新方法。激发学生大胆探讨问题，增强学生思维的灵活性、开拓性和创造性。
数学教学中的切入点很多：此题按常规思路,解题感到比较繁琐，应教授学生及时改变思路，另选突破口，这样利于创造性思维的培养。题目的新颖解法来源于观察分析题目的特点，以及对隐含条件的挖掘。因此，教师应从开发智能、培养能力这一目标着眼，有意识地引导学生发散思维，通过训练把学生的思维引到一个广阔的空间，培养学生思维的广度和深度。
数学教学中，发展创造性思维能力是能力培养的核心，而逆向思维、发散思维和求异思维是创新学习所必备的思维能力。数学教学要让学生逐步树立创新意识，独立思考，这应成为我们教与学的着力点。教学要创新，教学思维要创新，教师能力和教学水平要提高，对教师的要求；
（1）教师的基本功扎实，广博的专业知识，
（2）教师具有驾御全局，随机应变的能力；
（3）教师具有开展数学活动的能力，创设“问题情境”的能力。
教师通过教学手段，培养学生的创新意识是一个重大的课题，需要我们不懈的努力，共同研讨，交流；教师要鼓励，重视学生的创新，对求新，求异的学生大加赞赏，对于不成功的思路，也应充分肯定，鼓励，把学生引入一个多思、多问、多变的广阔的思维空间，只有这样，学生的创新意识才能被激发，学生的创新才成为一种可能，学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力就会真正得到提高。
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