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山西大学附中2013高二第二学期3月考试
数学试题（理科）
（考试时间:120分 考试内容：以选修2-2为主 满分:150分 ）
选择题（每小题5分，共60分）
1.复数的共轭复数是（），是虚数单位，则的值是（ ）
A.-7 B.-6 C.7 D.6
2.如右图，阴影部分的面积是 （ ）
A． B． C． D．
3.如果为偶函数，且导数存在，则的值为 （ ）
A. 0 B.1 C. 2 D.
4.已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则取值范围( )
A. B. C. D.
5.设、、是互不相等的正数，现给出下列不等式 ⑴；⑵；⑶；⑷，则其中正确个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
6.函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，成立，若，，则大小关系（ ）
A. B. C. D.
7.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A.289 B. 1225 C. 1024 D.1378
8.如图是导函数的图象，则下列命题错误的是（ ）
A.导函数在处有极小值
B.导函数在处有极大值
C.函数在处有极小值
D.函数在处有极小值
9.已知函数（）满足，且的导函数<，则<的解集为 （ ）
A. B. C. D.
10.当时，不等式恒成立，则实数取值范围是（ ）
A．[2,+∞） B．（1,2] C．（1,2） D.（0,1）
11.如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )
A．264种 B．288种 C．240种 D．168种
12.设函数在区间（）的导函数，在区间（）的导函数，若在区间（）上恒成立，则称函数在区间（）为凸函数，已知若当实数满足时，函数在上为凸函数，则最大值 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（每题5分，共20分）
13. n个连续自然数按规律排成下表：
0 3 → 4 7 → 8 11 …
↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑
1 → 2 5 → 6 9 → 10
根据规律，从2 009到2 011的箭头方向依次为________．
①↓→ ②→↑ ③↑→ ④→↓
14.定积分
15.已知函数在时有极值0，则= ，
16.对任意都能被14整除，则最小的自然数a＝
山西大学附中2013年高二第二学期3月考试
数学试题答卷纸
（考试时间:120分 考试内容：以选修2-2为主 满分:150分 ）
一、选择题（每小题5分，共计60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题（每题5分，共20分）
13. .14.
15. .16.
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(10分)已知为复数，为纯虚数，，且，求．
18. (10分)有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；
（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．
19. （12分）已知:，
(1)求证:； (2)求的最小值.
20. （12分）某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成．每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一中型号的零件．设加工A 型零件的工人人数为x名（x∈N*）
（1）设完成A 型零件加工所需时间为小时，写出的解析式；
（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？
21.（12分）在数列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表达式，并加以证明；
(Ⅱ)设，求证：对任意的自然数都有.
22．（14分）已知函数，在时取得极值．
（I）求函数的解析式；
（II）若时,恒成立，求实数m的取值范围；
（III）若，是否存在实数b，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由．
山西大学附中2013高二第二学期3月考试
数学试题答案理科
一.选择题（每小题5分，共60分）
CBADD;ABCDB;AB
二、填空题（每题5分，共20分）
13. ② 14. 15. =2，9 16. a＝5
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(10分)解：设，则
∵为纯虚数，∴（3分）且, 不同时为0
而（5分）
又∵，，∴，即
∴．（8分）
当=5时，=15，；当=－5时，=－15，．（10分）
18. (10分)【答案】（1）241920种排法．2分（2）10080种排法．2分（3）种2分（4）2880种2分 （5）种．2分
（12分）已知:,(1)求证:(2)求的最小值
解：(1)证明:因为所以，所以…2分
所以，从而有2+……2分
即:
即:，所以原不等式成立. ……2分
……2分
即当且仅当时等号成立……2分
即当时，的最小值为8. ……2分
20.解：(1)生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间（其中,且）……2分
生产150件产品，需加工B型零件150个，则完成B型零件加工所需时间（其中,且）；……4分
设完成全部生产任务所需时间小时，则为与中的较大者，
令，则，解得
所以，当时，；当时，
故……7分
当时，，故在上单调递减，
则在上的最小值为（小时）；……9分
当时，，故在上单调递增，
则在的最小值为（小时）；……11分
，在上的最小值为，为所求，
所以，为了在最短时间内完成生产任务，应取32……12分
21.（12分）解：（1）容易求得：，----------------------（1分）
故可以猜想， 下面利用数学归纳法加以证明：
显然当时，结论成立，-----------------（2分）
假设当；时（也可以），结论也成立，即
，--------------------------（3分）
那么当时，由题设与归纳假设可知：
-----------（5分）
即当时，结论也成立，综上，对,成立。----（6分）
（2）（8分）
所以
------（10分）
所以只需要证明
（显然成立）
所以对任意的自然数，都有-------（12分）
22．（本小题满分12分）解：（I）……．2分
依题意得，所以，从而…．4分
（II）令，得或（舍去），
当时，当
由讨论知在的极小值为；最大值为或，因为，所以最大值为，所以 ……8分
（III）设,即，．
又，令，得；令，得．
所以函数的增区间，减区间．
要使方程有两个相异实根，则有
，解得……．．12分
10
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