资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x=-2 B．x=-1 C．x=2 D．x=1
2．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2+1＝0 D．x2+2x+1＝0
3．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，作射线PD，使∠APD=60°，PD交AC于点D，已知AB=a，设CD=y，BP=x，则y与x函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，点M在某反比例函数的图象上，且点M的横坐标为，若点和在该反比例函数的图象上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．在一个不透明的盒子中装有2个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个白球的概率是，则黄球的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．若方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（ ）
A．c≤ B．c≤ C．c≥ D．c≥
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
9．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B的度数是（ ）
A．100° B．80° C．60° D．50°
10．如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
11．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍，得到△A´B´C´,以下说法错误的是（ ）
A． B．△ABC∽△A´B´C´
C．∥A´B´ D．点,点,点三点共线
12．在平面直角坐标系中，函数的图象经过变换后得到的图象，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在Rt△ABC中，，CD是AB边上的高，已知AB＝25，BC＝15，则BD＝__________．
14．如图，圆是一个油罐的截面图，已知圆的直径为5，油的最大深度（），则油面宽度为__________．
15．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P(a,b) ,使△PAB为等边三角形，则2(a-b)=___________．
16．一元二次方程2x2＋3x＋1＝0的两个根之和为__________．
17．，两点都在二次函数的图像上，则的大小关系是____________．
18．已知抛物线的对称轴是y轴，且经过点（1，3）、（2，6），则该抛物线的解析式为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知：二次函数y=x2﹣6x+5，利用配方法将表达式化成y=a（x﹣h）2+k的形式，再写出该函数的对称轴和顶点坐标．
20．（8分）先化简，再求代数式的值，其中
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．
22．（10分）将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是型矩形纸片的概率；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）．
23．（10分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次统计共抽查了多少名学生?在扇形统计图中，表示" "的扇形圆心角的度数是多少；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用 “微信”进行沟通的学生大约有多少名?
(4)某天甲、乙两名同学都想从“微信"、""、“电话"三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
24．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+k（a、k为常数，a≠0），线段AB的两个端点坐标分别为A(﹣1，2)，B(2，2)．
（1）该二次函数的图象的对称轴是直线 ；
（2）当a＝﹣1时，若点B(2，2)恰好在此函数图象上，求此二次函数的关系式；
（3）当a＝﹣1时，当此二次函数的图象与线段AB只有一个公共点时，求k的取值范围；
（4）若k＝a+3，过点A作x轴的垂线交x轴于点P，过点B作x轴的垂线交x轴于点Q，当﹣1＜x＜2，此二次函数图象与四边形APQB的边交点个数是大于0的偶数时，直接写出k的取值范围．
25．（12分）已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分．
26．在锐角三角形中,已知,, 的面积为 ,求的余弦值.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】令 解得x=-1,故选B.
2、A
【分析】逐项计算方程的判别式，根据根的判别式进行判断即可．
【详解】解：
在x2﹣x﹣1＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A符合题意；
在x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，故该方程无实数根，故B不符合题意；
在x2+1＝0中，△＝0﹣4×1×1＝0﹣4＝﹣4＜0，故该方程无实数根，故C不符合题意；
在x2+2x+1＝0中，△＝22﹣4×1×1＝0，故该方程有两个相等的实数根，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞0有两个不相等实数根，△＝0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型．
3、C
【分析】根据等边三角形的性质可得出∠B=∠C=60°，由等角的补角相等可得出∠BAP=∠CPD，进而即可证出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质即可得出y=- x2+x，对照四个选项即可得出．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=AB=a，PC=a-x．
∵∠APD=60°，∠B=60°，
∴∠BAP+∠APB=120°，∠APB+∠CPD=120°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴,即，
∴y=- x2+x.
故选C.
【点睛】
考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出y=-x2+x是解题的关键．
4、C
【解析】试题分析：3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；和不是同类项，不能合并，B错误；，C正确；，D错误，故选C．
考点：合并同类项．
5、A
【分析】反比例函数在第一象限的一支y随x的增大而减小，只需判断a与2a的大小便可得出答案．
【详解】∵a＜2a
又∵反比例函数在第一象限的一支y随x的增大而减小
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查比较大小，需要用到反比例函数y与x的增减变化，本题直接读图即可得出．
6、C
【解析】试题分析：设黄球的个数为x个，根据题意得：=，解得：x=1，经检验：x=1是原分式方程的解；∴黄球的个数为1．故选C．
考点：概率公式．
7、A
【分析】由方程x2+3x+c=0有实数解，根据根的判别式的意义得到△≥0，即32-4×1×c≥0，解不等式即可得到c的取值范围．
【详解】解：∵方程x2+3x+c＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×c≥0，
解得：c≤，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，需要熟记：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.
8、B
【解析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，作EH⊥BC于H，从而得到∠ECH=60°,利用三角函数可求出EH、CH的值，再利用勾股定理即可求出BE的长.
【详解】解：如图所示，作EH⊥BC于H，
由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE＝2，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=2DE，
∴∠DAE=30°，
∴∠D=60°，
∵AD//BC，
∴∠ECH=∠D=60°,
在Rt△ECH中，
EH=CE·sin60°=,
CH=CE·cos60°=,
∴BH=4+1=5，
在Rt△BEH中，由勾股定理得，
.
故选B.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质、菱形的性质、解直角三角形等知识.合理构造辅助线是解题的关键.
9、B
【解析】试题分析：如图，翻折△ACD，点A落在A′处，可知∠A=∠A′=100°，然后由圆内接四边形可知∠A′+∠B=180°，解得∠B=80°.
故选：B
10、B
【分析】先根据根的判别式求出k的取值范围，再从中找到最大整数即可．
【详解】
解得
∴k的最大整数值是-2
故选：B．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键．
11、A
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，OB´：BO＝2：1，故选项A错误，符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
12、A
【分析】将两个二次函数均化为顶点式，根据两顶点坐标特征判断平移方向和平移距离.
【详解】，
顶点坐标为，
，
顶点坐标为，
所以函数的图象向左平移2个单位后得到的图象.
故选：A
【点睛】
本题考查二次函数图象的特征，根据顶点坐标确定变换方式是解答此题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、9
【分析】利用两角对应相等两三角形相似证△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.
【详解】解：∵，,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∵∠B=∠B,
∴△BCD∽△BAC,
∴ ,
∴,
∴BD=9.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查利用相似三角形的性质求线段长，证明两三角形相似注意题中隐含条件，如公共角，对顶角等，利用相似的性质得出比例式求解是解答此题的关键.
14、1
【分析】连接OA，先求出OA和OD，再根据勾股定理和垂径定理即可求出AD和AB．
【详解】解：连接OA
∵圆的直径为5，油的最大深度
∴OA=OC=
∴OD=CD－OC=
∵
根据勾股定理可得：AD=
∴AB=2AD=1m
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键．
15、
【分析】根据A、B坐标求出直线AB的解析式后，求得AB中点M的坐标，连接PM，在等边△PAB中，M为AB中点，所以PM⊥AB，，再求出直线PM的解析式，求出点P坐标；在Rt△PAM中，AP=AB=5，，即且a＞0，解得a>0，即，将a代入直线PM的解析式中求出b的值，最后计算2(a-b)的值即可；
【详解】解：∵A(4，0)，B(0，3)，
∴AB=5，
设，
∴，
∴ ，
∴，
∵A(4，0) B(0，3) ，
∴AB中点，连接PM，
在等边△PAB中，M为AB中点，
∴PM⊥AB，，
∴，
∴设直线PM的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△PAM中，AP=AB=5，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a>0，
∴，
∴，
∴；
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合应用，掌握一次函数是解题的关键.
16、－
【解析】试题解析：由韦达定理可得：
故答案为：
点睛：一元二次方程根与系数的关系：
17、＞
【分析】根据二次函数的性质，可以判断y1，y2的大小关系，本题得以解决．
【详解】∵二次函数，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵点在二次函数的图象上，
∵-1＞-2，
∴＞，
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18、y＝x1+1
【分析】根据抛物线的对称轴是y轴，得到b＝0，设出适当的表达式，把点（1，3）、（1，6）代入设出的表达式中，求出a、c的值，即可确定出抛物线的表达式．
【详解】∵抛物线的对称轴是y轴，∴设此抛物线的表达式是y＝ax1+c，
把点（1，3）、（1，6）代入得：，解得：a＝1，c＝1，
则此抛物线的表达式是y＝x1+1，故答案为：y＝x1+1．
【点睛】
本题考查代定系数法求函数的解析式，根据抛物线的对称轴是y轴，得到b＝0，再设抛物线的表达式是y＝ax1+c是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、y=（x﹣3）2-4；对称轴为：x=3；顶点坐标为：（3，-4）
【分析】首先把x2-6x+5化为（x-3）2-4，然后根据把二次函数的表达式y=x2-6x+5化为y=a（x-h）2+k的形式，利用抛物线解析式直接写出答案．
【详解】y=x2-6x+9-9+5=（x-3）2-4，即y=（x-3）2-4；
抛物线解析式为y=（x-3）2-4，
所以抛物线的对称轴为：x=3，顶点坐标为（3，-4）．
【点睛】
此题考查二次函数的三种形式，解题关键在于熟练掌握三种形式之间相互转化的方法．
20、，
【分析】先去括号，再算乘法约去公约数，即可完成化简，化简，先算三角函数值，再算乘法，再算减法，再将化简后x的值代入原式求解即可．
【详解】原式
当时
原式
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算的法则是解题的关键．
21、（1）详见解析；（2）65°；（3）．
【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性质证得结论；
（2）根据已知条件得到∠EOD＝50°，结合圆周角定理求得∠DAC＝25°，所以根据三角形内角和定理求得∠ABD的度数，则∠C＝∠ABD，得解；
（3）设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，根据射影定理知：BD2＝BF•AB，据此列出方程求得x的值，最后代入弧长公式求解．
【详解】（1）证明：如图，连接AD．
∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BD．
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
（2）解：∵弧DE＝50°，
∴∠EOD＝50°．
∴∠DAE＝∠DOE＝25°．
∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABD＝65°．
（3）∵BC＝8，BD＝CD，
∴BD＝1．
设半径OD＝x．则AB＝2x．
由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，
∵AD⊥BD，DF⊥AB，
∴BD2＝BF•AB，即12＝x•2x．
解得x＝1．
∴OB＝OD＝BD＝1，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°．
∴弧BD的长是：＝．
【点睛】
此题主要考查圆的综合，解题的关键是熟知圆周角定理、三角形内角和及射影定理的运用.
22、（1）；（2）.
【解析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找打2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果，
所以摸出的盒子中是型矩形纸片的概率为；
（2）画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果，
所以2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为．
【点睛】
考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23、（1）100；108°；（2）详见解析；（3）600人；（4）
【分析】（1）利用喜欢“电话”沟通的人数除以其所占调查总人数的百分率即可求出调查总人数，然后求出喜欢“QQ” 沟通的人数占调查总人数的百分率，再乘360°即可求出结论；
（2）用调查总人数×喜欢“短信”沟通的人数所占百分率即可求出喜欢“短信”沟通的人数，然后用调查总人数减去其余“电话”、“短信”、“QQ”和“其它”沟通的人数即可求出喜欢用“微信”沟通的人数，最后补全条形统计图即可；
（3）先求出喜欢用“微信”沟通的人数占调查总人数的百分率，再乘1500即可；
（4）根据题意，画出树状图，然后根据概率公式计算即可．
【详解】解：(1)调查总人数为20÷20%=100人
表示" "的扇形圆心角的度数是30÷100×360°=108°
(2)喜欢用“短信”沟通的人数为：100×5%=5人，
喜欢用“微信”沟通的人数为：100-20-5-30-5=40人，
补充条形统计图，如图所示：
(3)喜欢用“微信”沟通所占百分比为：
∴该校共有1500名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：
人．
答：该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有600人．
(4)列出树状图，如图所示，
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
所以甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：
【点睛】
此题考查的是条形统计图、扇形统计图和求概率问题，结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息并掌握画树状图和概率公式求概率是解决此题的关键．
24、（1）x＝1；（2）y＝﹣x2+2x+2；（3）2＜k≤5或k＝1；（4）2≤k＜或k＜2
【分析】（1）根据二次函数y＝ax2﹣2ax+k（a、k为常数，a≠2）即可求此二次函数的对称轴；
（2）当a＝﹣1时，把B（2，2）代入即可求此二次函数的关系式；
（3）当a＝﹣1时，根据二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，分三种情况说明：当抛物线顶点落在AB上时，k+1＝2，k＝1；当抛物线经过点B时，k＝2；当抛物线经过点A时，k＝5，即可求此k的取值范围；
（4）当k＝a+3，根据题意画出图形，观察图形即可求此k的取值范围．
【详解】解：（1）二次函数y＝ax2﹣2ax+k（a、k为常数，a≠2），
二次函数的图象的对称轴是直线x＝1．
故答案为x＝1；
（2）当a＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+k
把B（2，2）代入，得 k＝2，
∴y＝﹣x2+2x+2
（3）当a＝﹣1时，
y＝﹣x2+2x+k
＝﹣（x﹣1）2+k+1
∵此二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，
当抛物线顶点落在AB上时，k+1＝2，k＝1
当抛物线经过点B时，k＝2
当抛物线经过点A时，
﹣1﹣2+k＝2，k＝5
综上所述：2＜k≤5或k＝1；
（4）当k＝a+3时，
y＝ax2﹣2ax+a+3
＝a（x﹣1）2+3
所以顶点坐标为（1，3）
∴a+3＜3
∴a＜2．
如图，
过点A作x轴的垂线交x轴于点P，过点B作x轴的垂线交x轴于点Q，
∴P（﹣1，2），Q（2，2）
当﹣1＜x＜2，此二次函数图象与四边形APQB的边交点个数是大于2的偶数，
当抛物线过点P时，
a+2a+a+3＝2，解得a＝﹣
∴k＝a+3＝，
当抛物线经过点B时，
4a﹣4a+a+3＝2，解得a＝﹣1，
∴k＝2，
当抛物线经过点Q时，
4a﹣4a+a+3＝2，解得a＝﹣3，
∴k＝2
综上所述：2≤k＜或k＜2．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系，解决本题的关键是综合运用一元一次不等式组的整数解、二次函数图象上的点的坐标特征、抛物线与xx轴的交点．
25、见解析.
【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出OD⊥BC，根据垂径定理求出即可．
【详解】证明：连接CB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD过O，
∴点D平分．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和垂径定理，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．
26、
【分析】由三角形面积和边长可求出对应边的高，再由勾股定理求出余弦所需要的边长即可解答．
【详解】解：过点点作于点，
∵的面积，
∴，
在中，由勾股定理得，
所以
【点睛】
本题考查了解直角三角形，掌握余弦的定义（余弦=邻边：斜边）和用面积求高是解题的关键．
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