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曲线的凹凸性与拐点
为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.
一、 曲线的凹凸性
从图3-12（a），（b）可以观察到.
定义1 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.
o
x
y
A
B
（a）
B
A
o
x
y
（b）
图3-12

从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率随着的增大而增大，即单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率随着的增大而减少，即单调减少.而函数的单调性又可用它的导数，即的二阶导数的符号来判定，故曲线的凹凸性与的符号有关.
定理1 设函数在区间上具有二阶导数.
（1）如果在区间上，有>0，那么曲线在上是凹的；
（2）如果在区间上，有<0，那么曲线在上是凸的.
例1 判定曲线的凹凸性.
解 函数的定义域为，而 因此曲线在内是凸的.
例2 讨论曲线的凹凸区间.
解 函数的定义域为，
显然，当时，；当时，.因此为曲线的凸区间，为曲线的凹区间.
二、 曲线的拐点
在例2 中，点为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义.
定义2 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点.
下面来讨论曲线拐点的求法.
由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果存在且连续，则在拐点的左右近旁
必然异号，因此曲线拐点的横坐标，是可能使=0的点，从而可知求拐点的步骤为：
（1） 求；
（2） 令=0，解出方程=0在某区间内的实根；
（3） 对每一个实根，考察在的左右近旁的符号，若在的左右
近旁的符号相反，则点是拐点，若在的左右近旁的符号相同，则点不是拐点.
例3求曲线的凹凸区间与拐点.
解 函数的定义域为 ，
令 ，得 .
由于的左右近旁不改变符号，（0，0）不是拐点.当时，；当
时，. 所以曲线在内是凸的，在）内是凹的；（为拐点.
注意：使不存在而连续的点，也可能成为曲线的拐点.
例4 求曲线的拐点.
解 定义域为， ，
因为令时，方程 无解.而当时，；当时，，
即曲线在区间内是凸的，在区间内是凹的，又曲线在点处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.
三、 函数绘图
1、渐近线
定义3 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定
直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.
例如直线 为双曲线的渐近线.
但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.
（1）水平渐近线
如果当自变量时，函数以常量C为极限，即，则称直线
为曲线的水平渐近线.
（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）
如果当自变量时，函数为无穷大量，即，则称直线为曲线的铅直渐近线.
说明：对时，有时也可能仅当或；对，有时也可能仅当或.
例5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.
（1） （2）.
解 （1）因为，
所以直线 是两条铅直渐近线.
（2） 因为 ，所以直线为其水平渐近线.
2、函数图形的描绘
利用导数描绘函数图形的一般步骤为：
（1） 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性；
（2） 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点；
（3） 考察渐近线；

图3-13
（4） 作一些辅助点；
（5） 由上面的讨论，画出函数的图形.
例6 作函数的图形.
解 （1）函数定义域为；
（2）， 令
得 ；
令 得 .
列表：

0

1

2

+
0
--

--
0
+

--

--
0
+

+

极大值1

拐点
（1，--1）

极小值--3

说明：“ ”表示上升且为凸的，“ ”表示下降且为凸的，“ ”表示下降且为凹的，“ ”表示上升且为凹的.

图3-14
（3）无渐近线；
（4）取辅助点（、（3，1）；
（6） 画图（如图3-13）
例7作函数的图形.
解 定义域为
令，得； ，
令，得；
列表：

）

0
（

—

—
0
+
—

—
0
+

+
+

拐点

极小值

渐近线：因为，所以是铅直渐近线；又因为
，所以是水平渐近线.
作辅助点：（、、.
作图：（如图3-14）
习题
1、判定下列曲线的凹凸性：
（1）； （2）.
2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：
（1）； （2）.
3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
4、作函数的图形：
（1）； （2）；
（3）； （4）.