【全程复习方略】(浙江专用)2013版高考数学-6.5合情推理与演绎推理课时体能训练-文-新人教A版.doc

【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 6.5合情推理与演绎推理课时体能训练 文 新人教A版
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.已知f1(x)=sinx+cosx，fn+1（x）是fn(x)的导函数，即f2(x)=f1′(x),
f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*，则f2 011(x)=( )
(A)-sinx-cosx (B)sinx-cosx
(C)-sinx+cosx (D)sinx+cosx
2.记Sn是等差数列{an}前n项的和,Tn是等比数列{bn}前n项的积，设等差数列{an}公差d≠0，若对小于2 011的正整数n，都有Sn=S2 011-n成立，则推导出a1 006=0,设等比数列{bn}的公比q≠1，若对于小于23的正整数n，都有Tn=T23-n成立，
则( )
(A)b11=1 (B)b12=1
(C)b13=1 (D)b14=1
3.三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②玉树人是中国人；③玉树人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( )
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）②①
4.对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：

其中为凸集的是( )
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④
5.（预测题）在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和，各元素间运算结果如下：

那么d(ac)=( )
（A）a （B）b （C）c （D）d
6.对于命题：若O是线段AB上一点，则有.
将它类比到平面的情形是：
若O是△ABC内一点，则有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0.
将它类比到空间的情形应该是：
若O是四面体ABCD内一点，则有( )
(A)VO—ACD·+VO—BCD·+VO—ABC·+VO—ABD·=0
(B)VO—BCD·+VO—ACD·+VO—ABD·+VO—ABC·=0
(C)VO—ABD·+VO—ABC·+VO—BCD·+VO—ACD·=0
(D)VO—ABC·+VO—ABD·+VO—ACD·+VO—BCD·=0
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.在△ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立……
猜想在n边形A1A2…An中，有不等式______成立.
8.已知函数f(x)= 为奇函数，则a=______.
9.（易错题）在计算Sn=(n∈N*)时，某同学学到了如下一种方法：
先改写第n项：an=，
由此得Sn=a1+a2+…+an=,
类比上述方法，请你计算：Sn=(n∈N*),
其结果为Sn=______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.
（1）求第n行实心圆点个数与第n-1,n-2行实心圆点个数的关系.
（2）求第11行的实心圆点的个数.

11.如图，在直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，有很多大家熟悉的性质，例如“AB⊥AC”，勾股定理“|AB|2+|AC|2=|BC|2”和“”等，由此联想，在三棱锥O —ABC中，若三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，可以推出哪些结论？至少写出两个结论.

【探究创新】
（16分）一个封闭平面区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”.下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为τ1,τ2,τ3,τ4，则τ1，τ2，τ3，τ4有无关系？若有请写出，若无说明理由.

答案解析
1.【解析】选A.由题意知f2(x)=cosx-sinx;f3(x)=-sinx-cosx；f4(x)=-cosx+ sinx;f5(x)=sinx+cosx；…可得fn(x)是以4为周期的周期函数，故f2 011(x)= f3(x)=-sinx-cosx.
2.【解析】选B.由等差数列中Sn=S2 011-n，可导出中间项a1 006=0，类比得等比数列中Tn=T23-n，可导出中间项b12=1.
3.【解题指南】根据三段论的结构特征即可解决，务必要分清大前提、小前提及结论.
【解析】选A.解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”（①所有的中国人都坚强不屈），小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②玉树人是中国人)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③玉树人一定坚强不屈)”.故选A.
4.【解题指南】根据凸集的定义，结合图形的形状特征即可判定.
【解析】选B.根据凸集的定义，结合图形任意连线可得②③为凸集.
5.【解析】选A.∵ac=c,
∴d (ac)=dc=a，故选A.
6.【解析】选B.由线段AB上类比可得，
O是△ABC内一点，则S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0，
故四面体中与VO—BCD对应，与VO—ACD对应，与VO—ABD对应，与VO—ABC对应，故应选B.
7.【解题指南】由左边均为角的倒数和，右边分母是π,2π,3π等不难得出结论.
【解析】左侧必为，而右侧分子：三角形是32，四边形是42，五边形是52，故n边形是n2，而分母分别是π,2π,3π，…从而推得，n边形中，不等式右侧的分母应为（n-2）π.
故应为≥.
答案：≥
8.【解析】因为函数f(x)= 为奇函数，所以f(-x)=-f(x)对于定义域中的任意x都成立，因为1在定义域中，所以f(-1)=-f(1)，可求得a=-1.
答案：-1
9.【解析】由条件可类比得：an=
=,
∴Sn=a1+a2+a3+…+an
=
= .
答案：
10.【解题指南】设出第n行实心圆点的个数an，空心圆点的个数bn，则它与第n-1行的关系由题意不难得出，整理可得解.
【解析】（1）设第n行实心圆点有an个，空心圆点有bn个，由树形图的生长规律可得
∴an=an-1+bn-1=an-1+an-2，即第n行实心圆点个数等于第n-1行与第n-2行实心圆点个数之和.
（2）由（1）可得数列{an}为0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，∴第11行实心圆点的个数就是该数列的第11项55.
【方法技巧】解决“生成”数列的方法
解决生成数列的关键在于抓住该数列的生成规律，一方面可以通过不完全归纳法来猜想结论，另一方面也可以通过第n项与第n-1项的关系来分析与处理.此类问题是高考的热点.
【变式备选】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第几行？

【解析】杨辉三角中某行全为奇数时转换后此行才都为1，由数阵可得，全行的数都为1分别是第1，3，7，15，…行，由此可猜想第n次全行的数都为1的是第2n-1行.
11.【解析】有以下结论：
（1）三个侧面OAB、OAC、OBC两两垂直（或OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB）
（2）（H为△ABC的垂心）
（3）S2△OAB+S2△OAC+S2△OBC=S2△ABC
以下给出具体的证明：
（1）∵OA⊥OC,OB⊥OC,OA∩OB=O,
∴OC⊥平面OAB，
∴平面OAC⊥平面OAB，平面OBC⊥平面OAB，同理可证平面OBC⊥平面OAC.
（2）如图连接AH，并延长AH交BC于D，连接OD，
∵OA⊥平面OBC，∴OA⊥OD，
在Rt△AOD中，∵OH⊥AD，∴OH·AD=OA·OD，∴OH2·AD2=OA2·OD2，
又∵AD2=OA2+OD2，∴ ①，
∵AD⊥BC，由三垂线定理得：BC⊥OD，
∴在Rt△OBC中，OD2·BC2=BO2·CO2，
∴，又∵BC2=BO2+CO2，∴ ②
由①②得：.

（3）令OA=a,OB=b,OC=c，
∵H为垂心，∴AD⊥BC，
又∵OA、OB、OC两两垂直，
∴S△OAB=ab,S△OBC=bc,
S△OAC=ac,S△ABC=BC·AD,
∴S2△OAB+S2△OAC+S2△OBC=（a2b2+a2c2+b2c2）=a2(b2+c2)+b2c2. ①
又∵在Rt△BOC中，OD⊥BC，∴OB2·OC2=b2c2=OD2·BC2=OD2·(b2+c2). ②
∴②代入①得：S2△OAB+S2△OBC+S2△OAC=（b2+c2）·AD2=BC2·AD2=S2△ABC.
【方法技巧】（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间中线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质.
【探究创新】
【解析】在图(1)中如图所示，
设AB=a,BC=b,

则阴影周长为2(a+b),
区域直径为AC= ,
则，
当且仅当a=b时等号成立.
在图(2)中设大圆半径为R，则阴影右面边界长为大圆周长一半即πR，而左侧割补恰好为一个半径为的小圆周长2·π·=πR，故阴影周长为2πR，而封闭区域直径为2R，故周率为π，在图(3)中如图所示，

△AOD为等边三角形，且△DMC也为等边三角形，
故AO=AD，DM=DC=OB，
∴AD+DM=AO+OB=AB,
同理BC+CM=AB，
∴阴影周长为3AB而阴影直径则为AB，故周率为3，
在(4)中连接外凸的六个顶点恰好是圆内接正六边形的六个顶点，设阴影各边长为a,则周长为12a,
而内接正六边形边长b= =R,
R为圆的半径，故阴影直径为2R=a,
故周率为,
∴<3<π<,
故τ1<τ3<τ2<τ4.
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