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59大学物理教案大学物理教案大学物理教案第第 八八 周周第8章 相对论8.6，8.7，8.8，8.9，8.10(一般了解)第9章 机械振动9.1，9.2，9.3作业：P115 8-14，8-16，8-19；P133 9-1，9-5，9-6，9-1060二、狭义相对论的动力学方程二、狭义相对论的动力学方程按以上动量的定义：2201)(cmmvv=vvp则动力学方程为：)1()(220cmdtdmdtddtdv=vvpF狭义相对论动力学方程应满足三个要求：1.洛仑兹变换下方程形式不变。2.在有限力的作用下，物体速度不会超过光速。3.当vc时，近似式为F=ma。普通物理教案普通物理教案普通物理教案它满足以上三个要求。61 4.5 质量与能量的关系质量与能量的关系由动能定律，外力做功等于物体动能的增量：rF ddEk=代入：和，有：)(vmdtd=Fdtdv=rvvv2dmdmmddmdtmdtddEk+=+=vvvvvv)(2201/cmmv=232220)1(ccdmdmvvv=一、相对论中的动能一、相对论中的动能普通物理教案普通物理教案普通物理教案由62代入动能的增量，可得：dmcdmdmdEk22=+=vvv=kEmmkdmcdE02022200221(1)1kEmcm cm cc=v代入边界条件，积分：00,0kmmE=v普通物理教案普通物理教案普通物理教案vvvdmcdm=)(22有63爱因斯坦从上述动能表达式中得到启示，提出物体静止能量和运动时所具有能量的见解：2200Em cEm c=上式称为质能关系。物体的能量等于静止能量与动能之和。质能关系揭示了质量与能量之间的深刻联系，是核能研究的理论基础。二、质能关系二、质能关系普通物理教案普通物理教案普通物理教案64 4.6 能量与动量的关系能量与动量的关系222021ccmmcEv=将上式两边平方，并由，于是有vmp=2224202/1EcpcmE=由此式可解得：222240Ep cm c=+普通物理教案普通物理教案普通物理教案质能关系65上式即为狭义相对论中能量与动量的关系，简称能动关系能动关系。Epcm0c2普通物理教案普通物理教案普通物理教案chhE=22chcEm=hcEp=由质能关系和能动关系：由光子速度为c，可知光子的静止质量为零。由光的量子理论可知光子能量为66思考题：解答解答C1.设某微观粒子的总能量是它静止能量的倍，则其运动速度的大小为（以表示真空中的光速）（）（）（）（）1Kc21KKc12KKc)2(1+KKKc普通物理教案普通物理教案普通物理教案2022201cKmccm=v672.根据相对论力学，动能为0.25MeV 的电子，其运动速度约等于（）0.1（）0.5（）0.75（）0.85（表示真空中的光速）普通物理教案普通物理教案普通物理教案MevcmMevcmccm5.025.0120202220=v解答解答C683.在参照系中，有两个静止质量都是0的粒子和，分别以速度v 沿同一直线相向运动，相碰后合在一起成为一个粒子，则其静止质量0的值为（）（）（）（）02m20)/(12cvm20)(12cvm20)(12cvm普通物理教案普通物理教案普通物理教案202220222011cMccmccm=+vv解答解答D694.把一个静止质量为m0的粒子，由静止加速到v 0.6（为真空中光速）需作的功等于（）0.1802 （）0.2502（）0.3602 （）1.2502普通物理教案普通物理教案普通物理教案01202220=cmccmWv解答解答B705.令电子的速率为v，则电子的动能K对于比值v/c的图线可用下列图中哪一个图表示？（c表示真空中光速）普通物理教案普通物理教案普通物理教案2022201cmccmEk=v解答解答D71解:两个静止质量均为m0的小球所组成的系统，在碰撞前后动量守恒，以m表示碰撞前运动小球的相对论质量，M、V分别表示碰撞后合成小球的质量和速度，则有MVm=v而：6.0)/(1020mcmm=v普通物理教案普通物理教案普通物理教案两个静止质量都是m0的小球，其中一个静止，另一个以v0.8c运动。它们做对心碰撞后粘在一起，试求碰撞后合成小球的静止质量。例题八：722220m cmcMc+=即：Mmm=+0将式代入式得：000386.0mmmM=+=设碰撞后合成小球的静止质量为M0，则根据质速关系有20)/(1cVMM=普通物理教案普通物理教案普通物理教案此系统碰撞前后遵循能量守恒定律，则有：73将式 及 M=8/3m0 代入式得：02000220334)8.0836.0(138)/(1)/(1mccmmmcMmMcVMM=v普通物理教案普通物理教案普通物理教案有一静止质量为m0的粒子，具有初速度v0.4c。试求：（l）若粒子速度增加一倍，它的动量为初动量的多少倍？（2）若使粒子的未动量为初动量的10倍，则粒子末速度为初速度的多少倍？例题九：74解：（1）设P(v)和P(2v)为粒子的初、末动量，则有02222022221()2 1()2 10.43.12140.41()1()mPccmPcc=vvvvvv即在此速度时，速度增加一倍，动量增加了约3倍。这是因为粒子的质量也增加所造成的。（2）由已知的粒子初速度v为0.4c可求出粒子的初动量为P=0.44m0c，而未动量为P=10P。普通物理教案普通物理教案普通物理教案75由可得：021(/)mPc=vv22222200PcP cPm cPm c=+vv所以：2222220022222200102.4100PPm cPm cPPm cPm c+=+vv即当P=10P时，粒子末速度只是初速度的2.4倍。普通物理教案普通物理教案普通物理教案76一粒子的静止质量为1/310-26kg，以速率3c/5垂直进入水泥墙。墙厚50cm，粒子从墙的另一面穿出时的速率减少为5c/13。求：（1）粒子受到墙的平均阻力。（2）粒子穿过墙所需的时间。解：cmdckgm135,5.0,53,103121260=vv（1）由动能定律)/(1)/(1221202222012ccmccmEEdFWKKvv=普通物理教案普通物理教案普通物理教案例题十：77N102212222010)/(11)/(11(=ccdcmFvv负号表示阻力。（2）由动量定理221 1F tmm=vvs811221031=Fmmtvv普通物理教案普通物理教案普通物理教案1第五章第五章 机 械 振 动5.1 简谐振动的描述一、简谐振动的解析表示 振幅、相位和频率简谐振动的描述一、简谐振动的解析表示 振幅、相位和频率简谐振动是一种最简单、最基本的振动形式。复杂的振动可分解为许多不同频率的简谐振动，而许多不同频率的简谐振动也可叠加为复杂振动。弹簧振子的振动是简谐振动的一种理想模型。简谐振动的数学关系式有余弦或正弦形式：cos()xAt=+普通物理教案普通物理教案普通物理教案2mmmx0 x1x2A 振幅物体的最大位移；初相决定物体初始时刻的位移；)(+t相位决定任意时刻物体的位移。初相和相位也能决定初始或任意时刻物体的速度、加速度。称为角频率；频率为每秒完整振动的次数。物体做一次完整的振动，余弦宗量增加2。t时间内，物体将作t次振动，则有：)cos(+=tAx普通物理教案普通物理教案普通物理教案)(+t3物体做一次完整振动的时间称为周期：对振动方程求导，可得速度和加速度的表达式：2=/2/1=Tsin()dxAtdt=+v（2）222cos()d xaAtdt=+（3）普通物理教案普通物理教案普通物理教案tt=+2)(，因,为常数，4比较（1）式和（3）可得：如果一个物体做简谐振动，它的加速度和位移成正比，但方向相反。xa2=二、简谐振动的振幅矢量图示法二、简谐振动的振幅矢量图示法为了帮助理解，简谐振动方程可用简单的几何图示来说明，如旋转矢量法或参考圆表示法：如下图所示，参考点Q以o为圆心，A为半径，做逆时针匀速圆周运动，角速度为。初始时刻（t=0）位置矢量oQ与x轴的夹角为，任意时刻t，oQ与x轴的夹角为，此时Q点在x轴的投影相当于（1）式所表示的简谐振动方程。)(+t普通物理教案普通物理教案普通物理教案5xyQ(t)Qt+xx0ot=0普通物理教案普通物理教案普通物理教案6x相位的超前与落后：研究两个振动的迭加时，相位差起决定作用，设有两个同频率的振动：和两者的相位差为：)cos(111+=tAx)cos(222+=tAx普通物理教案普通物理教案普通物理教案xQ(t)t+oamaQ(t)t+ovmvyy7=+1212)()(tt当时，两振动同相位；),2,1,0(2?=kk当时，两振动反相位；),2,1,0()12(?=+=kk当，这时说x2比x1超前900，也可说x1比x2 落后900。将振动位移、速度、加速度比较，速度比位移超前/2，加速度比速度移超前/2。2/=普通物理教案普通物理教案普通物理教案8xvattT/4T/4T/4T/2T/2T/23T/43T/4TTT3T/4t-A-A-A2ooo如把位移、速度、加速度都用余弦形式表达，设=0则：)cos(tAx=)2/cos(+=tAv)cos(2+=tAa可见速度的最大值比位移 的 最 大 值 早1/4周期，加速度的最大值比速度最大值早1/4周期。普通物理教案普通物理教案普通物理教案9一物体沿X轴作简谐振动。其振幅A10cm，周期T2s，t0时物体的位移为 x05cm，且向X轴负方向运动。试求：（l）t 0.5s时物体的位移；（2）何时物体第一次运动到 x5cm处；（3）再经过多少时间物体第二次运动到 x5cm处。普通物理教案普通物理教案普通物理教案解解:由已知条件可画出该谐振动在t0时刻的旋转矢量位置，如图所示：由图可以看出3231=所以该物体的振动方程为：)322cos(10.0+=Ttxt=o-52/3ot1t2X例题110（l）将 T2s，代入振动方程可得 t 0.5s 时质点的位移为：)(087.0)322cos(10.0mx=+=（2）当物体第一次运动到 x5cm处时，旋转矢量转过的角度为，如图所示，所以有sTtt121,11=即（3）当物体第二次运动到x5cm处时，旋转矢量又转过2 /3，如图所示，所以有sTtttt323132,32)(12=即普通物理教案普通物理教案普通物理教案t=o-52/3ot1t2X115.2 简谐振动的动力学表述简谐振动的动力学表述一一、弹簧振子的运动微分方程及其解、弹簧振子的运动微分方程及其解在弹簧振子系统中，物体受弹性力为：kxF=按牛顿第二定律，得：22dtxdmmakxF=或：xxmkdtxd222)(=普通物理教案普通物理教案普通物理教案mx0 xFo12上述方程的解有三种形式：+=+=+=titiBeAextAxtBtAx)cos(sincos其中mk=选用的通解形式为：)cos(+=tAx上式中当t=0时，cos0Ax=sin0A=v由此可求得：2200Ax=+v00arctanx=v普通物理教案普通物理教案普通物理教案13水面上浮沉的木块可看作简谐振动吗？如果是，周期为多少？解：解：木块偏离平衡位置距离为x时，所受浮力与重力之差为：SgxmgffgSxmgxxgSf水浮水水浮=+=+=00)(普通物理教案普通物理教案普通物理教案例题2Sfx x014gSmT水22=此力相当于弹性系数k为的准弹性力。木块受一相当于弹性恢复力的作用，因而是简谐振动，其周期为：Sg水普通物理教案普通物理教案普通物理教案mgSmk水=15二、谐振动的能量二、谐振动的能量设弹簧振子的物体位移为x，速度为v，系统的弹性势能和动能分别为：)(cos2121222+=tkAkxEp)(sin21)(sin2121222222+=+=tkAtAmmEkv上式中我们利用了公式，系统的总机械能为：mk/2=222111222EkxmkA=+=v普通物理教案普通物理教案普通物理教案16系统的势能和动能的总量守恒，而且总能量与振幅的平方成正比。系统的势能和动能的总量守恒，而且总能量与振幅的平方成正比。普通物理教案普通物理教案普通物理教案弹簧振子的能量曲线图：物体在平衡位置附近振动时，在平衡位置时势能为零，动能最大；通过平衡位置后，动能逐渐减小，势能逐渐增大；当动能为零时，势能最大，物体静止。然后物体往回运动。物体在周而复始的运动中，总能量保持不变。EEPEPEkxA-Aox17弹性系数为k，质量为M的弹簧振子，静止的放在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以水平速度v1射入 M中，与它一起运动。选M、m开始共同运动的时刻t=0,求固有的角频率、振幅和初相位？Mxov1解：解：碰撞后振子的质量为M+m，固有的角频率为：mMk+=0由碰撞过程的动量守恒，碰撞后的初速度为：普通物理教案普通物理教案普通物理教案例题318mMm+=10vv这里v1和v0都是负值，初始动能为，在最大位移处全部转化为弹性势能，由此得：20v)(21mM+221kA120)(vvmMkmkmMA+=+=在t=0时刻，有：x0）普通物理教案普通物理教案普通物理教案mAvA=(mA+mB)V，V=vA/2 215.3 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动1.单摆GsinGcosGTlo普通物理教案普通物理教案普通物理教案22单摆所受的重力的切向分力：sinmg单摆小球的切向加速度：)/(22dtdla=由牛顿第二定律：22sindtdmlmg=GsinGcosGTlo当很小时，sin222=lgdtd普通物理教案普通物理教案普通物理教案23则有：cos()mt=+，其中/g l=普通物理教案普通物理教案普通物理教案2.复摆（物理摆）loMC24一个可绕水平轴摆动的刚体构成物理摆。选如图O为支点，则：sinlmgM=2mlJJC+=loMC运动方程为：22dtdJM=即：0sin22=+mgJldtd普通物理教案普通物理教案普通物理教案25cos()mt=+其中：mglJ=对于单摆，2mlJ=代入即可得单摆的表达式。普通物理教案普通物理教案普通物理教案3.扭摆扭转力矩和运动方程分别为：kM=22dtdJM=当很小时，sinJmgldtd=2226由以上两式可得：Jkdtd=22可知其振动的角频率为kJ=扭摆的周期为：2TJ k=已知k，再测得T可计算出转动惯量。普通物理教案普通物理教案普通物理教案27稳定平衡附近的运动：*稳定平衡附近的运动：*EPxooFx在许多系统中，回复力包含非线性项，势能曲线如图所示：在图中稳定平衡点o，x=0处，势能有极小值：0)(,0)(0220=dxEddxdEpp与势能相应的作用力为：dxdExFp=)(普通物理教案普通物理教案普通物理教案在x=0附近，F(x)-x曲线如图所示。28在原点附近对F(x)做泰勒级数展开：?+=xdxdFFxF0)()0()(由平衡位置的极值条件，可知：kdxEddxEddxdFFpp=0220220)(,0)()(,0)0(令在x较小，可略去二阶以上项：()F xkx=普通物理教案普通物理教案普通物理教案物体在回复力作用下，在稳定平衡位置附近的运动，可近似看作简谐振动。29在某些双原子分子中，两原子间的相互作用力可以用表示，其中a与b均为正的常数，而r为两原子间的距离。图中表示了势能EP随r的变化曲线。(1)证明在平衡时原子间距为b/a(2)证明原子在平衡位置附近的微振动是简谐振动，劲度系数为a4/b3(3)试求振动的周期EP ror0=b/a解：(1)原子在平衡位置受力为零，故：23abFrr=+普通物理教案普通物理教案普通物理教案例题5 *30032=+=rbraF所以平衡时原子间距为：abr=0(2)设原子在平衡位置附近位移为x，所受到的力F可展开为幂级数：?+=xdrdFFxFrr0)()0()(式中 xr-r0，F(0)为原子在平衡位置所受的力，故F(0)0。若忽略二阶及二阶以上的小量，则有：xdrdFxFrr0)()(=普通物理教案普通物理教案普通物理教案313443)32()(0barbradrdFabrrr=故：kxxbaF=34所以，原子在平衡位置附近的振动为谐振动，且劲度系数为43akb=(3)分子中原子的振动周期为：3422mbTmka=普通物理教案普通物理教案普通物理教案