上海交大大学物理习题5.doc

习题5
5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为、半径为的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为和的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为，将由两个定滑轮以及质量为和的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
解：受力分析如图，可建立方程：
┄①
┄②
┄③
┄④
，┄⑤
联立，解得：，。
5-2．如图所示，一均匀细杆长为，质量为，平放在摩擦系数为的水平桌面上，设开始时杆以角速度绕过中心且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。
解：（1）设杆的线密度为：，在杆上取一小质元，有微元摩擦力：
，
微元摩擦力矩：，
考虑对称性，有摩擦力矩：
；
（2）根据转动定律，有：，
，∴。
或利用：，考虑到，，
有：。
5-3．如图所示，一个质量为的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为、半径为,其转动惯量为，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。
解：受力分析如图，可建立方程：
┄①
┄②
，┄③
联立，解得：，，
考虑到，∴，有：。
5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为，均匀分布在其边缘上，绳子端有一质量为的人抓住了绳端，而在绳的另一端系了一质量为的重物，如图。已知滑轮对轴的转动惯量，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求端重物上升的加速度？
解一：
分别对人、滑轮与重物列出动力学方程
人
物
滑轮
由约束方程: 和,解上述方程组
得到.
解二：
选人、滑轮与重物为系统，设为人相对绳的速度，为重
物上升的速度，注意到为匀速，，系统对轴的角动量为：

而力矩为：，
根据角动量定理有：，∴。
5-5．计算质量为半径为的均质球体绕其轴线的转动惯量。
解：设球的半径为，总重量为，体密度，
考虑均质球体内一个微元：，
由定义：考虑微元到轴的距离为
，有：

。
5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数，当时弹簧无形变，细棒的质量，求在的位置上细棒至少应具有多大的角速度，才能转动到水平位置？
解：以图示下方的三角桩为轴，从时，
考虑机械能守恒，那么：
时的机械能为：
，
时的机械能为：
有：
根据几何关系：，得：
5-7．如图所示，一质量为、半径为的圆盘，可绕轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：
（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；
（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。
解：（1）设虚线位置的C点为重力势能的零点，
下降过程机械能守恒，
有：，而
∴
（2），方向向上。
5-8．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为和的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为和．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为的小球，以水平速度与杆下端小球作对心碰撞，碰后以的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。
解：根据角动量守恒，有：

有：
∴
5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为，半径为，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为的子弹以水平速度垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过的竖直轴的转动惯量为，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)
解：（1）利用角动量守恒：　　　
得：；
（2）选微分，其中：面密度，

∴由有：，
知：
将代入，即得： 。
5-10．有一质量为、长为的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为m的水平桌面上，它可绕通过其端点且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为和，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。
(已知棒绕点的转动惯量)
解：由碰撞时角动量守恒，考虑到和方向相反，以逆时针为正向，有：
，得：
又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：
，利用，有：
，得：。
5-11．如图所示，滑轮转动惯量为，半径为；物体的质量为，用一细绳与劲度系数的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。
解：（1）设弹簧的形变量为，下落最大距离为。
由机械能守恒：，有：
；
（2）当物体下落时，由机械能守恒：，
考虑到，有：，
欲求速度最大值，将上式两边对求导，且令，有：
，将代入，有：，
∴当m时物体速度达最大值，有：
，代入数值可算出：。
5-12．设电风扇的功率恒定不变为，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度成正比，比例系数的，并已知叶片转子的总转动惯量为。（1）原来静止的电扇通电后秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？
解：（1）已知，而动力矩，
通电时根据转动定律有：
代入两边积分有： ，可求得：；
（2）见上式，当时，电扇稳定转动时的转速：；
（3）断开电源时，电扇的转速为，只有作用，那么：
，考虑到，有：，
得：。
5-13．如图所示，物体放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为，细绳的一端系住物体，另一端缠绕在半径为的圆柱形转轮上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体的速度多大？物体运动后，细绳的张力多大？
解：（1）在细绳刚绷紧时获得一个冲量，得到速度，但此时无位移，摩擦力不做功，系统的机械能守恒：
，其中，，
可算出：；
（2）物体运动后，由牛顿定律：，
考虑到，
可求出：。
5-14. 质量为的小孩站在半径为、转动惯量为的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度为多少？
解：此过程角动量守恒：，有： 。
5-15．以速度作匀速运动的汽车上，有一质量为（较小），边长为的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面边翻转。试求：（1）汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度；（2）此时，货物箱边所受的支反力。
解：（1）角动量守恒：，
根据转动定律 ，；
（2）如图，支反力，而：

∴。
【注：如图，对于立方体绕轴的转动惯量，有：
】

思考题
5-1．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为的定滑轮，绳的两端分别悬有质量和的物体 (<)，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大？
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
联立方程可得 、， 。
5-2．一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴以角速度按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度怎样变化？
答：增大
5-3．个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的：
（A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒；
（C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。
答：（C）
5-4．在边长为的六边形顶点上，分别固定有质量都是的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内，如图所示；（2）设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面，如图所示。
答：以Ⅰ为轴转动惯量 ；
以Ⅱ为轴转动惯量 ；
以Ⅲ为轴转动惯量 。
5-5．如图所示，半径分别是和、转动惯量分别是和的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。
试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？
答：角动量守恒，因为摩擦力的力矩为0。
由，有小圆柱的最终角速度为：
。
5-6．均质细棒的质量为，长为，开始时处于水平方位，静止于支点上。一锤子沿竖直方向在处撞击细棒，给棒的冲量为。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。
答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。
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