2015年高考理科数学全国1卷-含答案.pdf

试卷第 1 页，总 16 页2015 年高考理科数学试卷全国年高考理科数学试卷全国 1 卷卷1设复数 z 满足=，则|z|=（）11zzi（A）1 （B）（C）（D）2232=（）oooosin20 cos10cos160 sin10（A）（B）（C）（D）323212123设命题：，则为（）p2,2nnN n p（A）（B）2,2nnN n 2,2nnN n（C）（D）2,2nnN n 2,=2nnN n 4投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.3125已知 M（）是双曲线 C：上的一点，是 C 上的两个焦点，00,xy2212xy12,F F若，则的取值范围是（）120MFMF 0y（A）（-，）（B）（-，）33333636（C）（，）（D）（，）2 232 232 332 336 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（）（A）14 斛 （B）22 斛 （C）36 斛 （D）66 斛7设为所在平面内一点，则（）DABC3BCCD （A）（B）1433ADABAC 1433ADABAC 试卷第 2 页，总 16 页（C）（D）4133ADABAC 4133ADABAC 8函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）()f xcos()x()f x（A）（B）13(,),44kkkZ13(2,2),44kkkZ（C）（D）13(,),44kkkZ13(2,2),44kkkZ9执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（）（A）5 （B）6 （C）7 （D）810的展开式中，的系数为（）25()xxy52x y（A）10 （B）20 （C）30 （D）6011圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20，则 r=（）（A）1 （B）2 （C）4 （D）812设函数=,其中 a1，若存在唯一的整数，使得()f x(21)xexaxa0 x0()f x0，则的取值范围是（）a（A）-，1）（B）-，）（C），）（D），1）32e32e3432e3432e13若函数 f（x）=为偶函数，则 a=2ln()xxax试卷第 3 页，总 16 页14一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标221164xy准方程为.15若满足约束条件，则的最大值为.,x y10040 xxyxy yx16在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则 AB 的取值范围是.17（本小题满分 12 分）为数列的前项和.已知0，=.nSnanna2nnaa43nS（）求的通项公式；na（）设,求数列的前项和.11nnnba anbn18如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC.（）证明：平面 AEC平面 AFC；（）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.19某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费和年销售量（=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一ixiyi些统计量的值.试卷第 4 页，总 16 页xy w 821()iixx821()iiww81()()iiixxyy81()()iiiww yy46.656.36.8289.81.61469108.8表中，=iiwxw 1881iiw（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传x费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题：（）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据,，,其回归线的斜率和11(,)u v22(,)u v(,)nnu vvu截距的最小二乘估计分别为：20（本小题满分 12 分）在直角坐标系中，曲线 C：y=与直线xoy24x（0）交与 M,N 两点，ykxaa（）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由.21（本小题满分 12 分）已知函数 f（x）=.31,()ln4xaxg xx（）当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线；()yf x（）用 表示 m,n 中的最小值，设函数min,m n，讨论 h（x）零点的个数.()min(),()(0)h xf x g xx22（本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 是的直径，AC 是的切线，BC 交于 E.试卷第 5 页，总 16 页（）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是的切线；（）若，求ACB 的大小.3OACE23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原xOy1Cx2C22121xy点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.x（）求，的极坐标方程；1C2C（）若直线的极坐标方程为，设与的交点为,求3C4R2C3CMN的面积.2C MN24（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数=|x+1|-2|x-a|，a0.（）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.【答案解析答案解析】1.【答案】A【解析】由得，=，故|z|=1，故选 A.11ziz11izi(1)(1)(1)(1)iiii i考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.2.【答案】D【解析】原式=，故选 D.oooosin20 cos10cos20 sin10osin3012考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.3.【答案】C【解析】:，故选 C.p2,2nnN n 考点：本题主要考查特称命题的否定4.【答案】A试卷第 6 页，总 16 页【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选 A.22330.60.40.6C考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式5.【答案】A【解析】由题知，所以=12(3,0),(3,0)FF220012xy12MFMF =，解得，0000(3,)(3,)xyxy2220003310 xyy 03333y故选 A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为 r，则=，所以米堆的体积为12 384r 163r=，故堆放的米约为1.6222，故选 B.211163()5433 32093209考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7.【答案】A【解析】由题知=11()33ADACCDACBCACACAB ，故选 A.1433ABAC 考点：平面向量的线性运算8.【答案】D【解析】由五点作图知，解得，所以1+4253+42 =4，令，解得()cos()4f xx22,4kxkkZ124k x，故单调减区间为（，），故选 D.324k kZ124k 324k kZ考点：三角函数图像与性质9.【答案】C【解析】执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-12试卷第 7 页，总 16 页m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，2mm 执行第 2 次，S=S-m=0.25,=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，2mm 执行第 3 次，S=S-m=0.125,=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，2mm 执行第 4 次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，2mm 执行第 5 次，S=S-m=0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，2mm 执行第 6 次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循2mm 环，执行第 7 次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，2mm 输出 n=7，故选 C.考点：本题注意考查程序框图10.【答案】C【解析】在的 5 个因式中，2 个取因式中剩余的 3 个因式中 1 个取，25()xxy2xx其余因式取 y,故的系数为=30，故选 C.52x y212532C C C考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为=22142222rrrrrr=16+20，解得 r=2，故选 B.2254rr考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式12.【答案】D【解析】设=，由题知存在唯一的整数，使得()g x(21)xexyaxa0 x在直线的下方.0()g xyaxa试卷第 8 页，总 16 页因为，所以当时，0，当时，0，()(21)xg xex12x ()g x12x ()g x所以当时，=，12x max()g x12-2e当时，=-1，直线恒过（1,0）斜率且，故0 x(0)g(1)30geyaxaa，且，解得1，故选 D.(0)1ag 1(1)3geaa 32ea考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题13.【答案】1【解析】由题知是奇函数，所以2ln()yxax=，解得=1.22ln()ln()xaxxax 22ln()ln0axxaa考点：函数的奇偶性14.【答案】22325()24xy【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，a4a222(4)2aa32a 故圆的方程为.22325()24xy考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程15.【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原yx点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为 3.yx试卷第 9 页，总 16 页考点：线性规划解法16.【答案】（，）626+2【解析】如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得，sinsinBCBEEC即，解得=，平移 AD，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此oo2sin30sin75BEBE6+2时与 AB 交于 F，在BCF 中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知，即，解得 BF=，所以 AB 的取值sinsinBFBCFCBBFCoo2sin30sin75BF62范围为（，）.626+2考点：正余弦定理；数形结合思想17.【答案】（）（）21n11646n【解析】试题分析：（）先用数列第项与前项和的关系求出数列的递推公式，可以nnna判断数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列的通项公式；nana（）根据（）数列的通项公式，再用拆项消去法求其前项和.nbn试题解析：（）当时，因为，所以1n 211112434+3aaSa0na=3，1a试卷第 10 页，总 16 页当时，=，即2n 2211nnnnaaaa14343nnSS 4na，因为，所以=2，111()()2()nnnnnnaaaaaa0na 1nnaa所以数列是首项为 3，公差为 2 的等差数列，na所以=；na21n（）由（）知，=，nb1111()(21)(23)2 2123nnnn所以数列前 n 项和为=nb12nbbb=.1111111()()()235572123nn11646n考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法18.【答案】（）见解析（）33【解析】试题分析：（）连接 BD，设 BDAC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD 中，不妨设GB=1 易证 EGAC，通过计算可证 EGFG，根据线面垂直判定定理可知 EG平面AFC，由面面垂直判定定理知平面 AFC平面 AEC；（）以 G 为坐标原点，分别以的方向为轴，y 轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系 G-,GB GC x|GB xyz，利用向量法可求出异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值.试题解析：（）连接 BD，设 BDAC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD 中，不妨设GB=1，由ABC=120，可得 AG=GC=.3由 BE平面 ABCD，AB=BC 可知，AE=EC，又AEEC，EG=，EGAC，3在 RtEBG 中，可得 BE=，故 DF=.222在 RtFDG 中，可得 FG=.62在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE=，DF=可得 EF=，2223 22，EGFG，222EGFGEFACFG=G，EG平面 AFC，EG面 AEC，平面 AFC平面 AEC.试卷第 11 页，总 16 页（）如图，以 G 为坐标原点，分别以的方向为轴，y 轴正方向，为,GB GC x|GB 单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，由（）可得 A（0，0），E（1,0,3），F（1,0，），C（0，0），=（1，），=（-2223AE 32CF 1，-，）.10 分322故.3cos,3|AE CFAE CFAECF 所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为.33考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力19.【答案】（）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型；ycdxyx（）（）46.24100.668yx【解析】试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令，先求出建立关于的线性回归方程，即可关于的回归方程；（）wxywyx（）利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值，再根据年利率 z 与yxyx、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值；（）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最x大值时的年宣传费用.试题解析：（）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归ycdxyx方程类型.试卷第 12 页，总 16 页（）令，先建立关于的线性回归方程，由于=wxyw81821()()()iiiiiww yydww，108.8=6816=563-686.8=100.6.cydw关于的线性回归方程为，yw100.668yw关于的回归方程为.yx100.668yx（）（）由（）知，当=49 时，年销售量的预报值xy=576.6，100.668 49y.576.6 0.24966.32z（）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值，0.2(100.668)13.620.12zxxxx 当=，即时，取得最大值.x13.6=6.8246.24x z故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.12 分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20.【答案】（）或（）存在0axya0axya【解析】试题分析：（）先求出 M,N 的坐标，再利用导数求出 M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线 C 的方程整理成关于的一元二次方程，设ykxax出 M,N 的坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线 PM，PN 的斜率之和用表示出a来，利用直线 PM，PN 的斜率为 0,即可求出关系，从而找出适合条件的 P 点坐标.,a b试题解析：（）由题设可得，或，(2,)Ma a(2 2,)Na(2 2,)Ma.(2,)Na a，故在=处的到数值为，C 在处的切线方程12yx 24xy x2 2aa(2 2,)a a为，即.(2)yaa xa0axya试卷第 13 页，总 16 页故在=-处的到数值为-，C 在处的切线方程为24xy x2 2aa(2 2,)a a，即.(2)yaa xa 0axya故所求切线方程为或.0axya0axya（）存在符合题意的点，证明如下：设 P（0，b）为复合题意得点，直线 PM，PN 的斜率分别为11(,)M x y22(,)N xy.12,k k将代入 C 得方程整理得.ykxa2440 xkxa.12124,4xxk x xa=.121212ybybkkxx1212122()()kx xab xxx x()k aba当时，有=0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，ba 12kk故OPM=OPN，所以符合题意.(0,)Pa考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力21.【答案】（）；（）当或时，由一个零点；当34a 34a 54a ()h x或时，有两个零点；当时，有三个零点.34a 54a ()h x5344a()h x【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（）根据对数函数的图像与性质将分为研究ax1,1,01xxx的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.()h xa试题解析：（）设曲线与轴相切于点，则，()yf xx0(,0)x0()0f x，即，解得.0()0fx3002010430 xaxxa013,24xa因此，当时，轴是曲线的切线.34a x()yf x（）当时，从而(1,)x()ln0g xx 试卷第 14 页，总 16 页，()min(),()()0h xf x g xg x在（1，+）无零点.()h x当=1 时，若，则，,故x54a 5(1)04fa(1)min(1),(1)(1)0hfgg=1 是的零点；若，则，x()h x54a 5(1)04fa,故=1 不是的零点.(1)min(1),(1)(1)0hfgfx()h x当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.(0,1)x()ln0g xx()f x（）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）3a 0a 2()3fxxa()f x单调，而，所以当时，在（0，1）有一个零点；1(0)4f5(1)4fa3a ()f x当0 时，在（0，1）无零点.a()f x（）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，30a()f x3a3a故当=时，取的最小值，最小值为=.x3a()f x()3af21334aa若0，即0，在（0,1）无零点.()3af34a()f x若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；()3af34a ()f x若0，即，由于，所以当()3af334a 1(0)4f5(1)4fa时，在（0,1）有两个零点；当时，在5344a()f x534a ()f x（0,1）有一个零点.10 分综上，当或时，由一个零点；当或时，34a 54a ()h x34a 54a 有两个零点；当时，有三个零点.()h x5344a()h x考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想试卷第 15 页，总 16 页22.【答案】（）见解析（）60【解析】试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中线性质知 DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证DEC+OEB=90，即OED=90，所以 DE 是圆 O 的切线；（）设 CE=1,由得，AB=，设 AE=，由勾3OACE2 3x股定理得，由直角三角形射影定理可得，列出关于212BEx2AECE BE的方程，解出，即可求出ACB 的大小.xx试题解析：（）连结 AE，由已知得，AEBC，ACAB，在 RtAEC 中，由已知得 DE=DC，DEC=DCE，连结 OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE 是圆 O 的切线.（）设 CE=1，AE=,由已知得 AB=，x2 3212BEx 由射影定理可得，2AECE BE，解得=，ACB=60.2212xxx3考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23.【答案】（）,（）cos2 22 cos4 sin4012【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；1C2C（）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面=422 cos4 sin40积公式即可求出的面积.2C MNA试题解析：（）因为，cos,sinxy的极坐标方程为，的极坐标方程为1Ccos2 2C.5 分22 cos4 sin40试卷第 16 页，总 16 页（）将代入，得，解得=422 cos4 sin4023 240=，=，|MN|=，12 222122因为的半径为 1，则的面积=.2C2C MNAo12 1 sin452 12考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24.【答案】（）（）（2，+）2|23xx【解析】试题分析：（）利用零点分析法将不等式f（x）1 化为一元一次不等式组来解；（）将化为分段函数，求出与轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三()f x()f xx角形的面积，根据题意列出关于的不等式，即可解出的取值范围.aa试题解析：（）当 a=1 时，不等式f（x）1 化为|x+1|-2|x-1|1，等价于或或，解得11221xxx 111221xxx 11 221xxx，223x所以不等式f（x）1 的解集为.2|23xx（）由题设可得，1 2,1()31 2,112,xa xf xxaxaxa xa 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，()f xx21(,0)3aA，所以ABC 的面积为.(21,0)Ba(,+1)C a a22(1)3a由题设得6，解得.22(1)3a2a 所以的取值范围为（2，+）.a考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法