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第9讲 函数与方程
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2＋2x＋3a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a＜ B．a＞ C．a≤ D．a≥
解析：由题意，函数f(x)＝x2＋2x＋3a没有零点，即方程x2＋2x＋3a＝0无解，即方程
的判别式小于零，解不等式Δ＝22－4×3a＜0，解得a＞.
答案：B
2．(2009·福建)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，
则f(x)可以是( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln
解析：∵g′(x)＝4xln 4＋2＞0，∴g(x)在(－∞，＋∞)上是递增函数．
又g(0)＝1－2＝－1＜0，g＝2＋1－2＝1＞0，
∴g(x)只有一个零点x0，且x0∈.
对于选项A：f(x)＝4x－1，其零点为x＝，
∴＜，故选项A符合．
答案：A
3．(2010·改编题)已知函数f(x)＝，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则
函数g(x)＝f(x)＋x的零点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：f(0)＝－2，即－02＋b·0＋c＝－2，c＝－2；
f(－1)＝1，即－(－1)2＋b·(－1)＋c＝1，故b＝－4.
故f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＝，令g(x)＝0，
则－2＋x＝0，解得x＝2，或－x2－3x－2＝0，解得x＝－2或－1，故有3个零点．
答案：C
4．(2010·山东枣庄调研)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，
f(x)＝1－x2，函数g(x)＝，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]内零点 的个数为( )
A．12 B．14 C．13 D．8
解析：如右图，当x∈[0,5]时，结合图象知f(x) 与g(x) 共有5个交点，故在区间[-5,0]上共有5 个交点；当x∈(0,10] 时结合图象知共有9个交 点．故函数h(x)=f(x)-g(x)在区间 [-5,10]上共有14 个零点．
答案：B
二、填空题
5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0可
得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
解析：∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)＜0，f(0.5)＞0，则f(x)在x∈(0,0.5)
上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．
答案：(0,0.5) f(0.25)
6．(2009·天津南开调研)若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2
－ax－1的零点是________．
解析：由，得
∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点为－，－.
答案：－，－
7．(2010·广东茂名调研)设方程2x＋x＝4的根为x0，若x0∈，则整数k＝
________.
解析：根据题意，当x＝时，2x＋x＜4；当x＝时，2x＋x＞4；所以x0∈，故
整数k＝1.
答案：1
三、解答题
8．函数f(x)＝x3－3x＋2，
(1)求f(x)的零点；
(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围．
解：f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)
＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)．
(1)令f(x)＝0，函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2.
(2)令f(x)＜0，得x＜－2；
所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)；
满足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}；
令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且只有一个零点，求实数m的取值范围，并求出零
点．
解：由题意知：方程4x＋m·2x＋1＝0只有一个零点．
令2x＝t(t＞0)，∴方程t2＋m·t＋1＝0只有一个正根，
∴由图象可知∴m＝－2.
当m＝－2时，t＝1，∴x＝0.∴函数f(x)的零点为0.
10．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2,0)内，另 一 个根在(1,3)内，求a的取值范围．
解：设f(x)=3x2-5x+a，则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)．
∵f(x)=0的两根分别在区间(-2, 0)，(1, 3)内，
∴
即
解得-12＜a＜0.所求a的取值范围是(-12,0)．
1．(★★★★)若方程ln x＋2x－10＝0的解为x0，则不小于x0 的最小整数是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：分别作出函数y＝ln x与y＝10－2x的图象，如图，由图
可得不小于x0的最小整数是5.
答案：B
2．(2010·创新题)设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，给出下列四个命题：
①b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根；②c＝0时，y＝f(x)是奇函数；③y＝
f(x)的图象关于点(0，c)对称；④函数f(x)至多有两个零点．
则上述命题中所有正确命题的序号是________．
解析：当b＝0，c＞0时，f(x)＝x|x|＋c＝0，结合图象知f(x)＝0只有一个实数根，故①
正确；当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，f(－x)＝－f(x)，故y＝f(x)是奇函数，②正确；y＝f(x)
的图象可由奇函数g(x)＝x|x|＋bx向上或向下平移|c|个单位得到，而y＝f(x)的图象与y
轴的交点为(0，c)，故函数y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称，③正确；方程|x|x－5x＋6
＝0有三个解－6、2、3，即三个零点，故④错误．
答案：①②③
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