江苏省南通市2011届高三第二次模拟考试(数学).doc

江苏省南通市2011届高三第二次调研测试
数学I

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 曲线在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ．
2． 若（R，i为虚数单位），则ab= ▲ ．
3．命题“若实数a满足，则”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）．
4． 把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm3的27个小正方体，现
从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．
5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例
分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．
6．设和都是元素为向量的集
合，则M∩N= ▲ ．
7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的
a= ▲ ．
8．设等差数列的公差为正数，若
则 ▲ ．
9．设是空间两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线．从“①m⊥n；②⊥；③n⊥；④m⊥”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．
10．定义在R上的函数满足：，当时，．下列四个
不等关系：；；；．
其中正确的个数是 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线的左、右焦点，△ABC 的顶点
C在双曲线的右支上，则的值是 ▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy中，设点、，定义：． 已
知点，点M为直线上的动点，则使取最小值时点M的坐标是
▲ ．
13．若实数x，y，z，t满足，则的最小值为 ▲ ．
14．在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数，使得
=，则的取值范围是 ▲ ．
【填空题答案】
1. x－y－2=0 2. 3. 真 4.
5. 2 6. 7. 12 8. 105
9. ①③④②（或②③④①） 10. 1 11.
12.  13.   14.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，平面平面，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO
的P
A
B
C
O
E
F
G
(第15题)
中点，，．求证：
（1）平面；
（2）∥平面．
【证明】由题意可知，为等腰直角三角形，
为等边三角形． …………………2分
（1）因为为边的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以面． …………………5分
P
A
B
C
O
E
F
G
Q
因为平面，所以，
在等腰三角形内，，为所在边的中点，所以，
又，所以平面；…………………8分
（2）连AF交BE于Q，连QO．
因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，
所以，且Q是△PAB的重心，…………………10分
于是，所以FG//QO. …………………12分
因为平面EBO，平面EBO，所以∥平面． …………………14分
【注】第（2）小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH//平面EBO证得.

16．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）设，且，求的值；
（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．
【解】（1）==．……3分
由，得， ………………5分
于是，因为，所以． ………………7分
（2）因为，由（1）知． ………………9分
因为△ABC的面积为，所以，于是. ①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.
由余弦定理得，所以．  ②
由①②可得或 于是． ………………12分
由正弦定理得，
所以． ………………14分
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为、，
上、O
A1
A2
B1
B2
x
y
(第17题)
下顶点分别为、．设直线的倾斜角的正弦值为，圆与以线段为直径的圆
关于直线对称．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（3）若圆的面积为，求圆的方程．
【解】（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），
因为直线的倾斜角的正弦值为，所以，
于是，即，所以椭圆E的离心率 …………4分
（2）由可设，，则，
于是的方程为：，
故的中点到的距离， …………………………6分
又以为直径的圆的半径，即有，
所以直线与圆相切． …………………………8分
（3）由圆的面积为知圆半径为1，从而， …………………………10分
设的中点关于直线：的对称点为，
则 …………………………12分
解得．所以，圆的方程为．…………………14分
18．（本小题满分16分）
如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的
半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．
（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．
（第17题甲）
D
A
C
B
Q
P
N
M
R
S
M
N
P
Q
T
（第17题乙）

【解】（1）如右图，过S作SH⊥RT于H，
S△RST=． ……………………2分
由题意，△RST在月牙形公园里，
RT与圆Q只能相切或相离； ……………………4分
RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
则有RT≤4，SH≤2，
当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．
此时，场地面积的最大值为S△RST==4（km2）． ……………………6分

（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=，则有
．
……………………8分
令，则
． ………………… 11分
若，，
又时，，时，， …………………14分
函数在处取到极大值也是最大值，
故时，场地面积取得最大值为（km2）． …………………16分
19． （本小题满分16分）
设定义在区间[x1， x2]上的函数y=f(x)的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向
量=，，=(x，y)，当实数λ满足x=λ x1+(1－λ) x2时，记向
量=λ+(1－λ)．定义“函数y=f(x)在区间[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指
“k恒成立”，其中k是一个确定的正数．
（1）设函数 f(x)=x2在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；
（2）求证：函数在区间上可在标准k=下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln(e－1)=0.541）
【解】（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，
所以B，N，A三点共线， ……………………2分
又由x=λ x1+(1－λ) x2与向量=λ+(1－λ)，得N与M的横坐标相同． ……………4分
对于 [0，1]上的函数y=x2，A(0，0)，B(1，1)，
则有，故；
所以k的取值范围是． ……………………6分
（2）对于上的函数，
A()，B()， ……………………8分
则直线AB的方程， ……………………10分
令，其中，
于是， ……………………13分
列表如下：
x
em
(em，em+1－em)
em+1－em
(em+1－em，em+1)
em+1

+
0
－

0
增

减
0
则，且在处取得最大值，
又0.123，从而命题成立． ……………………16分
20．(本小题满分16分)
已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意给定的，是否存在（）使成等差数列？若存
在，用分别表示和（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．
【解】（1）当时，；
当时，，
所以；
综上所述，． ……………………3分
（2）当时，若存在p，r使成等差数列，则，
因为，所以，与数列为正数相矛盾，因此，当时不存在； …………5分
当时，设，则，所以， ……………………7分
令，得，此时，，
所以，，
所以；
综上所述，当时，不存在p，r；当时，存在满足题设.
……………………10分
（3）作如下构造：，其中，
它们依次为数列中的第项，第项，第项， ……12分
显然它们成等比数列，且，，所以它们能组成三角形．
由的任意性，这样的三角形有无穷多个． ……………………14分
下面用反证法证明其中任意两个三角形和不相似：
若三角形和相似，且，则，
整理得，所以，这与条件相矛盾，
因此，任意两个三角形不相似．
故命题成立． ……………………16分
【注】1．第（2）小题当ak不是质数时，p，r的解不唯一；
2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设，且符合题意，则公比>1，因，又，则，所以，因为三项均为整数，所以为内的既约分数且含平方数因子，经验证，仅含或时不合，所以；
3．第（3）小题的构造形式不唯一．
数学II（附加题）
21．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分，
（第21—A题）
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，
过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，
∠BPC=40°，求∠MPB的大小．
【解】因为MA为圆O的切线，所以．
又M为PA的中点，所以．
因为，所以． ………………5分
于是．
在△MCP中，由，得∠MPB=20°． ………………10分
B．选修4—2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值
的一个特征向量为．求矩阵A．
【解】由特征值、特征向量定义可知，A，
即，得 ……………………5分
同理可得 解得．因此矩阵A． …………10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为．以直角坐标系原
点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．点
P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
【解】化简为，
则直线l的直角坐标方程为． …………………4分
设点P的坐标为，得P到直线l的距离，
即，其中． …………………8分
当时，． ………………10分
D．选修4—5：不等式选讲
若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．
【解】因为正数a，b，c满足a+b+c=1，
所以，，………………5分
即，
当且仅当，即时，原式取最小值1． ………………10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．在正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.
A1
BA
DCBA
O
（第22题）
EBA
B1CBA
A1CBA
CBA
C1
D1
（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；
（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.
【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以
为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，
E，
于是，.
由cos＝＝.
所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为. ……………………5分
（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0
得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) . ……………………7分
由D1E＝λEO，则E，=.
又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.
得 取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) .
因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2． ……………………10分

23．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.
（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望E；
（2）求恰好得到n分的概率．
【解】（1）所抛5次得分的概率为P(＝i)= (i=5，6，7，8，9，10)，
其分布列如下：

5
6
7
8
9
10
P

E== (分) . ……………………5分
（2）令pn表示恰好得到n分的概率. 不出现n分的唯一情况是得到n－1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n分”的概率是1－pn，“恰好得到n－1分”的概率是pn－1，
因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有1－pn=pn－1， ……………………7分
即pn－=－.
于是是以p1－=－=－为首项，以－为公比的等比数列.
所以pn－=－，即pn＝.
答：恰好得到n分的概率是. …………………10分

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

- 15 -