江苏省南通市2011届高三第二次模拟考试(数学).doc

江苏省南通市2011届高三第二次调研测试数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1 曲线在点（1,1）处的切线方程是 2 若（R，i为虚数单位），则ab= 3命题“若实数a满足，则”的否命题是 命题（填“真”、“假”之一）4 把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 5 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30、50、10和10，则全班学生的平均分为 分6设和都是元素为向量的集合，则MN= 7 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a= 8设等差数列的公差为正数，若则 9设是空间两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： （用代号表示）10定义在R上的函数满足：，当时，下列四个不等关系：；其中正确的个数是 11在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线的左、右焦点，ABC 的顶点C在双曲线的右支上，则的值是 12在平面直角坐标系xOy中，设点、，定义： 已知点，点M为直线上的动点，则使取最小值时点M的坐标是 13若实数x，y，z，t满足，则的最小值为 14在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数，使得=，则的取值范围是 【填空题答案】1. xy2=0 2. 3. 真 4. 5. 2 6. 7. 12 8. 105 9. （或） 10. 1 11. 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）如图，平面平面，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的PABCOEFG(第15题)中点，求证：（1）平面；（2）平面【证明】由题意可知，为等腰直角三角形，为等边三角形 2分（1）因为为边的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以面 5分PABCOEFGQ因为平面，所以，在等腰三角形内，为所在边的中点，所以，又，所以平面；8分（2）连AF交BE于Q，连QO因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，所以，且Q是PAB的重心，10分于是，所以FG/QO. 12分因为平面EBO，平面EBO，所以平面 14分【注】第（2）小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH/平面EBO证得.16（本小题满分14分）已知函数（1）设，且，求的值；（2）在ABC中，AB=1，且ABC的面积为，求sinA+sinB的值【解】（1）=3分 由，得， 5分于是，因为，所以 7分（2）因为，由（1）知 9分因为ABC的面积为，所以，于是. 在ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.由余弦定理得，所以 由可得或 于是 12分由正弦定理得，所以 14分17（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为、，上、OA1A2B1B2xy(第17题)下顶点分别为、设直线的倾斜角的正弦值为，圆与以线段为直径的圆关于直线对称（1）求椭圆E的离心率；（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；（3）若圆的面积为，求圆的方程【解】（1）设椭圆E的焦距为2c（c0），因为直线的倾斜角的正弦值为，所以，于是，即，所以椭圆E的离心率 4分（2）由可设，则，于是的方程为：，故的中点到的距离， 6分又以为直径的圆的半径，即有，所以直线与圆相切 8分（3）由圆的面积为知圆半径为1，从而， 10分设的中点关于直线：的对称点为，则 12分解得所以，圆的方程为14分18（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地（1）如图甲，要建的活动场地为RST，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积（第17题甲）DACBQPNMRSMNPQT（第17题乙）【解】（1）如右图，过S作SHRT于H，SRST= 2分由题意，RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离； 4分RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT4，SH2，当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立 此时，场地面积的最大值为SRST=4（km2） 6分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设BPA=，则有 8分令，则 11分若，又时，时， 14分函数在处取到极大值也是最大值，故时，场地面积取得最大值为（km2） 16分19 （本小题满分16分）设定义在区间x1， x2上的函数y=f(x)的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向量=，=(x，y)，当实数满足x= x1+(1) x2时，记向量=+(1)定义“函数y=f(x)在区间x1，x2上可在标准k下线性近似”是指“k恒成立”，其中k是一个确定的正数（1）设函数 f(x)=x2在区间0，1上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；（2）求证：函数在区间上可在标准k=下线性近似（参考数据：e=2.718，ln(e1)=0.541）【解】（1）由=+(1)得到=，所以B，N，A三点共线， 2分又由x= x1+(1) x2与向量=+(1)，得N与M的横坐标相同 4分对于 0，1上的函数y=x2，A(0，0)，B(1，1)，则有，故；所以k的取值范围是 6分（2）对于上的函数，A()，B()， 8分则直线AB的方程， 10分令，其中，于是， 13分列表如下：xem(em，em+1em)em+1em(em+1em，em+1)em+1+00增减0则，且在处取得最大值，又0.123，从而命题成立 16分20(本小题满分16分)已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）对任意给定的，是否存在（）使成等差数列？若存在，用分别表示和（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为【解】（1）当时，；当时， 所以；综上所述， 3分 （2）当时，若存在p，r使成等差数列，则，因为，所以，与数列为正数相矛盾，因此，当时不存在； 5分 当时，设，则，所以， 7分 令，得，此时， 所以， 所以；综上所述，当时，不存在p，r；当时，存在满足题设.10分（3）作如下构造：，其中，它们依次为数列中的第项，第项，第项， 12分显然它们成等比数列，且，所以它们能组成三角形由的任意性，这样的三角形有无穷多个 14分下面用反证法证明其中任意两个三角形和不相似：若三角形和相似，且，则，整理得，所以，这与条件相矛盾，因此，任意两个三角形不相似故命题成立 16分 【注】1第（2）小题当ak不是质数时，p，r的解不唯一；2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设，且符合题意，则公比1，因，又，则，所以，因为三项均为整数，所以为内的既约分数且含平方数因子，经验证，仅含或时不合，所以； 3第（3）小题的构造形式不唯一数学II（附加题）21【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分，（第21A题）解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且BMP=100，BPC=40，求MPB的大小【解】因为MA为圆O的切线，所以又M为PA的中点，所以因为，所以 5分于是在MCP中，由，得MPB=20 10分B选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为求矩阵A【解】由特征值、特征向量定义可知，A，即，得 5分同理可得 解得因此矩阵A 10分C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值【解】化简为，则直线l的直角坐标方程为 4分设点P的坐标为，得P到直线l的距离，即，其中 8分当时， 10分D选修45：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值【解】因为正数a，b，c满足a+b+c=1，所以，5分即，当且仅当，即时，原式取最小值1 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22在正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1EEO. A1BADCBAO（第22题）EBAB1CBAA1CBACBAC1D1（1）若=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若平面CDE平面CD1O，求的值.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，E， 于是，.由cos.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为. 5分（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m0，m0得 取x11，得y1z11，即m=(1，1，1) . 7分由D1EEO，则E，=.又设平面CDE的法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0.得 取x2=2，得z2，即n(2，0，) .因为平面CDE平面CD1F，所以mn0，得2 10分23一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望E；（2）求恰好得到n分的概率【解】（1）所抛5次得分的概率为P(i)= (i=5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：5678910P E= (分) . 5分（2）令pn表示恰好得到n分的概率. 不出现n分的唯一情况是得到n1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n分”的概率是1pn，“恰好得到n1分”的概率是pn1，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有1pn=pn1， 7分即pn=. 于是是以p1=为首项，以为公比的等比数列. 所以pn=，即pn. 答：恰好得到n分的概率是. 10分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m- 15 -