江苏省南通、扬州、泰州三市2010届高三第二次模拟考试(数学).doc

江苏省南通、扬州、泰州三市2010届高三第二次模拟考试
数学试卷
必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．命题“，”的否定是 ▲ ．
2．已知复数为实数，则实数m的值为 ▲ ．
3．曲线在点（1，2）处的切线方程是 ▲ ．
4．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=2．在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为 ▲ ．
5．某算法的伪代码如下：
S←0
i←1
While i≤100
S←
i←i＋2
End While
Print S
则输出的结果是 ▲ ．
6．设全集U=R，，B={x | sin x≥}，则 ▲ ．
▲
▲
7．设l，m表示两条不同的直线，α表示一个平面，从“∥、⊥”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为真命题，即： m ▲ α．
8．已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
9．设圆的一条切线与轴、轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为 ▲ ．

10．将正偶数按如图所示的规律排列：
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
则第n（n≥4）行从左向右的第4个数为 ▲ ．
11．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是 ▲ ．
B
D
E
A
C
F
（第13题）
12．A、B是双曲线C的两个顶点，直线l与实轴垂直，与双曲线C
交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率e＝ ▲ ．
13．如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，
设（α、β∈R），则α+β的取值范围是 ▲ ．
14．设函数，．若存在，
使得与同时成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B
A
C
D
B1
C1
D1
A1
F
（第15题）
15．（本小题满分14分）
正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．
（1）求证：A1B∥平面AFC；
（2）求证：平面A1B1CD平面AFC．

16．（本小题满分14分）
已知向量，其中．
（1）若，求函数的最小值及相应x的值；
（2）若a与b的夹角为，且a⊥c，求的值．
17．（本小题满分15分）
设等比数列的首项为a1，公比为q，且q>0，q≠1.
（1）若a1=qm，m∈Z，且m≥－1，求证：数列中任意不同的两项之积仍为数列
中的项；
（2）若数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项，求证：存在整数m，且
m≥－1，使得a1=qm.

18．（本小题满分15分）
平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；
（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，
⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

19．（本小题满分16分）
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中高0.5米，AB=1米， CD=2a（a＞）米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数；
C
A
B
M
N
D
E
m
m
A
B
C
D
E
M
N
（第19题）
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

20．（本小题满分16分）
设函数f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，当x＝t1时，f（x）有极小值．
（1）若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1＋1），使f ′（t2）＝0，证明：函数g（x）＝f（x）－x2＋t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点．

附加题部分
21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1　几何证明选讲
（第21-A题）
A
B
P
F
O
E
D
C
·
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．

B．选修4－2　矩阵与变换
若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．

C．选修4－4　坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．

D．选修4－5　不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：．

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．
（1）写出甲总得分ξ的分布列；
（2）求甲总得分ξ的期望E（ξ）．

23．设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，．
（1）当a∈（－∞，－2）时，求证：M；
（2）当a∈（0，］时，求证：a∈M；
（3）当a∈（，＋∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

南通市2010届高三第二次调研测试
数学参考答案及评分建议
必做题部分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．命题“，”的否定是 ▲ ．
2．已知复数为实数，则实数m的值为 ▲ ．
3．曲线在点（1，2）处的切线方程是 ▲ ．
4．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=2．在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为 ▲ ．
5．某算法的伪代码如下：
S←0
i←1
While i≤100
S←
i←i＋2
End While
Print S
则输出的结果是 ▲ ．
6．设全集U=R，，B={x | sin x≥}，则 ▲ ．
▲
▲
7．设l，m表示两条不同的直线，α表示一个平面，从“∥、⊥”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为真命题，即： m ▲ α．
8．已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
9．设圆的一条切线与轴、轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为 ▲ ．
10．将正偶数按如图所示的规律排列：
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
则第n（n≥4）行从左向右的第4个数为 ▲ ．

11．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是 ▲ ．
B
D
E
A
C
F
（第13题）
12．A、B是双曲线C的两个顶点，直线l与实轴垂直，与双曲线C
交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率e＝ ▲ ．
13．如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，
设（α、β∈R），则α+β的取值范围是 ▲ ．
14．设函数，．若存在，
使得与同时成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
【填空题答案】
1．， 2． 3． 4． 5．
6． 7．∥，⊥，⊥ 8．（0，1） 9．2 10．
11． 12． 13．[3，4] 14．（7，＋∞）
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B
A
C
D
B1
C1
D1
A1
F
（第15题）
15．（本小题满分14分）
正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．
（1）求证：A1B∥平面AFC；
（2）求证：平面A1B1CD平面AFC．
证明：（1）连接BD交AC于点O，
连接FO，则点O是BD的中点．
∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO．……4分
又平面AFC，平面AFC，
∴A1B∥平面AFC． …………………………………………………………7分
（2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1D．
∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．…………………9分
又∵CD⊥平面A1ADD1，平面A1ADD1，∴CD⊥AF．
又∵AF⊥A1D，∴AF⊥平面A1B1CD． ……………………………………12分
∵AC⊥B1D，∴B1D⊥平面AFC．
而B1D平面A1B1CD，∴平面A1B1CD平面AFC．……………………14分
16．（本小题满分14分）
已知向量，其中．
（1）若，求函数的最小值及相应x的值；
（2）若a与b的夹角为，且a⊥c，求的值．
解：（1）∵，，
∴
．………………………………………2分
令，则，且．
则，．
∴时，，此时．………………………5分
由于，故．
所以函数的最小值为，相应x的值为． ………………………7分
（2） ∵a与b的夹角为，
∴．……………………9分
∵，∴，∴．
∵a⊥c，∴．
∴，． ……………………12分
∴，∴．………………………………14分
17．（本小题满分15分）
设等比数列的首项为a1，公比为q，且q>0，q≠1.
（1）若a1=qm，m∈Z，且m≥－1，求证：数列中任意不同的两项之积仍为数列
中的项；
（2）若数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项，求证：存在整数m，且
m≥－1，使得a1=qm.
证明：（1）设为等比数列中不同的两项，由，
得．………………………………………2分
又，且，所以．
所以是数列的第项． …………………………………6分
（2）等比数列中任意不同两项之积仍为数列中的项，
令，由，，，
得，．
令整数，则．…………………………………………9分
下证整数．
若设整数，则．令，
由题设，取，使 ，
即，所以，即．……………12分
所以q>0，q≠1，，与矛盾!
所以．…………………………………………………………………15分
18．（本小题满分15分）
平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；
（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，
⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
解：（1）设⊙M的方程为，
则由题设，得解得 ………………………3分
⊙M的方程为，
⊙M的标准方程为． …………………………………5分
（2）⊙M与轴的两个交点，，又，，
由题设 即 所以………………………7分
解得，即 ．
所以椭圆离心率的取值范围为．………………………………………10分
（3）由（1），得．由题设，得．
∴，．
∴直线MF1的方程为， ①
直线DF2的方程为． ②…………………………………13分
由①②，得直线MF1与直线DF2的交点，易知为定值，
∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上．…………………15分
19．（本小题满分16分）
如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a＞）米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数；
C
A
B
M
N
D
E
m
m
A
B
C
D
E
M
N
（第19题）
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

解：（1）（一）时，由平面几何知识，得．
∴，． ……………3分
（二） 时，，
∴………………………………5分
（2） （一）时，．
∵，∴，∴．
①，当时，．
②，当时，．……………7分
（二）时，

，
等号成立 ．
∴时，．…………………………………………10分
A．时，∵，
∴时．当，，
时，当，．……………………………12分
B．时，．
当时，．……………………………………………14分
综上，时，当时，，即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．时，当时，， 即与之间的距离为米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．………………………16分

20．（本小题满分16分）
设函数f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，当x＝t1时，f（x）有极小值．
（1）若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1＋1），使f ′（t2）＝0，证明：函数g（x）＝f（x）－x2＋t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点．
解：（1）因为 f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，所以h（x）＝f ′（x）＝x3－12x＋c．……2分
由题设，方程h（x）＝0有三个互异的实根．
考察函数h（x）＝x3－12x＋c，则h ′（x）＝0，得x＝±2．
x
（－∞，－2）
－2
（－2，2）
2
（2，＋∞）
h ′（x）
＋
0
－
0
＋
h（x）
增
c＋16 （极大值）
减
c－16（ 极小值）
增
所以 故－16<c<16． ………………………………………………5分
（2）存在c∈（－16，16），使f ′（x）≥0，即x3－12x≥－c， （*）
所以x3－12x>－16，
即（x－2）2（x＋4）>0（*）在区间［m－2，m＋2］上恒成立． …………7分
所以［m－2，m＋2］是不等式（*）解集的子集．
所以或m－2>2，即－2<m<0，或m>4． ………………………9分
（3）由题设，可得存在α，β∈R，使
f ′（x）＝x3+2bx＋c＝（x－t1）（x2＋αx＋β），
且x2＋αx＋β≥0恒成立． …………………………………………………11分
又f´（t2）＝0，且在x＝t2两侧同号，
所以f´（x） ＝（x－t1）（x－t2）2． …………………………………………13分
另一方面，
g ′（x）＝x3＋（2b－1）x＋t1＋c
＝x3＋2bx＋c－（x－t1）＝（x－t1）［（x－t2）2－1］．
因为 t1 < x < t2，且 t2－t1<1，所以－1< t1－t2 < x－t2 <0．
所以 0<（x－t2）2<1，所以（x－t2）2－1<0．
而 x－t1>0，所以g ′（x）<0，所以g（x）在（t1，t2）内单调减．
从而g（x）在（t1，t2）内最多有一个零点．…………………………………16分

附加题部分
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1　几何证明选讲
（第21-A题）
A
B
P
F
O
E
D
C
·
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．

证明：∵AE=AC，∠CDE＝∠AOC，………………………3分
又∠CDE＝∠P+∠PDF，∠AOC＝∠P+∠OCP，
从而∠PDF＝∠OCP．………………………………8分
在△PDF与△POC中，
∠P＝∠P，∠PDF＝∠OCP，
故△PDF∽△POC．…………………………………10分

B．选修4－2　矩阵与变换
若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．
解： ，即 ，………………………………………4分
所以 解得 ……………………………………………6分
所以．由，得．………………………10分
另解： ＝1， ．
另解：，看作绕原点O逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是．

C．选修4－4　坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
解：曲线的直角坐标方程，曲线的直角坐标方程是抛物线，…4分
设，，将这两个方程联立，消去，
得，．……………………………………6分
．…………8分
∴，．………………………………………………………10分

D．选修4－5　不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：．
证明：因为x，y，z都是为正数，所以．………………………4分
同理可得，
当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．……………………………………7分
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．…10分

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．
（1）写出甲总得分ξ的分布列；
（2）求甲总得分ξ的期望E（ξ）．
解：（1）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记为甲总得分．
，，
，．………………………4分

6
7
8
9
P（x＝）

……………………………………………7分
（2）甲总得分ξ的期望
E（ξ）＝ ＝．……………………10分

23．设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，．
（1）当a∈（－∞，－2）时，求证：M；
（2）当a∈（0，］时，求证：a∈M；
（3）当a∈（，＋∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．
证明：（1）如果，则，． ………………………………………2分
（2） 当 时，（）．
事实上，〔〕当时，．
设时成立（为某整数），
则〔〕对，．
由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤＜2，所以a∈M．…………………………6分
（3） 当时，．证明如下：
对于任意，，且．
对于任意，，
则．
所以，．
当时，，即，因此．
…………………………………………………10分