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(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第十章概率解题技巧总结（精选试题附答案）高中数学第十章概率解题技巧总结 单选题 1、2020 年 1 月，教育部出台关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（简称“强基计划”），明确从 2020 年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A2180B2780C3380D2740 答案：C 分析：根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,，显然,为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件+，且,互斥，所求概率(+)=()+()+()=()()()+()()()+()()()=153434+451434+453414=3380.故选：C.2、掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷 1000 次，那么第 999 次出现正面向上的概率是 A1999B11000C9991000D12 答案：D 每一次出现正面朝上的概率相等都是12，故选 D.3、若随机事件,满足()=16，()=23，()=14，则事件与的关系是（）A互斥 B相互独立 C互为对立 D互斥且独立 答案：B 分析：利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可 解：因为()=23，()=14，又因为()=16 0，所以有()=()()，所以事件与相互独立，不互斥也不对立 故选：B.4、有一个人在打靶中，连续射击 2 次，事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是（）A至多有 1 次中靶 B2 次都中靶 C2 次都不中靶 D只有 1 次中靶 答案：C 分析：根据对立事件的定义判断即可.对立事件的定义是：A，B两件事A，B不能同时发生，但必须有一件发生，则 A，B 是对立事件，事件：至少有一次中靶包括恰有一次中靶和二次都中靶，所以对立事件是二次都不中靶.故选：C.5、甲、乙两个元件构成一串联电路，设E：甲元件故障，F：乙元件故障，则表示电路故障的事件为（）A B C D 答案：A 分析：根据当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，即可求解.由题意，甲、乙两个元件构成一串联电路，当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，所以电路故障的事件为 .故选：A.6、下列事件中不是确定事件的个数是（）从三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；水中捞月；守株待兔；某地区明年 1 月的降雪量高于今年 1 月的降雪量 A1B2C3D4 答案：B 分析：根据随机事件的定义分析判断即可 三角形三条高线一定交于一点，则是必然事件；水中捞月是不可能事件；守株待兔是随机事件，不是确定事件；某地区明年 1 月的降雪量高于今年 1 月的降雪量是随机事件，不是确定事件.故选：B.7、某种心脏手术，成功率为 0.6，现采用随机模拟方法估计“3 例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生 09 之间取整数值的随机数，由于成功率是 0.6，我们用 0，1，2，3 表示手术不成功，4，5，6，7，8，9 表示手术成功；再以每 3 个随机数为一组，作为 3 例手术的结果，经随机模拟产生如下 10 组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907 由此估计“3 例心脏手术全部成功”的概率为（）A0.2B0.3C0.4D0.5 答案：A 分析：由题可知 10 组随机数中表示“3 例心脏手术全部成功”的有 2 组，即求.解：由题意，10 组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3 例心脏手术全部成功”的有：569,989，故 2 个，故估计“3 例心脏手术全部成功”的概率为210=0.2.故选：A.8、高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为、14，该同学可以进入两个社团的概率为15，且三个社团都进不了的概率为310，则=（）A320B110C115D15 答案：B 分析：利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于，的方程，联立求解即得.依题意，该同学可以进入两个社团的概率为15，则 (1 14)+14(1 )+14(1 )=15，整理得+=45，又三个社团都进不了的概率为310，则(1 )(1 )(1 14)=310，整理得+=35，联立+=45与+=35，解得=110，所以=110.故选：B 9、某同学做立定投篮训练，共 3 组，每组投篮次数和命中的次数如下表：第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 125 176 369 命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么误差较小的可能性的估计是（）A0.68B0.625C0.587D0.615 答案：D 分析：由频率和概率的关系求解.解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小 故选：D 10、北京 2022 年冬奥会新增了女子单人雪车短道速滑混合团体接力跳台滑雪混合团体男子自由式滑雪大跳台女子自由式滑雪大跳台自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲乙两人的选择互不影响，那么甲乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（）A249B649C17D27 答案：C 分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7 7=49种情况，其中甲乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.填空题 11、抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字 1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过 3”，则P(AB)_.答案：23 分析：根据事件的关系可知以及对应概率的计算性质，进行计算即可得解.将事件AB分成“出现 1，2，3”和“出现 5”这两个事件，记“出现 1，2，3”为事件C，“出现 5”为事件D，则C与D两个事件互斥，所以P(AB)P(CD)P(C)P(D)36+16=23.所以答案是：23.12、一个容量为 100 的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：组别 0，10)10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在10，40)上的频率为_.答案：0.52 分析：根据图表，样本数据落在10，40)上的频数为 13241552，根据频率公式即可得解.样本数据落在10，40)上的频数为 13241552.则样本数据落在10，40)上的频率为521000.52.所以答案是：0.52 13、已知事件A，B，C相互独立，若()=16，()=14，()=112，则()=_ 答案：13 分析：根据相互独立事件的概率公式，列出(),(),(),()的等式，根据对立逐一求解，可求出()的值.根据相互独立事件的概率公式，可得 ()()=16()()=14()()()=112，所以()=13 所以答案是：13.14、商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40 42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40 42的皮鞋约为_双 答案：60 分析：先计算这周内某天第1，2，4组的频率，根据频率之和等于1可得第5组的频率，再由该频率乘以300即可得解.因为第1，2，4组的频数分别为6，7，9，所以第1，2，4组的频率分别为640=0.15，740=0.175，940=0.225，又因为第3组的频率为0.25，所以第5组的频率为1 0.25 0.15 0.175 0.225=0.2，所以售出的这300双皮鞋中尺码为40 42的皮鞋约为300 0.2=60双，所以答案是：60.15、若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)1，P(B)4，且x0，y0，则xy的最小值为_ 答案：9 解析：根据对立事件的性质可知1+4=1，再利用基本不等式求+的最小值.由事件A，B互为对立事件，其概率分别P(A)1，P(B)4，且x0，y0，所以P(A)P(B)141，所以+=(+)(1+4)=5+4+5+24=9，当且仅当x6，y3 时取等号，所以xy的最小值为 9.所以答案是：9 小提示：方法点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 解答题 16、随意安排甲、乙、丙 3 人在 3 天节日中值班，每人值班一天.（1）这 3 人的值班顺序共有多少种？写出样本空间.（2）写出事件A：“甲在乙之前值班”的集合表示.答案：（1）共有 6 种，（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）；（2）=（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙）.分析：（1）直接根据位置轮换，即可得到答案；（2）样本空间，直接写出符合条件的基本事件；（1）这 3 人的值班顺序共有 6 种，样本空间=（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）.（2）=（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙）.17、某中学一位高三班主任对本班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示 积极参加班级工作 不积极参加班级工作 合计 学 习 积 极 性高 18 7 25 学 习 积 极 性不高 6 19 25 合计 24 26 50(1)如果随机调查这个班的一名学生，求事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率；(2)若不积极参加班级工作且学习积极性高的 7 名学生中有 2 名男生，现从中抽取 2 名学生参加某项活动，请用字母代表不同的学生，写出样本空间；(3)在（2）的条件下求事件B：2 名学生中恰有 1 名男生的概率 答案：(1)0.38(2)答案见解析(3)1021 分析：(1)50名学生中，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有 19 人，由此能求出事件 A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率()(2)不积极参加班级工作且学习积极性高的 7 名学生中有两名男生，设为 A，B，另外五名女生设为 a，b，c，d，e，现从中抽取两名学生参加某项活动，能用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果(3)事件 B：两名学生中恰有 1 名男生，则事件 B 包含的基本事件有 10 种，由此能求出事件 B：两名学生中恰有1 名男生的概率()(1)50名学生中，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有 19 人，事件 A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率()=1950=0.38(2)不积极参加班级工作且学习积极性高的 7 名学生中有两名男生，设为 A，B，另外五名女生设为 a，b，c，d，e，现从中抽取两名学生参加某项活动，用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果有 21 种，分别为：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de(3)事件 B：两名学生中恰有 1 名男生，则事件 B 包含的基本事件有 10 种，分别为：Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，事件 B：两名学生中恰有 1 名男生的概率()=1021 18、从编号为A、B、C、D的 4 名男生和编号为m、n的 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛(1)把选中 3 人的所有可能情况一一列举出来；(2)求所选 3 人中恰有一名女生的概率；(3)求所选 3 人中至少有一名女生的概率 答案：(1)答案见解析(2)35(3)45 分析：（1）列举法写出基本事件；（2）结合古典概型概率公式即可求出结果；（3）结合古典概型概率公式即可求出结果.（1）设 4 名男生分别为A，B，C，D，两名女生分别为m，n，则从 6 名学生中任 3 人的所有情况有：，共 20 种，（2）由（1）可知共有 20 种情况，其中所选 3 人中恰有一名女生的有 12 种，所以所求概率为1220=35，（3）由（1）可知共有 20 种情况，所选 3 人中至少有一名女生的有 16 种，所以所求概率为1620=45 19、人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab其中a和b是显性基因，i是隐性基因一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O，A，B或AB型的概率，并填写下表：父母血型的基因类型组合 子女血型的概率 O A B AB 答案：见解析 分析：根据题意将子女所有血型列举出来，求出样本容量及各种血型的频数，再根据频率与概率的关系即可得解.解：当父母血型的基因类型组合 ，得子女血型的基因类型有,共 4 个，则型血的概率为14，型血的概率为14，型血的概率为14，型血的概率为14，当父母血型的基因类型组合 ，得子女血型的基因类型有,共 4 个，则型血的概率为0，型血的概率为0，型血的概率为12，型血的概率为12，当父母血型的基因类型组合 ，得子女血型的基因类型有,共 4 个，则型血的概率为0，型血的概率为12，型血的概率为0，型血的概率为12，当父母血型的基因类型组合 ，得子女血型的基因类型有,共 4 个，则型血的概率为0，型血的概率为0，型血的概率为0，型血的概率为1，填入表中，如表所示：父母血型的基因类型组合 子女血型的概率 O A B AB 14 14 14 14 0 0 12 12 0 12 0 12 0 0 0 1 所以一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则他们的子女的血型基因类型的可能结果如下：,，,，,，,共 16 个，则他们的子女的血型是型血的概率为116，型血的概率为316，型血的概率为316，型血的概率为916.