电路原理电阻电路的分析演示幻灯片.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,电阻电路的分析,1,2.1,简单电阻电路的分析,2.2,等效电阻,2.3,实际电源模型的等效变换,2.4,电阻电路的一般分析,2,主要内容,电路等效变换的概念；,电阻的串、并联；,电源的串、并联及其等效变换；,线性电阻电路方程的建立方法；,电路图论的初步概念；,支路电流法、网孔法、回路法和节点法。,3,2.1,简单电阻电路的分析,本节为简单电阻电路的分析计算，着重介绍等效变换的概念。,线性电路：,由时不变线性无源元件、线性受控源和独立电源组成的电路，称为时不变线性电路，简称线性电路。,2.,线性电阻性电路：,如果构成电路的无源元件均为线性电阻，则称为线性电阻性电路（或简称电阻电路）。,3.,直流电路：,当电路中的独立电源都是直流电源时，这类电路简称为直流电路。,4,2.1.1,电路的等效变换,1.,对电路进行分析和计算时，可以把电路中某一部分简化，用一个较为简单电路替代原电路。,例如，下图,(a),中虚线框内有几个电阻构成的电路，就可以用一个电阻,R,eq,替代，如图,(b),所示，使整个电路得以简化。,(a),(b),5,2.,用等效电路的方法求解电路时，电压和电流保持不变的部分仅限于等效电路以外，是,“对外等效”,。,替换条件：,端子,ab,以右的部分具有相同的伏安特性。,等效电阻,R,eq,：,取决于被替代的原电路中各电阻的值以及它们的联结方式。,(a),(b),6,2.1.2,电阻的串联及分压,电阻的串联（电阻顺次首尾相连）,1.,特点：,I,相同,(KCL),(KVL),(VCR),由,KVL,可得：,等效电阻,7,等效电阻消耗的功率等于串联电阻消耗的功率,串联电阻可以用等效电阻来代替，图,(a),的等效电路如图,(b),所示。,2.,分压公式：（串联的目的）,图,(a),图,(b),8,1.,特点：,U,相同,(KVL),(KCL),(VCR),2.1.3,电阻的并联及分流,由,KCL,可得：,等效电导,或,电阻的并联（电阻一端联在一起，另一端也联在一起）,9,2.,分流公式：（并联的目的）,并联电阻可以用等效电阻来代替，图,(a),的等效电路如图,(b),所示。,图,(a),图,(b),10,3.,常见的情况：（两个电阻并联）,根据,可得,且有,4.,注意三个以上电阻并联时的等效电阻计算,11,2.1.4,利用分压、分流分析电路,分析简单电路的步骤：,化简电路为一个等效电阻；,利用,KVL,及欧姆定律计算；,再利用串联电路分压、并联电路分流，计算出化简前原电路中各电阻的响应。,关键是，准确判断复杂电阻网络中，哪些电阻是串联，哪些电阻是并联。,简单电路：,只有一个独立电源作用的电阻串并联电路，可以利用电阻串并联化简的方法，化电路为一个等效电阻和电源组成的单回路。,12,例 如图所示，电阻,R,1,、,R,2,和电压源,U,s,已知，,R,L,为负载电阻，求输出电压,U,o,。,解：电阻,R,2,和负载电阻,R,L,并联，等效电阻为,R,2,/,R,L,，利用分压公式可得,13,例 试求下图所示二端网络的等效电阻,R,ab,。,14,观察电路图可见，右边的两个电阻,(4,和,2),是串联关系，故第一步应先计算这两个电阻的串联。,R,b,4,2,6,图,(a),解：对于这样问题，应先从电路的最右边入手。,图,(b),15,得到图,(b),，计算两个电阻,3,与,6,的并联。,图,(c),得到图,(c),，再计算,R,串,=,2+2=4,图,(d),如图,(d),所示,16,解：图,(a),中无电阻的长导线缩成一点，则,(,a,),图可以改画成,(b),图,（“并联”的定义）,。,则等效电阻为,例 求下图所示电阻电路的等效电阻,R,ab,。,图,(a),图,(b),a,b,W,12,o,o,W,12,W,12,W,12,W,6,W,6,W,4,W,4,17,2.2,等效电阻,Wheatstone,电桥测量电阻；,对称桥型电路等效电阻；,对称电路等效电阻；,电阻的三角形联结与星形联结的等效变换。,18,2.2.1 Wheatstone,电桥测量电阻,其原理电路如图,通过被测电阻与标准电阻进行比较而获得测量结果。,一般,R,b,为可调电阻，适当调节其值，使,B,、,D,两点间的电位相等，从而使通过检流计的电流为零,I,G,=0,，,这时电桥达到平衡，,未知电阻为,19,证明：因为 可以看作开路，,U,BD,=0,可以看作短路。所以,B,、,D,间既可以看作开路，也可看作短路。,因为,U,BD,=0,，所以,得证,20,例 求图所示电阻电路的等效电阻,R,ab,。,解,:,图中右上角五个电阻构成一个平衡电桥，故图可简化成右上方的图。,则等效电阻为,2.2.2,含平衡电桥的等效电阻,21,对称性（,symmetry,）,：,一个系统对某种操作状态不变（等价），则该系统对此操作具有对称性（,H.Weyl.1951,），该操作称,对称操作（,symmetry operation,）,常见的对称操作：,镜像对称、旋转对称等。,对称性原理：,Pierre Curie,首先提出，具体内容如下，,原因中的对称性必反映在结果中，结果中的对称性至少有原因中的对称性一样多；,结果中的不对称性必然出自原因中的不对称性，原因中的不对称性至少有结果中的不对称性一样多。,2.2.3,对称电路的等效电阻,22,对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本原理。,The diamond structure,23,如图，对称轴为图中虚线，沿虚线左右对折，电路图重合，由于电路图结构及电阻值对称，对称部分的响应相同，即,c,、,d,两点电势相同。,ab,两点间的等效电阻为,对于较复杂电路的等效电阻,，如果存在对称性，,可以不必详细求解，化复杂为简单，得到正确结果。,24,R,ab,=?,2.2.4,电阻的三角形联结与星形联结的等效变换,25,2.2.4,电阻的三角形联结与星形联结的等效变换,星形,(Y),联结,：,三个电阻的一端联在一起，另一端分别接在电路的三个节点上。,三角形,(,),联结：,三个电阻首尾相接，联成一个三角形，其三个顶点是电路的三个节点。,26,形联结,一、,星形联结变换成三角形联结,Y,形联结,(1),(2),(3),(4),图,(a),图,(b),27,Y,形联结,(1),(2),(3),(4),其中,(3),式可写为,，将其带入,(2),式中可得,(5),将,(5),式两边同时乘以,R,2,，可得,(6),将,(1),式两边同时乘以,(,R,2,+,R,3,),，可得,(7),28,将,带入,(8),式，可得,(6),(7),由,(6),式和,(7),式可推出,(8),Y,形联结,(1),(2),(3),(4),(5),29,同理可得,又因为,即,即,30,二、,三角形联结变换成星形联结,1.,因为,2.,又有,3.,则,即,同理,和,31,三、归纳,1.,为了便于记忆，以上公式可归纳为：,Y,形电阻,=,形相邻电阻的乘积,形电阻之和,形,电阻,=,Y,形,电阻两两乘积之和,Y,形不相邻电阻,2.,特殊情况,：,（,1,）当星形三个电阻的大小相等,(,即,R,1,R,2,R,3,R,Y,),时，等效变换成三角形后，三个电阻也相等,(,R,12,R,13,R,23,R,),，则公式变为,R,3,R,Y,。,（,2,）当三角形三个电阻的大小相等,(,即,R,12,R,13,R,23,R,),时，等效变换成星形后，三个电阻也相等,(,R,1,R,2,R,3,R,Y,),，则公式变为：,R,Y,1/3,R,32,例 已知如下图,(a),所示电路，试求电流,I,。,解：该电路右边有三个,3,电阻是星形联结，对它们进行星形和三角形等效变换。得到三角形联结的三个等值,(,9,),电阻，如图,(,b),所示。,33,此时再进行并联等效变换见图,(,c),所示。,于是可求得电流,I,：,最后变换成图,(,d),所示的最简电路,(,单回路电路,),，,34,例 求图示电阻电路的等效电阻,R,ab,。,（,2,）图,(a),可改画成图,(c),，其中含有一个电阻平衡桥，则等效电阻为,图,(a),图,(b),图,(c),解,（,1,）对图,(a),进行变换，可得图,(b),。从图中可以看出，等效电阻为,1,2,3,1,2,3,35,例 求图,(a),、,(b),所示电阻电路的等效电阻,R,ab,。,图,(a),解：图,(a),中,8,个电阻是并联的，则其等效电阻为,图,(b),36,图,(b),图,(b1),解：图,(b),是由两节电阻平衡桥构成的，断去第二节电阻平衡桥，则得,(b1),图。,等效电阻为,37,例2.2.5 求图2.2.5所示的无限长的电阻网络的等效电阻 。,38,图2.2.4所示的十边形和正立方体，每边电阻均为1，求等效电阻 。,39,理想电压源、电流源是实际电源的理想化模型；,根据“等效电路”的对外等效含义，多个理想电源的组合可用一个等效的理想电源替代；实际中的电源模型，一般来说，也有两种形式。,2.3,实际电源模型的等效变换,40,一、电压源的串联：,1.,不同源电压的电压源可以串联，等效源电压等于各串联电压源源电压的代数和。,2.,不同源电压的电压源不允许并联,（违反了,KVL,）。,2.3.1,理想电压源、理想电流源的联接,41,根据,KVL,，端口处的电压,U,为,对外等效，只用电压源替代。,3.,电压源与任一部分电路并联,，,42,二、电流源的并联：,1.,不同源电流的电流源可以并联，等效源电流等于各并联电流源的源电流的代数和。,2.,不同源电流的电流源不允许串联,（违反了,KCL,）。,43,根据,KCL,，端口处的电流为,对外等效，只用电流源替代。,3.,电流源与任一部分电路串联,，,44,例 求所示电路的最简等效电路。,解：原图涉及电流源串联与并联。,2A,电流源与电阻及电压源串联的结果等效为,2A,的电流源，再利用电流源的并联，得到原图的最简等效电路,5A,的电流源。,45,2.3.2,实际电源模型的等效变换,一、实际电源模型：,1.,实际电源如干电池、蓄电池、直流发电机等，当通过的电流较大时，端口电压会有所下降。,2.,实际电压源实测的端口伏安特性如图,(a),所示。而实际电流源实测的端口伏安特性如图,(b),所示。,图,(a),图,(b),46,2.3.2,实际电源模型的等效变换,一、实际电源模型：,1.,实际电源如干电池、蓄电池、直流发电机等，当通过的电流较大时，端口电压会有所下降。,2.,实际电压源实测的端口伏安特性如图,(a),所示。而实际电流源实测的端口伏安特性如图,(b),所示。,图,(a),图,(b),47,3.,实际电源都有内阻，所以实际电源可以用理想电压源,U,S,串联电阻,R,的模型或理想电流源,I,S,并联电阻,R,的模型来表示。分别如图,(a),和图,(b),所示。,图,(a),图,(b),48,二、实际电源两种模型的等效变换：,1.,理想电压源,U,S,、,串联电阻,R,模型,，,RI,伏安特性曲线,根据,KVL,和欧姆定律，端口的伏安关系方程为：,U,U,S,RI,49,2.,理想电流源,I,S,、,并联电阻,R,模型，,变换后为,这个等效条件就是实际电源的两种模型进行等效变换的条件，也是等效变换的计算方法。,在进行等效变换时，应注意电压源的参考极性和电流源的参考方向。,3.,将上式和,U,U,S,RI,进行比较后，可得等效条件,根据,KCL,和欧姆定律，模型端口上的伏安关系方程为：,50,三、注意的问题：,1.,两种组合的等效变换只是对外电路而言的，对其内部不等效。,例如：图,(a),所示电路开路时，,P,R,=0,；,而图,(b),所示电路开路时，,P,R,=,RI,s,2,=,P,max,。,2.,受控源构成的模型也可等效变换，但控制量必须保留，否则无法计算。,图,(a),图,(b),51,例 求图,(a),所示电路中的电流,I,。,图,(a),解,:,此题只求,2,电阻中的电流,I,。为此应将电路的其他部分尽量化简。首先是将图,(a),中的,Y,形联结三个电阻,(,10,，,4,，,4,),变换成,形联结，如图,(b),所示。,52,图,(b),图,(a),53,图,(b),54,图,(d),图,(c),图,(c),中两个,6V,电压源反向串联互相抵消，并把,8,电阻与,12V,电压源串联等效变换成,8,电阻与,1.5A,电流源并联，则得图,(d),。,由图,(d),得,55,例 求图所示电路中的电流,I,1,、,I,2,。,解,:,图,(a),中含有一个,CCCS,，在进行等效变换时要保证控制量,I,1,所在的支路不参与变换。因此，先把受控电流源,2,I,1,与,3,电阻的并联等效地变换为受控电压源,6,I,1,与,3,电阻的串联，如图,(b),所示。,图,(b),图（,a),56,图,(b),图,(c),解得,电流,I,2,为,再把图,(b),中的受控电压源,6,I,1,与,5,电阻串联等效变换成受控电流源,1.2,I,1,与,5,电阻并联，如图,(c),所示。,由图,(c),得,57,2.4,电阻电路的一般分析,电路分析想干什么？,电路中所有支路的电压、电流及功率。,到目前为止，我们所拥有的方法：,、,VCR,；,(,本征关系,),、,KCL+KVL,。（拓扑关系）,支路电流法,网孔电流法,回路电流法,节点电压法,58,2.4.1,网络图论简介,1.,数学中，图是点和边的一个集合，每条边的两端都连到相应的节点上。（但节点可以是孤立的。）,2.,电路的“图,(graph),G,”,：把电路中每一条支路画成抽象的线段，节点用点来表示，形成一个点和边的集合。,图,(a),若认为每一个二端元件构成电路的一条支路，,(b),为,(a),的“图”,图,(b),例如：画出下面电路图,(a),的“图”。,59,图,(c),若将,U,S1,与,R,1,的串联看作是一条支路，图,(c),为电路图,(a),的“图”,;,图,(d),同时，若将,I,S5,与,R,5,的并联看作是一条支路，图,(d),为电路图,(a),的“图”,;,图,(a),当用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路以及它的图的节点数和支路数将随之而不同。,60,3.(1),有向图,：赋予支路方向的图称为“有向图”。此方向即该支路电流（电压与之相关联）的参考方向。,图,(a),图,(e),61,(2),无向图,：不赋予支路方向的图称为“无向图”。例如图,(b),、图,(c),和图,(d),。,图,(b),图,(c),图,(d),图,(a),62,(4),平面图：,如果一个图画在平面上，各条支路除了联接的节点外不再交叉,，,这样的图称为平面图。,网孔：,平面图的自然回路,，网孔内不包含任何支路。,(3),回路（,loop,）,L,：由支路和节点构成的闭合路径。,（任一节点只经过一次,；起点与终点重合）。,6,7,2,回路,L,1,1,6,2,3,7,4,5,8,图,G,不是回路,1,6,3,7,5,8,63,6.(1),树：是连通子图；包含全部节点；但不含回路。,对左图来说，它的树有,:(2,，,3,，,4),、,(1,，,4,，,5),等。,(1,，,2,，,4),、,(2)“,树数”：非常大。例如上图的树数为,16,。,(3)“,树支数”：,n,个节点的图，,任何一个树的树支数为（,n,-1,）个。,(4),连支的数目：,b,-(,n,-1)=,b,-,n,+1,。,2,个节点,其他节点,为,(,n,-2),个,节点,1,与节点,n,构成一条树支，若其他,(,n,-2),个节点各个都与节点,1,相连，则又形成,(,n,-2),个树枝，因此总树支数为,(,n,-1),个。,树的支路称为树支；,树支之外的支路称为连支。,64,7.,单连支回路（基本回路）：,对于图的任意一个树，每加入一个连支后，就会形成一个回路，并且此回路除所加连支外均由树支组成，这种回路叫单连支回路。,单连支回路,独立回路,（,2,，,3,，,4,）构成树,单连支回路,（,2,，,3,，,1,）、,（,3,，,4,，,5,）、,（,2,，,4,，,6,）,65,2.4.2,KCL,、,KVL,独立方程的个数,一、独立的,KCL,方程数,对图中的节点,、和分别列出,KCL,方程,三个方程相加，可得,即是节点的,KCL,方程,结论：,n,个节点的电路，在任意,(,n,-1),个节点上可以得出,(,n,-1),个,独立的,KCL,方程。,66,二、独立的,KVL,方程数,图中实线组成树，树支为支路,4,、,5,、,6,，,连支为支路,1,、,2,、,3,，由,3,个连支构成,3,个基本回路,、,、,即网孔。,对每个网孔列出,KVL,方程为,以上三个方程中，都至少包含一个支路电压（连支电压）,只出现在本方程中,结论：,n,个节点、,b,条支路的电路，有,(,b,-,n,+1,),个基本回路，,而平面回路的网孔数即为基本回路数。,67,2.4.3,支路电流法,一、,2b,法,对于具有,n,个节点、,b,条支路的电路，通过上面的分析可知，能够拥有的独立方程数为：,以,2,b,个,变量列方程，解方程，求解电流、电压的分析方法叫做,2,b,法。,独立,KCL,方程：（,n-1,）个,独立,KVL,方程：,b-(n-1),个（平面电路的网孔数）,支路,VCR:b,个,68,例如，用,2b,法解下图所示电路，列出方程。,如果将,R,1,与,U,S1,的串联看作一条支路，将,R,5,与,I,S5,的并联也看作一条支路，则此电路中支路数为,6,条，节点数为,4,。,作出此电路图的图，如图,(b),所示。,图,(a),图,(b),69,图,(b),根据图,(b),、图,(a),，分别列出,KCL,、,KVL,和,VCR,方程。,KCL,：,选择网孔作回路列,KVL,方程,KVL,：,VCR,：,2b,法优点：任何电路都可解；,缺点：未知量、方程数目过多。,3,1,2,图,(a),70,二、支路电流法,（列,KCL,、,KVL,方程，,将,VCR,带入,KVL,方程,）,VCR,：,2.,已知,KVL,：,3.,将,VCR,方程带入下式中,可得：,1,2,3,1.KCL,：,71,2.,将独立电压源及用独立电流源和电阻乘积表示的电压移到等式右边，方程可表示为：,即：,3.,列出支路电流法的电路方程步骤如下：,画图、选定各支路电流的参考方向,;,根据,KCL,对,(,n,-1),个独立节点列方程,;,任选,(,b,-,n,+1),个独立回路，指定回路绕行方向，按 列,KVL,方程,;,求解,b,个方程式，解出,b,个电流。,72,三、,解：对节点列,KCL,方程,对中间的网孔列,KVL,方程,补充方程,解得：,例 电路如图所示，求电流,I,1,、,I,2,和,I,3,。,73,例 如图所示电路，试求电路中的电流,I,1,、,I,2,和,U,。,解：运用支路电流法求解。该电路有,3,个节点，分别用,和,表示。,5,条支路，其余,3,条支路的电流设为,I,3,、,I,4,和,I,5,。,选择节点,、,为独立节点，,列写,KCL,方程，对,3,个网孔列写,KVL,方程：,KCL,：,I,1,I,3,I,5,0,I,5,I,2,I,4,0,4,I,1,4,I,3,8,4,I,1,5,I,2,2,I,5,0,5,I,2,3,I,4,6,KVL,：,解得：,I,3,I,4,I,5,1,2,3,74,2.4.4,网孔电流法与回路电流法,1.,思路：,a.,对支路电流法来说，,b,条支路，列,b,个方程式，数目还太大。,b.,分析：,(1),若,I,1,+,I,2,+,I,3,=0,，则,I,1,=-,I,2,-,I,3,，从中可以看出对于一个,KCL,方程式来说，有一个,I,是不独立的；,(2),G,(,n,b,),中独立的,KCL,方程数为,(,n,-1),个，故,(,n,-1),个电流是不独立的，则独立的电流为,(,b,-,n,+1),个，正好等于网孔数（独立回路数）。,一、网孔电流法,75,c.,假想电流，沿平面电路的网孔连续流动，称此电流为网孔电流。,网孔电流是一组独立的、完备的网络变量。,设网孔电流,I,m1,，,I,m2,，,将上式带入,KCL,方程中，有,d.KCL,方程为：,-,I,1,+,I,2,+,I,3,=0,即,0=0,，网孔电流从各节点流入一次，流出一次。所以网孔电流自动满足,KCL,方程。,则有：,I,m1,I,m2,76,e.,列,KVL,方程：,将网孔电流带入,KVL,方程中，可得：,写成一般形式：,I,m1,I,m2,77,一般形式：,其中：,式中，,R,11,是网孔,1,的自阻，,R,22,是网孔,2,的自阻，,R,12,与,R,21,是网孔,1,和网孔,2,的互阻；,U,S11,是网孔,1,电压源,电位升,的代数和，,U,S22,是网孔,2,电压源,电位升,的代数和。,I,m1,I,m2,78,2.,对具有,m,个网孔的平面电路列方程,R,11,I,m,1,R,12,I,m,2,R,1,m,I,mm,U,S,11,R,21,I,m,1,R,22,I,m,2,R,2,m,I,mm,U,S,22,R,m,1,I,m,1,R,m,2,I,m,2,R,mm,I,mm,U,S,mm,式中,R,kk,(,k,=1,，,2,，,，,m,),为网孔,k,的自阻，总是正的；,R,kj,是网孔,k,和,j,之间的互阻，可正可负；,U,s,kk,表示网孔,k,中的,电压源,电位升,的代数和,。在无受控源的电路中,R,jk,=,R,kj,。,79,3.,解题步骤,(1),规定网孔电流的方向,;,(2),列出网孔电流的方程（实际是电压方程）,;,(3),解此方程（消元法、行列式）,;,(4),规定支路电流的参考方向，由网孔电流求得,支路电流,;,(5),检验：对外网孔列,KVL,方程式，计算,RI,是否等于,U,S,。,80,例 已知如图,(,a),所示电路，用网孔电流法求电路中的电流,I,1,、,I,2,和,U,。,图,(a),图,(b),网孔,1:,8,I,m,1,4,I,m,2,8,网孔,2:,4,I,m,1,11,I,m,2,5,I,m,3,0,网孔,3:,5,I,m,2,8,I,m,3,6,解：,设网孔电流，如图,(b),所示。,81,解得,:,最终求得,:,8,I,m,1,4,I,m,2,8,4,I,m,1,11,I,m,2,5,I,m,3,0,5,I,m,2,8,I,m,3,6,82,二、回路电流法,问题引入：列下列电路的网孔方程,原因：网孔电流法的局限性,83,二、回路电流法,1.,思路：能否灵活选择独立回路？,除了网孔外，所有单连枝回路都是独立回路,在图中选择（,4,，,5,，,6,）为树支，则构成,3,个单连支回路。,设回路电流为,I,l,1,、,I,l,2,、,I,l,3,，方向如图所示,则有：,I,l,1,=,I,1,I,l,2,=,I,2,I,l,3,=,I,3,且有：,I,4,=,-I,l,1+,I,l,2,I,5,=,-I,l,1,-,I,l,3,I,6,=,-I,l,1,+,I,l,2,-I,l,3,说明全部支路电流可以通过回路电流表示。,回路电流是一组独立的、完备的网络变量。,I,l,2,I,l,1,I,l,3,84,2.,与网孔电流法方程式相似，回路电流法一般方程形式为：,R,11,I,l,1,R,12,I,l,2,R,1,l,I,ll,U,S,11,R,21,I,l,1,R,22,I,l,2,R,2,l,I,ll,U,S,22,R,l,1,I,l,1,R,l,2,I,l,2,R,ll,I,ll,U,S,ll,3.,解题步骤：,(1),选一个树，连支电流为回路电流；,(2),列出回路电流的方程,（计算各回路的自阻、互阻及,u,S,kk,）；,(3),解方程,（消元法、行列式）；,85,例 已知下图所示电路中,U,S1,=50V,，,U,S2,=20V,，,I,S2,=1A,，此电流源为无伴电流源。试用回路法列出电路的方程。,解：假设回路电流,I,l,1,、,I,l,2,、,I,l,3,如图所示，,各回路的回路电流方程为：,I,l,1,=1A,-40,I,l,1,+95,I,l,2,-25,I,l,3,=30,10,I,l,1,-25,I,l,2,+45,I,l,3,=0,I,l,1,I,l,2,I,l,3,86,例,已知如图所示的电路，试求电路中的电压,U,。,解：假设回路电流,I,l,1,、,I,l,2,、,I,l,3,如图所示,回路电流方程为：,(2+3+4),I,l,1,4,I,l,2,3,I,l,3,2,I,2,I,l,1,4,I,l,1,(4+5),I,l,2,5,I,l,3,6,I,l,3,2,A,整理后得：,7,I,l,1,4,I,l,2,6,4,I,l,1,9,I,l,2,4,求出：,则,U,5,(2,I,l,2,),5,(2,52/47),I,l,1,I,l,2,I,l,3,其他方法？,87,2.4.5,节点电压法,1.,思路：,a.,一个具有,n,个节点的电路，如果,n,比较少，则以节点电压为未知量列写电路方程数少。,(1),每个回路的支路电压满足,KVL,，因此，每个回路有,一个支路电压是不独立,；,(2),G,(,n,b,),中独立的,KVL,方程数为,(,b-n,+1,),个，故,(,b-n,+1,),个支路电压是不独立的，则独立的电压为,(,n-,1,),个。,b.,分析：,一、,节点电压法,88,c.,以电路中一个节点为参考节点,，,其他节点为独立节点，独立节点相对于参考节点的电压称为节点电压。,以节点 为参考节点，节点,、和,为独立节点，,其节点电压分别用,U,n,1,、,U,n,2,、,U,n,3,表示，,而 、,即,节点电压天然满足,KVL,89,e.,列,KCL,方程：,列节点,、和,的,KCL,方程,各支路电流分别为,90,将支路电流代入,KCL,方程，可得,式中的,k,=1,，,2,，,，,6,写成标准形式为,，,，,其中,式中,G,11,、,G,22,、,G,33,称为节点,、和,的自导；,G,12,、,G,21,为节点,和节点,之间的互导；,G,23,、,G,32,为节点,和节点,之间的互导；,G,13,、,G,31,为节点,和节点,之间的互导。,I,s11,、,I,s22,和,I,s33,分别表示,流进,节点,、和,电流源电流的,代数和,。,91,式中,G,kk,(,k,=1,，,2,，,，,n,-1),为节点,k,的自导，总是正的；,G,kj,是节点,k,和,j,之间的互导，总是负的；,I,s,kk,表示,流入,节点,k,的电流源电流的代数和。在无受控源的电路中,G,jk,=,G,kj,。,2.,对具有,n,个节点的电路列方程,92,3.,解题步骤,（,1,）确定参考节点，标定,n,-,1,个独立节点；,（,2,）对,n,-1,个独立节点，以节点电压为未知量,列写其,KCL,方程；,（,3,）求解上述方程,（消元法、行列式）,，得到,n,-,1,个节点电压；,（,4,）求各支路电流。,93,二、弥尔曼定理,证明：如图，电压源与电阻串联组合等效变换为电流源与电阻的并联组合，利用节点电压法，对应的节点电压方程为,弥尔曼定理：,由电压源和电阻组成的,具有一个独立节点的电路，其节点电,压,U,10,为,94,例 试列出下图的节点电压方程。,（,1,）先,把受控源当作独立源,看待，列方程；,（,2,）,用节点电压表示控制量。,解：,经整理，得,95,例 列出下图电路的节点电压方程。,解：,R,1,对节点,的电流没有贡献，属于,“,无用电阻”，不能出现在节点,的自导中。,节点,、和,为独立节点，列节点电压方程如下，,由于图中电路存在一无伴电压源，以此电压源负极性端节点为参考节点,，,96,练习,1,：求下图所示电路的支路电流,I,1,、,I,2,、,I,3,。,97,练习,2,：求如图所示电路中的电压 和电流 。,方法,1,：回路电流法：,，,附加方程,98,方法,2,：结点电压法：选择结点如图所示,附加方程,，,其他方法？,99,练习,3,：求如图所示电路中的支路电流和各电源的输出功率,。,100,练习,4,：求图,3.2.7,所示电路中各元件的功率，并验证功率是否守恒。,图,3.2.7,其他方法？,101,练习,5,：求图,3.3.8,所示电路中两个独立电流源发出的功率。,图,3.3.8,102,练习,6,：求图,3.3.9,所示电路中的电压,u,ab,。,（燕山大学,2003,研究生入学考试）,图,3.3.9,103,练习,7,：求题图,5,所示电路中的电流,I,2,。,（西北工业大学,2001,研入学考试）,题图,5,104,练习,8,：题图,1,所示直流电路，各参数如图中标注。试用节点法求电压,、。（西安交通大学,2007,年研究生入学考试）,105,