第二类换元法(课堂PPT).ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,换元积分法,第,四,章,1,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,2,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称,配元法,即,凑微分法,),3,例1.,求,解:,令,则,故,原式,=,注:,当,时,注意换回原变量,4,例2.,求,解:,令,则,想到公式,5,例3.,求,想到,解:,(直接配元),6,例4.,求,解:,类似,7,例5.,求,解:,原式,=,8,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,9,例6.,求,解:,原式=,10,例7.,求,解:,原式=,例8.,求,解:,原式=,11,例9.,求,解法1,解法2,两法结果一样,12,例10.,求,解法1,13,解法 2,同样可证,或,(P199 例18),14,例11.,求,解:,原式=,15,例12.,求,解:,16,例13.,求,解:,原式=,17,例14.,求,解:,原式=,分析:,18,例15.,求,解:原式,19,小结,常用简化技巧,:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,20,思考与练习,1.下列各题求积方法有何不同?,21,2.,求,提示:,法1,法2,法3,作业,22,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,23,定理2.,设,是单调可导函数,且,具有原函数,证:,令,则,则有换元公式,24,例16.,求,解:,令,则,原式,25,例17.,求,解:,令,则,原式,26,例18.,求,解:,令,则,原式,27,令,于是,28,说明:,1.被积函数含有,除采用三角,采用双曲代换,消去根式,所得结果一致.,(参考 P204 P205),或,代换外,还可利用公式,2.再补充两个常用双曲函数积分公式,29,原式,例19.,求,解:,令,则,原式,当,x,0,时,类似可得同样结果.,30,小结:,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,第四节讲,31,2.常用基本积分公式的补充,(P205 P206),7),分母中因子次数较高时,可试用,倒代换,令,32,33,解:,原式,(P206 公式(20),例20.,求,例21.,求,解:,(P206 公式(23),34,例22.,求,解:,原式=,(P206 公式(22),例23.,求,解:,原式,(P206 公式(22),35,例24.,求,解:,令,得,原式,36,例25.,求,解:,原式,令,例16,例16,37,思考与练习,1.下列积分应如何换元才使积分简便?,令,令,令,38,2.,已知,求,解:,两边求导,得,则,(代回原变量),39,P207,2,(4),(5),(9),(11),(12),(16),(20),(21),(23),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(38),(40),(42),(44),作业,第三节,40,备用题,1.,求下列积分:,41,2.,求不定积分,解：,利用,凑微分法,原式=,令,得,42,分子分母同除以,3.,求不定积分,解:,令,原式,43,