2017年成都市一诊考试数学试题及答案word(理科).docx

理科
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合R，，则
（A）（B）（C）（D）
（2）命题“若，则”的否命题是
（A）若，则≤
（B）若≤，则≤
（C）若，则
（D）若≤，则≤
（3）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的为
（A）（B） -1或1（C） 1 （D） -1
（4）已知双曲线的左，右焦点分别为，曲线上一点P满足轴，若，则该双曲线的离心率为
（A）（B）（C）（D）3
（5）已知为第二象限角，且，则的值为
（A）（B）（C）（D）
（6）的展开式中的系数为
（A） （B）5（C）（D）
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为
（A）（B）（C）（D）
（8）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则该图象的一条对称轴方程是
（A）（B）（C）（D）
（9）在直三棱柱中，平面与棱分别交于点，且直线平面，有下列三个命题：①四边形是平行四边形；②平面∥平面；③平面平面.其中正确的命题有
（A） ①②（B） ②③（C）①③（D）①②③
（10）已知是圆上的两个动点，，.若是线段的中点，则的值为
（A）3 （B）（C）2 （D）
（11）已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上的所有实数解之和为
（A）-7（B）-6（C）-3（D）-1
（12）已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则的值为
（A）（B）（C）2（D）8
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
（13）若复数（其中R，为虚数单位）的虚部为，则 .
（14）我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 .
（15）若实数满足约束条件，则的最小值为 .
（16）已知中，，的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使，则 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知数列满足.
（I）证明数列是等比数列；
（II）求数列的前项和.

（18）（本小题满分12分）
某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在内，记为B等；分数在内，记为C等；60分以下，记为D等.同时认定A,B,C为合格，D为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的情况，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，作出乙校的样本中等级为C,D的所有数据的茎叶图如图2所示.
（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；
（II）在选取的样本中，从甲，乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生
人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

（19）（本小题满分12分）
如图1，正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且，现将分别沿折起，使点A,C重合于点B（该点记为P），如图2所示.
（I）若，求证：平面；
（II）是否存在正实数，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点为，记直线与轴的交点为，过点且斜率为k的直线与椭圆交于两点，点为线段的中点.
（I）若直线的倾斜角为，求的面积的值；
（II）过点B作直线于点，证明：A,M,N三点共线.

（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）当时，若存在≥，使成立，求的最小值.
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

（22）（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1,0），点的极坐标为，直线经过点M且与曲线相交于两点，设线段的中点为Q，求的值．
（23）（本小题满分10分）选修4-5 ：不等式选讲
已知函数≥.
（Ⅰ）求不等式≤的解集；
（Ⅱ）若的最小值为，正数满足，求的最小值．

文科
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合R，，则
（A）（B）（C） （D）
（2） 命题“若，则”的逆命题是
（A）若，则≤（B）若≤，则≤
（C）若，则（D）若≤，则≤
（3）双曲线的离心率为
（A）4（B）（C）（D）
（4）已知为锐角，且，则
（A）（B）（C）（D）
（5）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的为
（A）（B） -1或1（C）-1（D）1
（6）已知x与y之间的一组数据：
x
1
2
3
4
y
m
3.2
4.8
7.5
若y关于x的线性回归方程为，则m的值为
（A）1 （B）0.85 （C） 0.7 （D） 0.5
（7）定义在R上的奇函数满足，当时，，则
（A）（B）（C）（D）
（8）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为
（A）（B）（C）（D）
（9）将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则该图象的一个对称中心是
（A）（B）（C）（D）
（10）在直三棱柱中，平面与棱分别交于点，且平面，有下列三个命题：①四边形是平行四边形；②平面∥平面；③平面平面.其中正确的命题有
（A） ①②（B） ②③（C）①③（D）①②③
（11）已知是圆上的两个动点，，，若点是的中点，则的值为
（A）3（B）（C）2（D）
（12）已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则的值为
（A）（B）（C）（D）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
（13）复数（为虚数单位）的虚部为 .
（14）我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的线段长始终相等，则图1的面积为 .
（15）若实数满足约束条件，则的最大值为 .
（16）已知中，，的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使，则 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在内，记为B等；分数在内，记为C等；60分以下，记为D等.同时认定A,B,C为合格，D为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的情况，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，作出乙校的样本中等级为C,D的所有数据的茎叶图如图2所示.
（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；
（II）在乙校的样本中，从成绩等级为C,D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率.

（18）（本小题满分12分）
在等比数列中，，且成等差数列.
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和.
（19）（本小题满分12分）
如图1，正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH,HB上，且，将分别沿折起，使点A,B,C重合于点P，如图2所示.
（I）求证：平面；
（II）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥的内切球的半径.

（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点为，记直线与轴的交点为，过点且斜率为k的直线与椭圆交于两点，点为线段的中点.
（I）若直线的倾斜角为，求的值；
（II）设直线交直线于点，证明：直线.

（21）（本小题满分12分）
已知函数，.
（I）若，求的单调区间；
（II）当时，求使不等式恒成立的最大整数的值.
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

（22）（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1,0），点的极坐标为，直线经过点M且与曲线相交于两点，设线段的中点为Q，求的值．
（23）（本小题满分10分）选修4-5 ：不等式选讲
已知函数≥.
（Ⅰ）求不等式≤的解集；
（Ⅱ）若的最小值为，正数满足，求的最小值．
参考答案 理科

一、选择题
1．B； 2．D；3．D；4．B；5．B；6．C；7．B；8．D；9．C；10．A；11．A；12．D．
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. （I）， ·························1分
，············3分
···············································4分
是以为首项，为公比的等比数列.··················5分
（II）由（I）可知 ，···················7分
当时，，；·······················8分
当时，，
····································9分

·····················11分
又时，上式也满足，
，···………………………………………··12分
18.（I）由题意可知，，
··············································2分
甲学校的合格率为··························3分
而乙学校的合格率为···························4分
甲、乙两校的合格率均为·····························5分
（II）样本中甲校等级的学生人数为人·········6分
而乙校等级的学生人数为人，
随机抽取人中，甲校学生人数的可能取值为······7分
，，
，
的分布列为

··············11分
数学期望········………………···········12分
19.（I）由题意可知，三条直线两两垂直······················1分
平面，·····················································2分
在图1中， ，为的中点，又为的中点，··4分
所以在图2中，，且,
在中，·······················5分
平面·······························6分
（II）由题意，分别以为轴建立空间直角坐标系，
设，则，·····7分
，，
·······8分
又因为，
设平面的一个法向量为，············9分
则，取，
直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，
·······11分
，或（舍）
故存在正实数，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为.······12分
20.（I）由题意,设，…………………1分
直线的倾斜角为，，
方程为，即，………2分
代入椭圆方程可得，，…………………………………………3分
，………………………4分
所以
.6分
（II）设直线的方程为，
代入椭圆方程得：，………………………………8分
则，……………………9分
直线于点，，

而
， ………………11分
，故三点共线. ……………………………12分
21. （I）由，
得.…………………………………………………1分
当，即时，对恒成立，
此时，的单调递增区间为，无单调递减区间.………2分
当即时，
由，得，由，得，
此时，的单调递减区间为，单调递增区间为.…3分
综上所述，
当时， 的单调递增区间为，无减区间；
当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为.…………4分
（II）由，得，
当时，上式等价于，…………………………………5分
令，
据题意，存在，使成立，只需…6分
∵，…7分
又令，显然在上单调递增，
而，
存在，使，即，…………………………9分
而当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
当时，有极小值（也是最小值）

，………………10分
，即，即，
.………11分
又，且，的最小值为.………………12分
22.（Ⅰ）∵直线的参数方程为：（为参数），
∴直线的普通方程为………………………2分
由得，即.
∴曲线的直角坐标方程为.··············4分
（Ⅱ）∵点的极坐标为，∴点的直角坐标为.·········5分
，直线倾斜角为，
直线参数方程为.······7分
代入，得.·····8分
设两点对应参数为，则
.············10分
23.（Ⅰ）当时，；
当时，；·······························1分
∴不等式等价于或，·······2分
或，
······3分
∴原不等式的解集为.···········4分
（Ⅱ）（法一）由（Ⅰ）得，可知的最小值为，
.··················6分
∴据题意知，，变形得.·················7分
，
.·····9分
当且仅当，即时，取等号，
的最小值为.·······················10分
（法二）由，
当且仅当即时取最值，
.···················6分
（以下与法一同）