江苏省2012年普通高校对口单招数学试卷及答案.doc

江苏省2012年普通高校对口单招文化统考
数学试卷
一、 单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）
1．若集合， ，则等于 （ ）
A． B． C． D．

2．若函数（）是R上的奇函数，则等于 （ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象关于直线对称的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．

4．已知向量，．若，则等于 （ ）
A． B． C． D．
5．若复数满足，则等于 （ ）
A． B． C． D．
6．若直线过点且与直线平行，则的方程是 （ ）
A． B．
C． D．
7．若实数满足，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．

8．设甲将一颗骰子抛掷一次，所得向上的点数为，则方程有两个不相等实根的概率为 （ ）
A． B． C． D．
9．设双曲线（的虚轴长为，焦距为，则此双曲线的渐近线方程为 （ ）
A． B． C． D．

10．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是 （ ）
A． B．
C． D．

11．若圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ）
A． B． C． D．

12．若过点的直线与圆：有公共点，则直线斜率的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13． ．

14．已知函数，则 ．

15．用数字0，3，5，7，9可以组成 个没有重复数字的五位数（用数字作答）．
16．在中， ．
17．设斜率为的直线过抛物线 的焦点，且与轴交于点．若（为坐标原点）的面积为，则此抛物线的方程为 ．

18．若实数、满足，则的最小值为 ．

三、解答题（本大题7小题，共78分）
19．（6分）设关于的不等式< 的解集为，求的值．

20．（10分） 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，，求的值．

21．（10分）已知数列{}的前项和为，．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设，求数列{}的前项和．

22．（10分）对于函数，若实数满足，则称是的一个不动点． 已知．
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）假设，求证：对任意实数，函数恒有两个相异的不动点．

23．（14分）甲、乙两位选手互不影响地投篮，命中率分别为与．假设乙投篮两次，均未命中的概率为．
（1）若甲投篮4次，求他恰命中次的概率；
（2）求乙投篮的命中率；
（3）若甲、乙两位选手各投篮1次，求两人命中总次数的概率分布与数学期望．

24．（14分）如图，在长方体中，，．
（1）证明：当点在棱上移动时，；
（2）当为的中点时，求①二面角的大小（用反三角函数表示）；
②点到平面的距离．

25．（14分）已知椭圆： 的离心率为，且该椭圆上的点到右焦点的最大距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，且过点的直线、与此椭圆的另一个交点分别为、，其中．求证：直线必过轴上一定点（其坐标与无关）．

江苏省2012年普通高校对口单招文化统考
数学试题答案及评分参考
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
B
C
B
A
A
C
D
B
D
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13． 14． 15． 16． 17． 18．

三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．（本小题6分）
解：由题意得
，……………………………………………………………… 1分
， ………………………………………………………… 1分
，……………………………………………………………… 2分
解得 ， ……………………………………………………………… 1分
所以 ． ………………………………………………………… 1分

20．（本小题10分）
解：（1）由题意得
………………………………………………… 1分
， …………………………………………………… 2分
所以函数 的最小正周期． …………………………… 1分
（2）由得
， ………………………………………………………… 1分
因为，所以， ………………………… 1分
， ………………………… 1分
从而

． ………………………… 3分

21．（本小题10分）
解：（1）当时， ， ……………………………… 1分
当时，

， …………………………………………… 2分
综合得 ，N+ ……………………………………… 2分
（2）， ………………………………… 1分

． ………………………………… 4分

22．（本小题10分）
（1）解：由题意得
， …………………………… 1分
即，
解得，， …………………………………… 2分
所以函数的不动点是和． …………………………… 1分
（2）证明：由题意得
， ① …………………………… 1分
即， …………………………… 1分
因为判别式
…………………………… 2分
， …………………………… 1分
所以方程①有两个相异的实根，
即对任意实数，函数恒有两个相异的不动点． …… 1分

23．（本小题14分）
解：（1）记甲投篮4次，恰命中次的概率为，由题意得
． …………………………… 4分
（2）由题意得
， …………………………… 3分
解得 ． …………………………………………… 1分
（3）由题意可取，， ， ………………………………… 1分
，
，
．
所以的概率分布列为

…………………………………………… 3分

．……………………………………2分

24．（本小题14分）
（1）证明：连接．在长方体中，
因为，所以为正方形，
从而．
因为点在棱上，所以就是在平面上的射影，
从而． …………………………………………… 4分

（2）解：①连接．由题意知，．
在中，，
在中，，
从而，所以，
又由面知，即，
从而面，所以，
因此是二面角的平面角． ………………… 2分
在中，，
得，
即二面角的大小为． ………………… 3分
②设点到平面的距离为，
由知，
． …………………………… 1分
因为，
所以，
即，所以，
故点到平面的距离为． …………………………… 4分

25．（本小题14分）
解：（1）设右焦点为，则由题意得
， …………………………………………… 2分
解得 ，所以 ，
椭圆的方程为 ． ……………………………………… 2分
（2）由（1）知 ,
直线的方程为 ………………………………………1分
直线的方程为 ……………………………………… 1分
设点的坐标为 ，点的坐标为 ，
由 ， ……………………………………… 1分
得 ，
由于 是直线与此椭圆的两个交点，
所以 ，
解得，从而．…………2分

由 ， ……………………………………… 1分
得 ，
由于 是直线与此椭圆的两个交点，
所以 ，
解得，从而 ． ………… 2分
若，则由 ，得
此时，从而直线的方程为，它过点；
若，则，
直线的斜率，
直线的斜率，
得 , 所以直线过点，
因此直线必过轴上的点 ． ……………………………… 2分