平面向量与向量方法的应用(竞赛辅导材料).doc

平面向量与向量的方法的应用（一）（教师版）
一、用向量表示三角形的“心”（重心、内心、垂心、外心）
在中，角所对的边分别为．
三角形“四心”的向量的统一形式：是的心．
引理：若是内的一点，则
．
证明：这里只证明（均为正数）．作，，，则．容易证明点为的重心．于是，所以
，同理，，所以．
取，则，，．
练习：
1．是的________心．
2．是的________心．
3．是的________心．
是的________心．
4．在内部，则 是的________心．
是的________心．
是的________心．
当你学完正弦定理和余弦定理后，会有更多的表示方法．
5．所在直线一定通过的________心．
6．所在直线一定通过的________心．
7．所在直线一定通过的________心．
8．已知是坐标平面内不共线的三点，是坐标原点，动点满足（），则点的轨迹一定经过的________心．
（答案：1．重心．2．内心．3．外心．4．垂心（提示：为的垂心．因为在内部，所以，所以，同理，．
又，所以
）．5．内心．6．重心．7．垂心．提示：设））8．重心．提示：，所以，设，则，即．因为经过的中点，三点共线，所以的轨迹一定经过的重心．）
二、三角形形状的判定
1．为所在平面内一点，且满足，则三角形形状为_______三角形．
1．解：由条件，得，即，所以，即．所以是等腰三角形．
2．已知非零向量和满足条件，且，则是___________三角形．
2．解：设，则为的角平分线；又由得到，所以．由得到，所以为等边三角形．
3．在中，是边的中点，角的对边分别为，若，则的形状为__________．
3．解：因为是边的中点，所以
，所以．因为与不共线，所以且，所以，即为等边三角形．
三、向量分解问题
1．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若，则__________，__________．
1．解：不妨设，则，．由于，所以过点作的垂线，与的延长线交于点，则．∵，，∴，．
２．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是________．
解法１：设 ，由可得，
，即
∴．∴的最大值是．
解法２：以点为坐标原点，为轴，建立平面直角坐标系，则，．设（），由可得，
，∴，，∴，，∴，∴的最大值是．
解法３：设，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，由及可知，，．又，在中，由正弦定理得，∴，，∴，∴的最大值是．
3．为内一点，，，，，，设，则__________．
3．过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交的延长线于点，则，，所以，，，，所以，所以，，所以．
四、向量间的夹角（余弦值）或夹角范围问题
1．已知，都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．
1．解：依题意，所以，解得且，所以，所以，因为，所以．
2． 在和中，是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值等于________．
2．解：因为，所以，即．因为，
，，所以，即．设与的夹角，则有，即，所以．
3．已知的面积为，且，若，则向量与的夹角的范围是____________．
3．解：
．因为，所以，所以，所以向量与的夹角的范围是．
4．中，的对边分别为，重心为，若，则__________．
4．因为为的重心，所以，所以
，因为与不共线，所以．设的中点为，则，所以，所以．

平面向量与向量方法的应用（二）（教师版）
一、平面向量基本定理与向量共线定理的应用
1．如图，在中，已知，，过点作直线交、于、两点，则 _______．
1．解：构造基底，，则，，，
，．
设，，因为点、、三点共线，所以（），于是．又、不共线，所以且，消去，得，即，所以
．
2 中，为的中点，为边上靠近点的一个三等分点，与交于点，求：①与的长度之比；②与的长度之比．
2．解：设，，因为为的中点，所以．因为三点共线，所以存在唯一实数使得，①．
因为三点共线，所以存在唯一实数使得，即，解得，②．
因为与不共线，所以比较①②得，解得，，所以，，所以，．
二、数量积（或模长）的取值范围（或最值）问题
1．平面内的向量，，点是抛物线（）上任意一点，则的取值范围是_______．
1．解：由题意，可设点（），则，，所以
，因为，所以，所以．
点评：将表示为关于的函数式，针对该函数式及来求函数的值域．多数情况下所得到的函数与二次函数有关，如本例令，则（）．注意从函数角度来确定，不要得出错误结论．
2．已知、是两个互相垂直的单位向量，且，，，则对于任意实数、，的最小值是_______．
2．解：依题意，，且，于是－，所以，当且仅当、时上式取得等号，故所求的最小值为，选Ｃ．
3 在长方形中，，，为的中点，若是线段上动点，则的最小值是_________．
3．解：由题意得．因为为的中点，所以，设（），则，
，故所求最小值为．
三、求面积比
1．设为△的边上一点，为△内一点，且满足,　　，则____________．
1．解 ： 连，则，所以，故，故
． 故选Ａ．
点评：由且与没有公共点推出，再利用同位角相等和面积公式而使问题简捷获解．
2．设点在的内部，且有，求____________．
2．解：延长至，使，延长至，使得，则，所以为的重心．显然．同理，，所以．
3 设点是内的一点，记，，，．若，则___________．
3．解：如图，，，因为，所以，，，所以点到的距离是点到的距离的，点到的距离是点到的距离的，所以，，所以
．所以．
四、求参数或参数和的取值范围或最值
1 四边形是边长为的正方形，，点为内（含边界）的动点，（），则的最大值等于_________．
1．解：显然点在线段上（不含点）上无法取得最大值，点在线段上才有可能取得最大值．因为，，所以
．点三点共线时，，所以，由几何图形知，所以的最大值为，当位于点时取得．
2 已知点是的重心，点是内一点，若（），则的取值范围是___________．
2．解：因为点是的重心，点是内一点，若，所以，，，，．而点到的距离越大，越大，越小．过点作的平行线，观察可知，当点与场合时，当点在上时．因为点是内一点，所以的取值范围是．
3． 设两个单位向量、满足、，、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．
3．解：由条件，得，，，所以＝．由解得，，数形结合可得不等式的解为．设（），因为、不共线，所以且，得到，，即当时向量与向量的夹角为．故实数的取值范围为．
五、平面向量与平面几何的交汇问题
1．已知为的外接圆的外心、垂心，求证：．
证明：延长交的外接圆于，连结，则，，所以，，所以，所以
．
2．已知内接于，，为的中点，为的重心．求证：．
证明：设，，，因为为的中点，为的重心，所以，

，
．
所以
（因为）
因为，，所以为的中垂线，所以．所以，故．
3 设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为___________．
3．解：∵，，，∴．，，的模为边长构成三角形是一个直角三角形，其内切圆半径．当半径为的圆所处的位置正好是三角形的内切圆位置时，三角形与圆只有三个交点，当圆的位置偏离后使得三角形有两条边与圆相交时，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．因此公共点个数最多为个．

平面向量与向量的方法的应用（一）（学生版）
一、用向量表示三角形的“心”（重心、内心、垂心、外心）
在中，角所对的边分别为．
三角形“四心”的向量的统一形式：是的心．
引理：若是内的一点，则
．
证明：这里只证明（均为正数）．作，，，则．容易证明点为的重心．于是，所以
，同理，，所以．
取，则，，．
练习：
1．是的________心．
2．是的________心．
3．是的________心．
是的________心．
4．在内部，则 是的________心．

是的________心．
是的________心．
当你学完正弦定理和余弦定理后，会有更多的表示方法．
5．所在直线一定通过的________心．
6．所在直线一定通过的________心．
7．所在直线一定通过的________心．

8．已知是坐标平面内不共线的三点，是坐标原点，动点满足（），则点的轨迹一定经过的________心．

二、三角形形状的判定
1．为所在平面内一点，且满足，则三角形形状为_______三角形．

2．已知非零向量和满足条件，且，则是___________三角形．

3．在中，是边的中点，角的对边分别为，若，则的形状为__________．

三、向量分解问题
1．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若，则__________，__________．

２．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是________．

3．为内一点，，，，，，设，则__________．

四、向量间的夹角（余弦值）或夹角范围问题
1．已知，都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．

2． 在和中，是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值等于________．

3．已知的面积为，且，若，则向量与的夹角的范围是____________．

4．中，的对边分别为，重心为，若，则__________．

平面向量与向量方法的应用（二）（学生版）
一、平面向量基本定理与向量共线定理的应用
1．如图，在中，已知，，过点作直线交、于、两点，则 _______．

2 中，为的中点，为边上靠近点的一个三等分点，与交于点，求：①与的长度之比；②与的长度之比．

二、数量积（或模长）的取值范围（或最值）问题
1．平面内的向量，，点是抛物线（）上任意一点，则的取值范围是_______．

2．已知、是两个互相垂直的单位向量，且，，，则对于任意实数、，的最小值是_______．

3 在长方形中，，，为的中点，若是线段上动点，则的最小值是_________．

三、求面积比
1．设为△的边上一点，为△内一点，且满足,　　，则____________．

2．设点在的内部，且有，求____________．

3 设点是内的一点，记，，，．若，则___________．

四、求参数或参数和的取值范围或最值
1 四边形是边长为的正方形，，点为内（含边界）的动点，（），则的最大值等于_________．

2 已知点是的重心，点是内一点，若（），则的取值范围是___________．

3． 设两个单位向量、满足、，、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．

五、平面向量与平面几何的交汇问题
1．已知为的外接圆的外心、垂心，求证：．

2．已知内接于，，为的中点，为的重心．求证：．

3 设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为___________．