惠州市2017届第二次调研考试文科数学(word精排版附答案).docx

惠州市2017届第二次调研考试文科数学
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
1．已知集合，则（ ）
A．　 B．
C． D．
2．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，
那么（ ）
A． B．
C． D．
5．在射击训练中,某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”, 命题是“第二次射击
击中目标”,则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”可表示为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．等差数列的前项的和等于前项的和，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移
个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（ ）
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增
10．在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，为的中点，则异面直线与所成角为（ ）
A． B． C． D．
11．设关于的不等式组表示的平面区域内存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．定义在上的函数满足，，若，且，则有（ ）
A． B． C．       D．不确定
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．已知直线与曲线相切，则的值为
14．已知两点，，则以线段为直径的圆的方程为
15．设为等比数列的前项和，，则
16．已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，
，则球的表面积为
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
在中，分别为内角的对边，已知
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积

18．（本小题满分12分）
已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量（单位：百人）的关系有如下规定：当
时，拥挤等级为“优”；当时，拥挤等级为“良”；当时，拥挤
等级为“拥挤”；当时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统
计数据：

（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
游客数量
（单位：百人）

天数

频率

（Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等
级均为“优”的概率

19．（本小题满分12分）
如图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，，且
，为线段的中点
（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求三棱锥的体积

20．（本小题满分12分）
动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值

21．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：对任意的，

请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知过点的直线的参数方程是（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，且，求实数的值

23．（本小题满分10分）选修 4-5：不等式选讲
设函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围

惠州市2017届高三第二次调研考试
数 学（文科）参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
D
A
A
C
C
B
C
D
A
（1）解析：化简集合得，容易得到(1,2]，故选D．
（2）解析：z=，故选C.
（3）解析：
（4）解析：在△CEF中，＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－，故选D.
（5） 解析：解析：因为命题的是“第一次射击没有击中目标”， 是“第二次射击没有击中目标”,所以命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”可表示.故选A.
（6）解析：显然，，，，因此最大，最小，故选A.
（7）解析：双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，由题意有，所以，，故离心率.故选C．
（8）解析：因为，所以，即，于是，可知答案选C.另解：由已知直接求出.
（9）解析：依题 , ，平移后得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴ ，，故选B
（10）解析：如图，由题意易知，因为，所以为异面直线与所成角，又，中，，，得为等腰直角三角形，故选C.
（11）解析：画出可行域，由题意只需要可行域的顶点在
直线的下方即可，得到，解得.故选D.
（12）解析：由知函数的图像关于直线
对称，又因为，所以当时，，单
调递增；当时，，单调递减。因为，且，得 ，易知距离对称轴较近，其函数值较大。故选A。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）答案：
解析：根据题意，求得，从而求得切点为，该点在切线上，得，即.
(14)答案：
解析：直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为
（15）答案：
解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得，代入所求式可知答案。
（16）答案：
解析：设平面截球所得球的小圆半径为,则,由解得，所以球的表面积.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）解: (Ⅰ)方法一：……………3分
由得，因此…………………6分
方法二：……………2分
…………………4分
由于，所以…………………6分
(Ⅱ)方法一：由余弦定理得 …………………8分
而，
得，即
因为，所以…………………10分
故△的面积……………………12分
方法二：由正弦定理得从而
又由，知，所以为锐角，…………………8分
故……………10分
所以……………………12分
(18)解：（Ⅰ）游客人数在范围内的天数共有15天，
故，……………………3分
游客人数的平均数为（百人）…………6分
（Ⅱ）从5天中任选两天的选择方法有：
，共10种，……………9分
其中游客等级均为“优”的有，共3种，故所求概率为.…………12分
（19）解：（Ⅰ）连结与交于点，则为的中点，连结， ∵为线段的中点，∴且 ……………2分
又且
∴且
∴四边形为平行四边形， ………4分
∴, 即．
又∵平面, 面,
∴,
∵, ∴, ………………6分
（Ⅱ）∵平面，平面,
∴平面平面
∵，平面平面，平面，
∴平面.………………8分
三棱锥的体积 ………………10分
……12分
20.解：（Ⅰ）设点，则由得，因为点在抛物线上，……………………………分
（Ⅱ）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，
联立得
由韦达定理得……………………………分
（1）当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则，此时；当时，同理可得.………分
（2）当直线不经过点即且时，，………分
……分

所以的最小值为.………………………分
方法二：同上
……………………分
………………分
故，所以的最小值为……………分
方法三：设点，由直线过点交轨迹于两点得：
化简整理得：……………分
，令，则…………………分
…………………分
…………………分
（21）解：（Ⅰ）函数的定义域是
……………………2分
当时，
对任意恒成立，
所以，函数在区间单调递增；……………………4分
当时，
由得，由得
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。……………………分
（Ⅱ）当时，，要证明，
只需证明，设，
则问题转化为证明对任意的，……………………分
令得，
容易知道该方程有唯一解，不妨设为，则满足
当变化时，和变化情况如下表

－

递减

递增
……………………分
因为，且，所以，因此不等式得证。………………分
（22）解：（Ⅰ）直线的参数方程是，（为参数），
消去参数可得．……………………分
由，得，
可得的直角坐标方程：．……………………分
（Ⅱ）把（为参数），代入，
得，……………………分
由，解得．
∴．
∵，∴，
解得或1．又满足．∴实数或1．……………………分
（23）解：（Ⅰ）∵
………………2分
………4分
………………5分
综上，不等式的解集为： ………6分
（Ⅱ）存在使不等式成立…………7分
由（Ⅰ）知，时，
时， ……………………8分
…………………9分
∴实数的取值范围为 …………………10分