2017届人教A版--------平面向量基本定理及其坐标表示----考点规范练.doc

第2节　平面向量基本定理及其坐标表示

【选题明细表】
知识点、方法
题号
平面向量基本定理及其应用
2,4,13
平面向量的坐标表示及运算
1,6,9,10
共线向量的坐标表示
3,5,7,8
综合问题
11,12,14,15
基础对点练(时间:30分钟)
1.(2015肇庆三模)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b等于(　C　)
(A)(3,7) (B)(3,9)
(C)(5,7) (D)(5,9)
解析:向量a=(2,4),b=(-1,1),
则2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7).
2.(2015泉州一模)若向量a,b不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是(　C　)
(A)a-2b与-a+2b
(B)3a-5b与6a-10b
(C)a-2b与5a+7b
(D)2a-3b与a-b
解析:作为基底的两向量不共线,只有选项C中的两个向量a-2b与5a+7b不共线,因此向量a-2b与5a+7b可以作为一组基底.
3.(2015高考四川卷)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x等于(　B　)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
解析:由向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,可得4x=2×6,解得x=3.故选B.
4.(2016西安校级模拟)已知D是△ABC所在平面内一点,=+,则(　B　)
(A)= (B)=
(C)= (D)=
解析:因为=+,
所以=-
=+-
=(-)
=.
5.(2015茂名二模)已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b等于(　A　)
(A)(-2,-1) (B)(2,1)
(C)(3,-1) (D)(-3,1)
解析:根据题意,向量a=(2,1),b=(x,-2),
若a∥b,则有1·x=2·(-2),
即x=-4,即b=(-4,-2),
则a+b=(-2,-1).
6.(2015安康三模)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则等于(　C　)
(A)(2,4) (B)(3,5)
(C)(-3,-5) (D)(-2,-4)
解析:因为==-,
所以=-=-2=(-3,-5).
7.(2015河北石家庄二模)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与b共线,则x的值为　　　　. 
解析:因为a-b=(2-x,2),
又a-b与b共线且b=(x,-1),
所以2x+2-x=0,
所以x=-2.
答案:-2
8.(2016德阳校级月考)已知向量=(k,11),=(4,5),=(5,8),且A,B,C三点共线,则k=　　　　. 
解析:因为向量=(k,11),=(4,5),=(5,8),
所以=(4-k,-6),=(1,3),
因为A,B,C三点共线,不妨设=λ,
所以(4-k,-6)=λ(1,3),
所以
解得k=6.
答案:6
9.(2015河南许昌模拟改编)在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则向量的坐标为　　　　. 
解析:如图.

=3
=3(+)
=3(+2)
=3+6(-)
=6-3
=6(1,5)-3(4,3)
=(-6,21).
答案:(-6,21)
能力提升练(时间:15分钟)
10.(2015浮山县校级期中)已知四边形ABCD为平行四边形,A(-1,2),B(0,0),C(1,7),则点D的坐标是(　C　)
(A)(-9,9) (B)(-9,0)
(C)(0,9) (D)(0,-9)
解析:设D的坐标为(x,y),
因为A(-1,2),B(0,0),C(1,7),
所以=(1,-2),=(1-x,7-y),
因为四边形ABCD为平行四边形,
所以=,
所以1-x=1,7-y=-2,
解得x=0,y=9.
11.(2015岳阳模拟)在△ABC中,点D满足=,点E是线段AD上一个动点,若=λ+μ,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是(　C　)
(A) (B) (C) (D)
解析:

如图,E在线段AD上,所以存在实数k使得=k,0≤k≤1,=,
所以=k(+)
=k[+(-)]
=+,
所以
所以t=(-1)2+k2=(k-)2+;
所以k=时,t取最小值.
12.△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(3c-b,a-b),n=(3a+3b,c),m∥n,则cos A=　　　. 
解析:因为m∥n,
所以(3c-b)c=(a-b)(3a+3b),
即bc=3(b2+c2-a2),
所以=,
所以cos A==.
答案:
13.(2015运城期中)如图,▱ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,G为交点,若=a,=b,试以a,b为基底表示,,.

解:根据图形得=+=a-b;
=+=b-a;
=+,
因为和共线,
所以存在实数x使=x=x(a-b);
所以-a+x(a-b)=(x-1)a-b,
又=+,
所以同样=-a+(y-1)b;
所以
解得x=,y=.
所以=-a-b.
精彩5分钟
1.(2016遵义高三联考)在平面直角坐标系中,向量n=(2,0),将向量n绕点O按逆时针方向旋转后得向量m,若向量a满足|a-m-n|=1,则|a|的最大值是(　B　)
(A)2-1 (B)2+1
(C)3 (D)++1
解题关键:注意利用数形结合思想求解.
解析:依题意,m=(1,),
所以m+n=(3,),
设a=(x,y),
又|a-m-n|=1,
所以(x-3)2+(y-)2=1.
所以向量a的终点坐标(x,y)的轨迹是以(3,)为圆心,半径为1
的圆.
所以|a|的最大值为圆心(3,)到原点的距离加上半径.
所以|a|的最大值为+1=2+1.
2.(2015益阳一模)如图,在△OMN中,A,B分别是OM,ON的中点,若=x+y(x,y∈R),且点P落在四边形ABNM内(含边界),则的取值范围是(　C　)

(A)[,] (B)[,]
(C)[,] (D)[,]
解题关键:注意利用极端值(特值、特殊位置)突破解题思路.
解:若P在线段AB上,设=λ,
则有=+=+λ=+λ(-),
所以=,
由于=x+y(x,y∈R),
则x=,y=,
故有x+y=1,
若P在线段MN上,设=λ,
则有=,
由于在△OMN中,A,B分别是OM,ON的中点,
则=x+y=x+y(x,y∈R),
则x=,y=,
故有x+y=2,
若P在四边形ABNM内(含边界),则x≥0,y≥0,
则∈[,].

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