2019届苏教版(文科数学)----空间几何体的表面积与体积------单元测试.doc

2019届苏教版（文科数学） 空间几何体的表面积与体积 单元测试
1．一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
A．12π B．18π
C．36π D．6π
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．1 B．2
C．3 D．6
3．如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

A．60 B．72
C．81 D．114
4．一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为，则球的表面积为
A． B．
C． D．
5．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为丈、下底为丈、高为丈，直棱柱的侧棱长为尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）
A． B．
C． D．
6．某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为

A． B．
C． D．
7．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是，则该几何体的体积为

A． B．
C． D．
8．如图，直角梯形中，，，，若将直角梯形绕边旋转一周，则所得几何体的表面积为 ．

9．将若干毫升水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是 cm.
10．正三棱锥的高为，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积是 ．
11．如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，，，，，，，.

（1）求证：平面；
（2）求该组合体的体积.

1．（2018新课标I文 ）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A．8 B．
C． D．
2．（2018新课标I文 ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A． B．
C． D．
3．（2018年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是

A．2 B．4
C．6 D．8
4．（2016新课标全国Ⅱ文 ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B．
C． D．
5．（2018年高考新课标Ⅲ卷文 ）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B．
C． D．
6．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是

A． B．
C． D．
7．（2017北京文 ）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

A．60 B．30
C．20 D．10
8．（2016新课标全国Ⅰ文 ）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是

A．17π B．18π
C．20π D．28π
9．（2016山东文 ）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为

A． B．
C． D．
10．（2016四川文 ）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 .

11．（2016浙江文 ）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm3.

12．（2017山东文 ）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .

13．（2017天津文 ）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
14．（2017新课标全国Ⅱ文 ）长方体的长，宽，高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 .
15．（2017江苏）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 .

16．（2017新课标全国Ⅰ文 ）已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为 ．
17．（2018天津卷文）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为 ．

18．（2018新课标II文 ）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为 ．
19．（2017新课标全国Ⅰ文 ）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P−ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．

20．（2018新课标I文 ）如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．

变式拓展

1．【答案】C
【解析】由三视图画出几何体如图所示，上、下底面分别为边长是1、4的正方形；左、后两个侧面是上底为1，下底为4，高为4的直角梯形；前、右两个侧面是上底为1，下底为4，高为5的梯形．

其表面积为．故选C．
2．【答案】A
【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为，下部分为长方体，棱长分别为，

其表面积为.学 .
故选A.
【名师点睛】本题考查了求组合体的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算.
3．【答案】D
【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
4．【解析】（1）如图，连接，

因为底面是边长为的正三角形，
所以，且，
因为，，，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以平面.

【名师点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题.（1）根据底面为正三角形，易得；由各边长度，结合余弦定理，可求得的值，再根据勾股定理逆定理可得，从而可证平面；（2）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解.
5．【答案】A
【解析】由三视图知：几何体是球体切去后余下的部分，球的半径为2，∴几何体的表面积S=（1﹣）×4π×22+π×22=16π．故答案为A.学
【名师点睛】(1)本题主要考查由三视图找到几何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法和模型法.
6．【答案】D
【解析】因为，，所以，
因此三角形BCD的外接圆半径为,
设外接球的半径为R，则故选D.
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.先确定三角形BCD外接圆的半径，再解方程得外接球半径，最后根据球的体积公式得结果.
7．【答案】B
【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为，

【名师点睛】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的表面积后可求出最小值．
（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．
（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．
考点冲关

1．【答案】A
【解析】长方体的体对角线的长是，所以球的半径是，
所以该球的表面积是，故选A.
【名师点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.
2．【答案】B
【解析】由题意可知该几何体的形状如图：

【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键．
3．【答案】B
【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积为12，底面周长为16，棱柱的高为3，故柱体的表面积S=2×12+16×3=72.
4．【答案】A
【解析】用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1.已知球心到该截面的距离为2,所以球的半径为，所以表面积为4π⋅5=20π.故选A.
5．【答案】B
【解析】根据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为（立方尺），一个秋天工期所需人数为，故选B.
6．【答案】B
【解析】该图形的表面积为圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，其面积分别为：
圆柱侧面积：，圆锥侧面积：，
半个球面的面积：，所以表面积为.故选B.
【名师点睛】本题主要考查表面积的计算，通过三视图确定表面积，注意熟练掌握面积公式，还原时注意部分面已经不存在，不要多求面积.根据题意可知该图形的表面积应包含圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，共三部分，分别根据相应的面积公式即可求出结果.
7．【答案】B
【解析】如图所示，该几何体为四棱锥，其中底面，底面是正方形，

【名师点睛】该题考查的是有关应用几何体的三视图求其体积的问题，解题的思路就是根据三视图还原几何体，利用其表面积公式求得对应的高，之后借助于椎体的体积公式求得结果.
8．【答案】
【解析】由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，
则表面积为．
9．【答案】4
【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为h cm,则水面圆的半径为htan30°=,则由π×42×8=×()2×
πh,解得h=4.
10．【答案】

【名师点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．
11．【解析】（1）∵，，
∴，
又∵，
∴，学
又，，，，
∴，
又∵，
∴平面.

∴，
∴.
∵，
∴.
∴该组合体的体积.
直通高考

1．【答案】C
【解析】在长方体中，连接，

根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
【名师点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长、宽、高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，最终求得结果.
2．【答案】B

【名师点睛】该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
3．【答案】C
【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.
【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.
4．【答案】A
【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.
5．【答案】B
【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，

【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点在平面上的射影为三角形ABC的重心时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型.
6．【答案】A
【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为，选A．学
【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整．
7．【答案】D
【解析】该几何体是如下图所示的三棱锥.

由图中数据可得该几何体的体积是，故选D.
【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:

如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面三角形的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.
8．【答案】A

9．【答案】C
【解析】由已知及三视图可得，半球的直径为，正四棱锥的底面边长为1，高为1，所以其体积为，选C.
10．【答案】
【解析】由三视图可知该几何体的底面积为，高为1，所以该几何体的体积为.
11．【答案】80，40
【解析】由三视图可知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，则
，．
12．【答案】
【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆的半径为1,所以
.学
【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.
(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：①看视图,明关系；②分部分,想整体；③综合起来,定整体．
13．【答案】

【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．
14．【答案】
【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
15．【答案】
【解析】设球半径为，则．故答案为．
【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
16．【答案】

【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的各顶点的距离相等，然后用同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．
17．【答案】
【解析】如图所示，连接，交于点，很明显在平面上的射影是点O，则是四棱锥A1–BB1D1D的高，且，
，
结合四棱锥体积公式可得其体积为：.

【名师点睛】本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．【答案】8π

【名师点睛】此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.
19．【解析】（1）由已知，得，．
由于，故，从而平面．
又平面，所以平面平面．

（2）在平面内作，垂足为．
由（1）知，平面，故，可得平面．
设，则由已知可得，．
故四棱锥的体积．
由题设得，故．学
从而，，．
可得四棱锥的侧面积为．
【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出．

（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．
又，
所以．
作QE⊥AC，垂足为E，则．
由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，
所以QE⊥平面ABC，QE=1．
因此，三棱锥的体积为．

【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.