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例谈复合函数的教学要点
庄浪一中数学组 马福泰
复合函数是中学数学教学中经常遇到的一类函数.纵观近十年的高考数学试题，复合函数已成为高考命题的热点.事实上，学好复合函数对深化函数概念，提高学生综合运用函数思想解决数学问题具有重要意义.但高中数学课本中没有对复合函数作全面的介绍，教师虽然就题论题点点滴滴地介绍了一些复合函数的有关知识，但大多数高中学生尤其是高一学生还是感到茫然.因此，在复合函数的教学过程中，教师很有必要对复合函数中有关高考要求的知识点，加以归纳、整理、使之系统化，从而对学生比较全面地掌握复合函数有重要作用.
1、对复合函数概念的理解，要把握：“内、中、外”几个环节
要全面扎实地学习掌握复合函数的系列知识，首先要正确理解复合函数的基本概念，这是进行复合函数教学的基本前提.那么，教师如何帮助学生正确理解复合函数的定义呢？笔者认为，关键要引导学生把握“内、中、外”几个环节.我们都知道，复合函数定义为：如果是的函数，而又是的函数，即和，那么关于的函数叫做函数和的复合函数，可见,复合函数的定义中包括两个函数，两个自变量，我们不妨将叫做复合函数的“内函数”， 叫做复合函数的“外函数”， 叫做“中间变量”.如函数是由指数函数 (“外函数” )和一次函数(“内函数” )复合而成的，中间变量是.只有把握住这三个基本环节，学生理解复合函数的定义时才能有序而全面, 有助于培养其有条不紊的思维习惯.
2、对复合函数定义的求解，要由此及彼，协同完成
函数是由和两函数复合而成，从形式来看，这里有三个自变量﹕，而哪个自变量是复合函数的自变量，又如何去求复合函数的定义域呢？这往往是学生初学复合函数时易混淆的地方.鉴于此，笔者认为，要求解复合函数的定义域，首先应搞清楚复合函数的构成要素(自变量、对应法则、因变量)，在此基础上，明确复合函数的自变量是什么？然后依据它们之间的内在联系，结合不等式的有关性质求复合函数自变量的取值范围.即应把握“由此及彼，协同完成”的原则求复合函数自变量的取值范围.具体做法可叙述为﹕
如果把函数的定义域记为，值域记为，函数的定义域记为，值域记为，那么只有当时，两个函数才能复合，其复合函数的定义域是在中的原象集，记为M.求复合函数的定义域的方法是，从满足 的不等式求出相应的集合.
例1 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为（ ）
(A)(0,1) (B)(1，) (C) (D)
解析 已知的定义域是，欲求的定义域，即要求满足的取值范围.而已知的定义域是，指的是。这样本题中有，从而，所以选(B).
例2 求复合函数的定义域
解析 设
易知， 又
即，所以
故原函数的定义域为
3、对复合函数值域的求解，要由内到外，层层突破
复合函数值域的求解也是复合函数教学的要点之一.有些学生在解决这一问题是往往理不出头绪，思维次序比较混乱.鉴于此，笔者认为，要正确求出复合函数的值域，要按照复合函数的逻辑构成去进行，做到：“由内到外，层层突破”.具体做法可叙述为：
值域就是在中的象集，记为，求复合函数值域的基本方法是：先求出定义域，然后求出内函数的值域，根据内函数的值域求出外函数的值域，就是求复合函数的值域.
例3 求函数的值域
解析 ，此函数的定义域为，因为，所以，得 故所求值域为
4、复合函数解析式的求解要根据已知，巧妙施法
复合函数解析式的求法没有固定的模式，而要根据已知题设条件的特点，灵活多变的选择不同的方法，对于复合函数，经常利用代入法、配方法、换元法及待定系数法求解析式.
例4 ，求
解析 先以换元法求，再用代入法求
令，则
所以
即
故
例5 设函数是一个一次函数，若，求函数的解析式
解析 用待定系数法，设
则，

即 所以
解得 故
5. 复合函数单调性的确定要依据规律，循序渐进
如何正确的判断复合函数单调性，笔者认为，要依据规律，循序渐进，复合函数单调性的规律：设复合函数，令（内函数），则（外函数）.若内外函数单调性相同，则复合函数为增函数；若内外函数单调性相反，则复合函数为减函数；简称：“同增异减”.具体确定复合函数的单调性，可按下列步骤进行：
（1）求出外函数的单调区间
（2）对每一个，由，求出出的集合
（3）求出在上的单调区间
（4）根据复合函数单调性的规律，确定在上的单调性
例6 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是
解析 设，因为是减函数，所以在上是增函数，且当时，使有意义
从而 得

例7 已知，讨论函数的单调性
解析
显然是偶函数，所以只需讨论的情形
令，则在上递减，在上递增
由且，得，又在上是增函数，所以在上是增函数
由且，得，又在上是增函数，所以在上是增函数
因是偶函数，所以在上是减函数，在上是增函数
当然，我们也可以从其它方面探讨复合函数的教学.在这篇文章里，笔者就“复合函数的概念、定义域、值域、解析式、单调性”几个要点提出了一些自己的体会和经验，希望和各位同行进行商榷，也为高中学生学习复合函数提供一些参考与借鉴.

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