平面向量知识点.doc

1．向量的有关概念
(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．
（2）表示方法：用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示．
(3)模：向量的______叫向量的模，记作________或_______．
(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．
(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝____________.
(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．
(7)相等向量：长度______且方向______的向量．
2．向量的加法运算及其几何意义
（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的 ，记作 ，即 =+= ，这种求向量和的方法叫做向量加法的 .
（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 .
(3)加法运算律
a＋b＝________ (交换律)；
(a＋b)＋c＝____________(结合律)．
3．向量的减法及其几何意义
(1)相反向量
与a____________、____________的向量，叫做a的相反向量，记作______．
(2)向量的减法
①定义a－b＝a＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________．
②如图，＝a，，＝b，则＝ ，＝____________.

4．向量数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝______；
②当λ>0时，λa与a的方向______；当λ<0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝______.
(2)运算律
设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝________.(结合律)
②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律)
③λ(a＋b)＝__________.(第二分配律)
(3)两个向量共线定理：向量b与a (a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
平面向量基本定理
定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝______________.
我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．

2．夹角
（1）已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的________．

(2)向量夹角θ的范围是________，a与b同向时，夹角θ＝____；a与b反向时，夹角θ＝____.
(3)如果向量a与b的夹角是________，我们说a与b垂直，记作________．

平面向量的坐标运算
(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝________________________，a－b＝________________________，λa＝________________.
（2）已知A（），B（），则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标．
6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (b≠0)，则a∥b的充要条件是________________________．
7．(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P的坐标为________________________________．
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则△P1P2P3的重心P的坐标为_______________．

二.1．
3．把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．
4．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，我们把有序数对______叫做向量a的________，记作a＝________，其中x叫a在________上的坐标，y叫a在________上的坐标．
5．
三.1．向量数量积的定义
(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影．
(2)向量数量积的性质：
①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝__________________；
②非零向量a，b，a⊥b⇔________________；
③a·a＝________________或|a|＝________________；
④cos〈a，b〉＝________；
⑤|a·b|____|a||b|.
2．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝________；
(2)分配律：(a＋b)·c＝________________；
(3)数乘向量结合律：(λa)·b＝________________.
3．向量数量积的坐标运算与度量公式
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝________________________；
(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔________________________；
(3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________.
(4)若A（x1，y1），B（x2，y2），则|＝________________________，所以||＝_____________________.

一.1.（1）大小 方 向 （2）有向线段 （3）长度 |a||
(4)任意的　(5)1个　±　(6)相同　相反　非零　共线向量　平行　(7)相等　相同　2.(1)和　a＋b　a＋b　　三角形法则　(2)平行四边形法则　(3)b＋a　a＋(b＋c)　3.(1)长度相等　方向相反　－a　(2)①(－b)　相反向量　②a＋b　a－b　4.(1)λa　①|λ||a|　②相同　相反　0　(2)①(λμ)a　②λa＋μa　③λa＋λb　5.(1)重心　(2)重心

二.1．不共线　有且只有　λ1e1＋λ2e2　基底　2.(1)夹角 (2)[0，π]　0　π　(3)　a⊥b　
3.互相垂直　4.(x，y)　坐标　(x，y)　x轴　y轴　5.(1)(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1)　(2)终点　始点
6．x1y2－x2y1＝0　7.(1)
(2)
三.1．(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉　(2)①|a|cos〈a，e〉　②a·b＝0　③|a|2　　④　
⑤≤　2.(1)b·a
(2)a·c＋b·c　(3)λ(a·b)　3.(1)a1b1＋a2b2　(2)a1b1＋a2b2＝0　(3)　
(4)(x2－x1，y2－y1)