混凝土受拉弹塑性本构关系.pdf

第41卷 第8期2023年8月河 南 科 学HENAN SCIENCEVol.41 No.8Aug.2023收稿日期：2023-03-22基金项目：河南省基础与前沿技术研究计划项目（112300410242）作者简介：樊濬（1967-），女，高级工程师，主要从事科技管理工作文章编号：1004-3918（2023）08-1213-07混凝土受拉弹塑性本构关系樊濬1，陈俊2，杨礬3（1.河南省建设科技和人才发展中心，郑州 450000；2.潢川县宏达建设工程质量检测有限公司，河南 信阳465100；3.郑州大学 国际学院，郑州450002）摘要：针对已有混凝土单轴受拉应力-应变关系的不足，用细观损伤单元的并联体模型，并假定细观单元体为理想弹脆性材料，其断裂应变组成随机场，基于随机损伤力学原理，较为详细地推导了单轴受拉混凝土本构关系.结合已有研究成果，对损伤演化、初始弹性模量和峰值拉应变加以改进，建立了基于混凝土立方体抗压强度的参数计算方法.建议了受拉混凝土卸载/再加载的变形模量计算公式，导出卸载后的残余应变.与试验结果的对比也验证了其合理性，研究成果可为混凝土结构设计规范修订提供参考.关键词：混凝土；应力-应变关系；受拉；弹性模量；弹塑性变形中图分类号：TU 318.1文献标识码：AAn Elastoplastic Stress-Strain Relationship of ConcreteUnder Axial Tensile LoadingFAN Jun1，CHEN Jun2，YANG Fan3（1.Henan Provincial Building Center of Science Technology and Talent Development，Zhengzhou 450000，China；2.Huangchuan County Hongda Construction&Engineering Quality Testing Co.Ltd.，Xinyang 465100，Henan China；3.International College，Zhengzhou University，Zhengzhou 450002，China）Abstract：Addressing the shortcomings of existing stress-strain relations of concrete under axial tensile loading，by using series-parallel model of damage element，which were assumed as elastic-brittle material and its fracturestrain being composed of random fields，an elasto-plastic stress-strain relationship of concrete subject to axialtensile loading was deduced in detail.The key coefficients such as peak tension strain and initial elastic moduluswhich used in the relationship were reanalyzed by existed results and calculated by cubic compression strength.Asimple calculation method of deformation modulus was suggested and plastic strain was deduced.The stress-strainequation could be used to normal strength concrete and high strength and also be used in loading and unloading.Compared with existed test results，the relation has a good agreement with actual stress-strain response.Theresearch results can provide reference for standard revision of concrete structure design.Key words：concrete；stress-strain relationship；tension；elastic modulus；elastoplastic deformation混凝土是目前土木工程的主要材料，其单轴受拉本构关系不仅反映材料内部拉应力与拉应变之间的物理关系，也是研究混凝土结构的耐久性、抗裂性能、多轴本构关系和结构非线性分析的基础1-7.单轴受拉混凝土本构关系主要源于试验研究，分经验型和理论型两类，其中，以试验数据通过拟合得到的经验型本构关系形式简单、与试验结果吻合程度好，但其理论基础匮乏且易受到试验设备、试件尺寸、加载方式、研究者主观意识等影响.以文献 2 的模型最为典型，稍做变换后列入我国现行 混凝土结构设计规范（GB 500102010）8（以下简称混凝土规范）；而理论模型则以损伤模型最为典型，又可分为弹性损伤4-6第41卷 第8期河 南 科 学2023年8月和弹塑性损伤9两类，有理论基础但模型参数要通过试验数据来标定.文献 10 通过对已有单轴受拉的数据的再分析，使其适用范围得以扩展，而文献 11-12 则基于细观随机断裂的损伤理论建立了本构关系，对模型参数进行识别和标定，嵌入通用有限元软件进行试件分析，并拓展其应用范围.由于混凝土组成材料的特点及弹塑性性质，已有单轴受拉本构关系大多属于弹性本构关系，而少量的弹塑性本构关系对塑性变形通常采用经验型表达式，缺乏理论依据.本文从混凝土材料组成特点出发，采用基于细观损伤单元的并联体模型来建立均值层面上的混凝土单轴受拉本构关系模型，利用已有研究成果，对模型参数进行研究，建立更为合理的基于混凝土立方体抗压强度的单轴受拉应力-应变关系及其参数计算方法，提出了受拉混凝土卸载/再加载的变形模量计算方法，由此拓宽受拉本构关系适用范围，初步验证了分析方法的合理性.1细观损伤模型与损伤演化1.1细观损伤模型混凝土是由粗、细骨料通过胶凝材料填充并硬化而成复合材料，不同粒径骨料随机分布于试件内部，图1为某C50级高性能混凝土试件切开后的照片.对承受轴心拉力作用的混凝土而言，无论是普通还是高强混凝土，其破坏主要源于水泥砂浆和骨料之间的随机断裂13，属于受拉破坏，可用基于拉伸损伤机制的细观单元并联体模型来建立单轴受拉混凝土本构关系.其中，细观损伤单元是单位面积、高度为L的微柱体，用微弹簧表示，如图2（a）、（b）所示.在分析混凝土试件宏观拉伸本构关系时，微弹簧通常假定为理想的弹脆性材料，其应力-应变关系如图2（c）所示.宏观混凝土的单轴受拉本构关系是通过试件静力全过程加载得到的中段一定长度内的平均拉应力-应变关系.理论分析时，试件离散为由相同材料特性的细观损伤单元体并联后，通过两端刚性板相连再串联的串并联模型，量测标距内的并联体共有n个，每个并联体包含一个潜在破坏面，用来模拟可能出现的破坏位置；每个并联体内则有m个微单元体，如图3（b）示，表示受力过程中的单元破坏，其破坏应变为一个随机变量.这里，刚性板是为了保证受力中同一并联体内各细观单元的变形相等.（a）单元体（b）微弹簧（c）细观单元应力-应变关系图1混凝土内部照片Fig.1Photo of interior concrete图2细观损伤单元及其本构关系Fig.2A meso-damage element and its constitutive law（a）试件（b）串并联体模型（c）并联体模型图3轴拉混凝土的串并联模型Fig.3A series-parallel bundles model for concrete in axial tension0LLLLnLFF-1214引用格式：樊濬，陈俊，杨礬.混凝土受拉弹塑性本构关系 J.河南科学，2023，41（8）：1213-1219.上述基于细观单元随机断裂的串并联模型能较为合理地解释混凝土拉伸本构关系的非线性、应变强化、应变软化等特征.在应变强化阶段，即宏观拉伸应力-应变曲线的上升段，不同并联体内均出现混凝土小柱体的断裂，即产生损伤，总体上处于较低水平；当微单元体断裂达到一定值以后，尽管未断裂的单元体可继续承载，但由于断裂柱体的数目较大，宏观上表现为变形增大但应力降低，即为宏观拉伸应力-应变的下降段，此时的损伤集中在某一并联体内集中发展，而其他并联体内的损失则停止发展，处于卸载状态.建立应力-应变全曲线关系时，通常将串并联体模型合并为单个并联体模型，如图3（c）所示.1.2损伤及演化以图3（c）的并联体为研究对象，用(xi)表示任意一个微弹簧的破坏应变，则并联体全部单元的破坏应变组成一个随机场(x).由损伤的一般定义知，损伤即为单元体失效数目与失效前的总单元体数目之比，即d=i=1mH-(xi)m.（1a）式中：是微弹簧的弹性应变；H 为Heaviside函数，当括号内算式结果小于0时，函数值取0；其他情况，函数值取1.当并联体中细观单元的总数目m趋向于无穷大时，即可视为一维连续体；若上式极限存在，单元破坏应变则为连续随机场14.不失一般性，位置参数x可假定为0到1，因此，在均值层面上，式（1a）就变换为d=E01H-(x)dx.（1b）上述分析不难看出，仅需给出(x)的随机场分布参数，就能确定混凝土拉伸损伤，即混凝土的拉伸损伤源于细观损伤单元的随机破坏.考虑到数学上的运算和已有文献对混凝土断裂参数的研究15-16，混凝土拉伸破坏应变的随机场通常假定为服从对数正态分布的均匀随机场，其相应的均值和标准差为和，与破坏应变的均值和标准差的关系式如下：=ln1+2/2，（2a）=ln()1+2/2.（2b）相应地，式（1）变换为d=012p xexp-()lnx-222dx=ln-.（3）式中：（）为标准正态分布函数.显而易见，式（3）的损伤符合损伤变量的单调递增、非负和有界的特征.2单轴受拉混凝土应力-应变关系2.1本构关系模型对图3（a）所示的承受轴心拉力F作用的混凝土试件，在量测标距内截面上的均匀拉应力为，相应的平均拉应变为，采用图3（c）所示的并联体模型并结合损伤力学原理、平衡和变形协调条件，可得本构关系的一般式，即为=Ec()1-d.（4）式中，Ec是单元体的弹性模量，即为混凝土的弹性模量.当损伤 d 取不同函数形式，也可得到不同的应力-应变表达式.将式（3）带入式（4）即为均值层面的混-1215第41卷 第8期河 南 科 学2023年8月凝土单轴受拉随机损伤本构关系，其中的随机场参数可通过分析已有不同混凝土强度等级的单轴受拉应力-应变曲线来得到.随机场参数和与宏观拉伸应力-应变曲线峰值点的应力ft和应变t的关系式如下：=lnt-2p()-1exp-22,=2p()-1exp-22.（5）式中：=Ect/()Ect-ft;=-1(1/)，-1（）为标准正态分布反函数.虽然基于随机损伤建立的本构关系理论基础坚实，但其应用仍然稍显复杂，而已有不同混凝土强度等级得到应力-应变曲线离散性较大，尤其是曲线的下降段.上述推导不难看出，混凝土单轴受拉应力-应变关系的核心是损伤的计算，通过比较分析，均值损伤可采用式（6）的分段形式计算，上升段和下降段分别采用文献 9 和 2 的模式，二者在峰值点连续.当具有相同的全曲线峰值特征值时，式（6a）与式（3）具有高度的一致性，可以作为基于随机损伤分析得到的一种简化形式的均值损伤表达.d=1-1-1+x，x1,1-1-1/t(x-1)2+x，x1；（6a）t=0.312 f2t；（6b）x=t.（6c）确定具体的本构关系需要Ec、ft和t，而这三个参数又都与混凝土立方体强度fcu有关.由于现行混凝土规范已有相应的单轴受拉本构关系及其参数计算公式，为了保持与规范的一致，即ft与fcu之间换算关系不变，仅对弹性模量和峰值拉应变做改进，其关系式见式（7）8.ft=0.395 f0.55cu.（7）2.2弹性模量Ec混凝土弹性模量是指原点切线模量，可利用混凝土棱柱体试件由标准试验方法得到，同样，不同混凝土强度等级的结果的离散性也较大，混凝土规范在均值层面上的计算式如下8：Ec=100 0002.2+34.7/fcu.（8）理论上，混凝土单轴受拉应力-应变曲线的原点切线模量与其单轴受压全曲线的原点切线模量应相等，已得到试验的验证.同理，通过研究不同混凝土强度之间的转换关系和弹性模量试验数据后，并参考文献 17 的研究结果，建议采用式（9）来计算其原点切线模量，不同混凝土强度等级的计算结果详见表1.Ec=12 000 f0.26cu.（9）表1弹性模量计算结果比较Tab.1Comparison of elastic modulus calculation results混凝土等级fcu/MPa式（8）的Ec/GPa式（9）的Ec/GPa原点切线模量/GPaC1522.926.927.126.6C2028.429.228.628.1C2533.931.030.029.4C3039.032.431.130.4C3544.533.632.231.5C4049.834.533.232.4C4556.135.534.233.4C5061.036.135.034.1C5567.236.835.834.9C6071.837.336.535.5C6577.837.837.236.2C7083.838.337.936.9C7589.838.738.637.6C8095.839.039.338.2进一步对混凝土规范的单轴受拉应力-应变曲线求原点切线模量，其结果也列于表1.可以看出，混凝土原点切线模量与弹性模量是不一致的，平均相差4.5%，而本文建议值与弹性模量的平均相差仅为2%.-12162.3峰值拉应变t不同等级混凝土单轴受拉全曲线试验得到的峰值应力时的拉伸应变离散性也较大，除混凝土组成材料外，不同的试验方法也是其主要影响因素之一.规范给出的用抗拉强度来计算峰值应变的公式是基于文献 2 的试验结果，如式（10）所示，而文献 10通过分析不同试验结果后的表达式也差别不大.为了与规范方法相符及计算简便，建议混凝土峰值拉应变按式（11）计算.不同混凝土强度等级的计算结果如表2，表中峰值应力按式（7）计算.t=65 f0.54t10-6，（10）t=67.5 f0.5t10-6.（11）表2峰值拉应变计算结果比较Tab.2Comparison of peak tensile strain calculation results混凝土等级ft/MPa式（10）的t/式（11）的t/C152.21100100C202.49106106C252.74112112C302.96117116C353.19122120C403.39126124C453.62130128C503.79133131C553.99137135C604.14140137C654.33143140C704.51147143C754.69150146C804.861531492.4与规范中混凝土单轴受拉的应力-应变曲线比较前面的分析还可看出，应力-应变曲线上升段的非线性程度强烈依赖于混凝土原点切线模量与峰值点割线模量之比，混凝土规范中的这一值是1.2，而用本文方法的计算式如下：EcEp=Ectft=1.289f0.015cu.（12）对C15C80级混凝土，式（12）的结果为1.231.2，不仅与规范结果较为相符，而且随混凝土强度等级的提高，此值呈逐渐减小趋势，反映了轴心受拉全曲线的非线性降低.图4则给出了C15C80级混凝土单轴受拉的应力-应变曲线用两种方法计算的结果，图中无符号的粗直线为本文方法的结果.不难发现，二者非常吻合.3残余变形由于混凝土的弹塑性，卸载后会产生残余变形（也称为塑性变形），混凝土规范目前尚未对受拉混凝土考虑残余变形.利用损伤的不可逆性，则易于得到受拉混凝土的卸载及再加载应力路径，如图5所示，相应的本构关系则为：（a）C15、C25、C35、C45、C55、C65、C75级混凝土（b）C20、C30、C40、C50、C60、C70、C80级混凝土图4应力-应变曲线的比较Fig.4Comparison of stress-strain curves/MPa543210306090120150180/C75C75C65C65C55C55C45C45C35C35C25C25C15C15/MPa543210306090120150180/C80C80C70C70C60C60C50C50C40C40C30C30C20C20引用格式：樊濬，陈俊，杨礬.混凝土受拉弹塑性本构关系 J.河南科学，2023，41（8）：1213-1219.-1217第41卷 第8期河 南 科 学2023年8月=Er(-z).（13）式中：Er为受拉混凝土卸载/再加载的变形模量；z表示受拉混凝土卸载至零应力时的残余应变.用 un、un分别表示受拉混凝土从骨架曲线开始卸载时的应力、应变，并满足式（4）的本构方程，对应的损伤为 dun；Er则应考虑混凝土的弹塑性及已损单元混凝土在卸载时变形回缩时的摩阻效应，取单元体的卸载刚度等于Ec(1-d3un)，相应的残余应变即为：z=dun+d2un1+dun+d2unun.（14）上式的残余应变不仅与宏观应变有关，也与损伤有关，反映了混凝土残余应变随损伤的非线性增长的物理事实.同时，也能保证加载过程中的弹性应变一直处于增加状态，利于结构非线性分析求解.采用上述方法，对文献 2 中的两个轴心受拉的全曲线试验结果进行模拟，试件参数如下：试件2DB-3，变形传感器的标距157 mm，Ec=27.105 GPa，ft=1.972 MPa，t=100.38；试件4HA-1，变形传感器的标距106 mm，Ec=27.89 GPa，ft=1.648 MPa，t=70.32.图6是本文方法的预测结果与试验结果的比较.可以发现，本文方法预测的轴拉应力-应变曲线及其卸载/加载曲线与试验结果较为吻合.4结论通过对混凝土单轴受拉应力-应变关系进行了较为详细分析和推导，主要研究结论如下：1）采用分段表达的混凝土单轴受拉应力-应变全曲线方程和参数计算方法，改进了现行混凝土规范中拉伸本构方程的不足.图5重复荷载作用下混凝土应力-应变曲线Fig.5Stress-strain curve for concrete under repeated loading（a）试件2DB-3（b）试件4HA-1/MPa2.52.01.51.00.5020040060080010001200/试验理论/MPa2.52.01.51.00.5020040060080010001200/试验理论图6混凝土加/卸载应力-应变曲线比较Fig.6Comparison between experiments and theoretical results of stress-strain curves under repeated loadingftunOErztun-12182）建议了考虑损伤的受拉混凝土卸载/再加载的变形模量计算方法，残余应变有明确物理意义，可避免混凝土复杂受力本构方程中的不协调.文中的拉伸本构关系基于均值层面得到，稍加变换即可得到标准值与设计值层面的本构关系.本研究可为混凝土规范修订和研究复杂受力状态的本构方程提供参考.参考文献：1 GOPALARATNAM V S，SHAH S P.Softening response of plain concrete in direct tension J.ACI Materials Journal，1985，83（3）：310-323.2 过镇海.混凝土的强度和变形：试验基础和本构关系 M.北京：清华大学出版社，1997.3 ZHENG W，KWANA A K H，LEE P K K.Direct tension test of concrete J.ACI Materials Journal，2001，98（1）：63-71.4 杨卫忠，李杰.混凝土二轴受拉随机损伤本构关系 J.力学季刊，2011，32（4）：590-596.5 REN X D，LI J.A unified dynamic model for concrete considering viscoplasticity and rate-dependent damage J.InternationalJournal of Damage Mechanics，2012，22（4）：530-555.6 徐涛智.混凝土力学性能随机场研究与结构随机非线性分析 D.上海：同济大学，2018.7 GAO R F，LI J，ANG A H.Stochastic analysis of fatigue of concrete bridges J.Structure and Infrastructure Engineering，2019，15（7）：925-939.8 中华人民共和国住房和城乡建设部.混凝土结构设计规范：GB 500102010（2015年版）S.北京：中国建筑工业出版社，2015.9 杨卫忠，王保枝，樊濬.一种新的混凝土受拉本构模型 J.河南科学，2007，25（1）：81-84.10 白晓玮.混凝土损伤本构关系的研究与应用 D.郑州：郑州大学，2017.11 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