人教版九年级数学上册2412垂直于弦的直径课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,连接圆上任意两点的,线段,叫做,弦,，,经过圆心的,弦,叫做,直径,圆上任意两点间的,部分,叫做,圆弧,弧,(,半圆,),劣弧与优弧,等圆,(,同心圆,),与等弧,弦,(,直径,),圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，,每一条弧都叫做,半圆,圆,圆心为,O,，半径为,r,的圆可以看成是,:,所有到定点的距离等于定长,r,的,点,的集合。,能够重合的两个圆叫做,等圆,圆心相同的圆叫做同心圆,在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做,等弧,24.1.2,垂直于弦的直径,(1),2.,你能找出多少条对称轴？你能用什么方法解决上述问题？,可以发现：,1,、,圆是轴对称图形。,任何一条,直径,所在直线都是它的对称轴,活动一,1.,圆是轴对称图形吗,?,如果是，它的对称轴是什么？,?,2.,它有无数条对称轴，可用,对折,方法解决上述问题,A,B,A,B,C,D,思考：,问题,1.,图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如果,有，你能找到多少对？,O,问题,2.,AB,作怎样的变换时，,相等的线段有：,OA=OC=OB=OD,，,AB=CD,相等的弧有：,结论：,当,CD,AB,时,，,AC=,BC,AD=,BD,AC=,BC,AD=,BD,AC=,BD,BC=,AD,C,D,O,问题,3.,将弦,AB,进行平移时，如图,A,B,A,B,演 示,E,AC=,BC,(1),右图是轴对称图形吗,?,如果是，它的对称轴是什么？,(2),你能发现图中有哪些相等的线段和弧,?,(1),是轴对称图形,其对称轴是直线,CD,(2)AE=BE,垂直于弦的直径平分弦，,并且平分弦所对的两条弧。,垂直于弦,的直径,AD=,BD,已知,:,在,O,中,CD,是直径,AB,是弦,，,CDAB,于,E,。,即直径,CD,平分弦,AB,，并且平分,AB,及,ACB,验证,当圆沿着直径,CD,折叠时,A,点和,B,点重合，,AC,、,AD,分别与,BC,、,BD,重合。,已知：在,O,中,CD,是直径,AB,是弦,CDAB,。,求证：,AE,BE,，,AC,BC,，,AD,BD,。,叠合法,O,A,B,C,D,E,垂直于弦,AB,的直径,CD,所在的直线,是,O,的对称轴。,证明：,连结,OA,OB,CDAB,OA=OB,AE=BE,O关于直径CD对称,AC=,BC,AD=,BD,点,A,和点,B,关于,CD,对称,.,垂直于弦的直径平分弦，,并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理,:,垂径定理,:,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。,O,E,D,C,B,A,结论：,注意,:,过,圆心,和,垂直于弦,两个条件缺一不可,AC=,BC,AD=,BD,进一步，我们还可以得到结论：,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,即：,如果,CD,过圆心，且,AE=BE,则,CD,AB,，,AC=,BC,AD=,BD,CD,过圆心,(CD,为直径,),，,CD,AB,，,AE=BE，,AM=BM,由 ,CD,是直径,CDAB,可推得,AD=BD.,AC=BC,CDAB,由 ,CD,是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.,可推得,几何语言表达,垂径定理：,推论：,O,M,D,B,A,C,O,M,D,B,A,如何应用,垂径定理：,例,1,如图，在,O,中，弦,AB,的长为,8cm,，,圆心,O,到,AB,的距离为,3cm,，求,O,的半径,练习,O,A,B,E,A,解：,答：,O,的半径为,5,cm.,在,Rt AOE,中,如上图,.,若,O,的半径为,10cm,OE=6cm,则,AB=,cm,。,1.,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,火眼金睛,不是,O,E,D,C,A,B,注意：定理中的两个条件,（直径，垂直于弦）,缺一不可！,证明：过,O,作,OEAB,，垂足为,E,，则,AE,BE,，,CE,DE,。,AE,CE,BE,DE,。,所以，,AC,BD,E,.,A,C,D,B,O,例,2.,如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的,弦,AB,交小圆于,C,、,D,两点。求证：,AC=BD,OE,就是,弦心距,2.,O,的半径是,10cm,弦,AB,的长是,12cm,，则,AB,的弦心,距是,_,3.,过,O,内一点,M,的最长弦为,10cm,，最短弦长,8cm,，那么,O,的半径等于,_,，,OM,的长为,_,4.,如图：,AB,是,O,的直径，弦,CDAB,于,E,，,若,AE=9,，,BE=1,，求,CD,的长。,O,C,D,A,B,E,5.,已知,O,的直径是,20cm,O,的两,条平行弦,AB=12cm.CD=16cm,则它们之间的距离,_.,4,.,C,D,A,B,O,.,C,D,A,B,O,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,巩固训练,判断下列说法的正误,垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧,问题：你知道赵州桥吗,?,它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2m,，,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗,?,大显身手,37.4m,7.2m,A,B,O,C,D,经过圆心,O,作,OC,AB,于,D,，,OC,交,AB,于点,D,，连接,AO,R,用 弧,AB,表示主桥拱，设弧,AB,所在圆的圆心为,O,，半径为,R,AB,=37.4,，,CD,=7.2,，,OD=OC,CD,=,R,7.2,18.7,R-7.2,ADO=90,即,R,2,=18.7,2,+,（,R,7.2,）,2,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,解得：,R,27,9,（,m,）,例,3,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,AE=AD,四边形,ADOE,为正方形,.,4.,已知：,O,中弦,ABCD,。,求证：,AC,BD,证明：作直径,MNAB,。,ABCD,，,MNCD,。,则,AM,BM,，,CM,DM,（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）,AM,CM,BM,DM,AC,BD,.,M,C,D,A,B,O,N,讲解,圆的两条平行弦所夹的弧相等,小结,:,解决有关弦的问题，经常是,过圆心作弦的垂线,，,或,作垂直于弦的直径,，,连结半径,等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,.,C,D,A,B,O,M,N,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,2.,垂径定理,:,AC=,BC,AD=,BD,CD,过圆心，,CD,AB,，,AE=BE，,(2).,几何语言,(1),垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。,1.,圆是,_,_,是它的对称轴,轴对称图形,任何一条直径在的直线,3.,利用垂径定理时，常用辅助线是：,(1),连半径或作弦心距构造直角三角形,(2),作垂直于弦的直径,轻松过关,1,、如图，,AB,是圆的弦，利用一个三角板，你能确定这条弦的中点吗？,2,、如图，点,C,是圆的任意一个点，利用一个三角板，你能画出一条弦,AB,，使点刚好是这条弦的中点吗？,A,B,C,通过这节课的学习，,你有哪些收获？,能与大家一起分享吗？,丰 收 园,作业：习题,24.1,1,、,8,、,10,、,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的,(),平分弦的直线必垂直弦,(),垂直于弦的直径平分这条弦,(),平分弦的直径垂直于这条弦,(),弦的垂直平分线是圆的直径,(),平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,(),在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，,必平分此弦所对的弧,(),辨别是非,更上层楼,Upper formation building,O,E,D,C,B,A,进一步，我们还可以得到结论：,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,。,即：,如果,CD,过圆心，且,AE=BE,则,CD,AB,，,AC=,BC,AD=,BD,想一想：为什么规定弦,AB,不是直径？,1,如图，在,O,中，弦,AB,的长为,8cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3cm,，求,O,的半径,O,A,B,E,练习,解：,答：,O,的半径为,5,cm.,在,Rt AOE,中,2,如图，在,O,中，弦,AB,的长为,8cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3cm,，求,O,的半径。,O,A,B,E,3.,若,O,的半径为,10cm,OE=6cm,则,AB=,cm,。,轻松过关,解得：,R,27,9,（,m,）,B,O,D,A,C,R,在,Rt,OAD,中，由勾股定理，得,即,R,2,=18.7,2,+,（,R,7.2,）,2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9,m.,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,AB,=37.4,，,CD,=7.2,，,OD=OC,CD,=,R,7.2,在图中,解：用 弧,AB,表示主桥拱，设弧,AB,所在圆的圆心为,O,，半径为,R,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与,AB,相交于点,D,，,根据前面的结论，,D,是,AB,的中点，,C,是弧,AB,的中点，,CD,就是拱高,解决求赵州桥拱半径的问题,例,2.,如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的,弦,AB,交小圆于,C,、,D,两点。求证：,AC=BD,A,C,B,D,O,2.,O,的半径是,10cm,弦,AB,的长是,12cm,，则,AB,的弦心,距是,_,3.,过,O,内一点,M,的最长弦为,10cm,，最短弦长,8cm,，那么,O,的半径等于,_,，,OM,的长为,_,E,OE,就是弦心距,