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第51卷第4期2023 年8 月D0I:10.7631/issn.1000-2243.22150福州大学学报（自然科学版）Journal of Fuzhou University(Natural Science Edition)连续型K-g-框架的一些构造方法Vol.51 No.4Aug.2023文章编号：10 0 0-2 2 43(2 0 2 3)0 4-0 439-0 6余鑫，林丽琼（福州大学数学与统计学院，福建福州350 10 8）摘要：给出连续型（紧）K-g-框架的若干构造方法.利用正算子给出连续型K,-g-框架与连续型g-Bessel族（连续型K,-g-框架）的算子摄动的和成为连续型K-g-框架的充分条件，给出连续型K,-g-框架的算子摄动成为连续型K,-g-框架的充要条件.也给出两个连续型g-Bessel族的算子摄动的和成为连续型紧K-g-框架的充要条件.关键词：Hilbert空间；连续型K-g-框架；连续型紧K-g-框架；连续型g-Bessel族中图分类号：0 17 7.2(School of Mathematics and Statistics,Fuzhou University,Fuzhou,Fujian 350108,China)Abstract:In this paper,some construction methods of continuous(compact)K-g-frames are given.This paper gives some sufficient conditions for the sum of the operator perturbations of a continuousK-g-frame and a continuous g-Bessel family(or a continuous K,-g-frame)becoming a continuousK2-g-frame.It gives a necessary and sufficient conditions for the operator perturbations of acontinuous K,-g-frame becoming a continuous K2-g-frame.This paper also gives a necessary andsufficient condition for the sum of operator perturbations of two continuous g-Bessel families becominga continuous compact K-g-frame.Keywords:Hilbert spaces;continuous K-g-frames;continuous tight K-g-frames;continuous0引言文献1在研究非调和Fourier级数时首次引人了框架的概念.文献2 发现使用框架可使L（R)中的函数展开成类似于标准正交基展开的级数，因此重新引人了框架理论.这一基础性工作使得框架理论及其应用开始引起国内外学者的兴趣和关注，并且得到广泛研究和迅速发展.在纯粹数学和应用数学的各种应用中提出了各种离散型框架和连续型框架的概念.Sun3将各种离散型框架作统一讨论，提出了g-框架的概念.当考虑在某有界线性算子的值域上重构元素时，Gavruta41给出K-框架的概念.结合g-框架与K-框架的概念，Asgari等5引人了K-g-框架的概念.Ali等6 引人了连续型框架的概念。相应于离散型框架的概念，Abdollahpour等7 给出了连续型g-框架的概念，Alizadeh等8 给出了连续型K-g-框架的概念.在框架理论的研究中，从已有的框架或Bessel族构造新的框架是重要且基本的问题.文献9给出了从已有的K-g-框架或g-Bessel 族构造新的（紧)K-g-框架的若干方法.本研究将把文献9的方法推广到连续型K-g-框架上去，即给出连续型（紧）K-g-框架的若干构造方法.事实上，本研究利用正算子给出连续型K,-g-框架与连续型g-Bessel族（连续型K,-g-框架)的算子摄动的和成为连续型K,-g-框架的充分条件，给出连续型K,-g-框架的算子摄动成为连续型K,-g-框架的充要条件.本研究也给出两个连续型g-Bessel族的算子摄动的和成为连续型紧K-g-框架的充要条件.收稿日期：2 0 2 2-0 4-16通信作者：林丽琼（198 0-），副教授，主要从事泛函分析方面研究，基金项目：福建省自然科学基金资助项目（2 0 2 0 J01496)文献标识码：ASome construction methods of continuous K-g-framesYU Xin,LIN Liqiongg-Bessel families:440福州大学学报（自然科学版）第51卷1预备知识本节给出本研究需要的一些定义与引理。先说明一些定义与记号.本研究中，H是个Hilbert空间，（，）是个测度空间，是有限的正测度，（H。e是一族Hilbert空间.以B（H，H）表示Hilbert空间H,到Hilbert空间H,中的有界线性算子全体，简记B(H，H)=B(H).设UB(H，H,），以N(U）与R(U)分别表示U的零空间与值域.记,Hu=(yu)e:y。e H u,w e,Zl l y IP /;IIH,=(F:Q-u,H a:F()e H),WE称FIH。是强可测的，若F作为从到H。的函数是可测的.记WE（H。,)=(FIIH:F 是强可测的，且lF()Pdu(）,WE在(H，）上赋予内积，有WEQF,G)=Jdu()则（Ha，u）是个Hilbert空间.定义18 设H是Hilbert空间，（H。l a e a 是一族Hilbert空间.K=B(H)，=A。B(H,H)：E2)是算子族，如果1）对任意fH，（A。f l e是强可测的；2）存在A、B 0，使得对任意H，有AK/AJdu（）Bl，则称为连续型K-g-框架，A、B称为的框架下界，框架上界.若2）中的不等式换成等式Alll2=JIlAafl2du（），则称为连续型紧K-g-框架，A称为A的框架界.若2）中的不等式只有右边成立，则称为连续型g-Bessel族，B称为的Bessel界.定义2 7）设H是Hilbert空间，（H。1ea是一族Hilbert空间.A=（。B(H，H。）：2)是连续型g-Bessel族，Bessel界为B.设（H，）到H中的映射T满足Taf,g)=JAF(a),g)du(a),Fe(,Ha,)则TB（H。，u），H）且TIVB.T称为的合成算子.T称为的分析算子，满足(T f)(w)=A.f(S=TAT称为的框架算子，满足Sa,g)=J,0,使得U,UU,U2;3)存在X E B(H,H,)，使得U,=U,X.引理38）设H是Hilbert空间，（H。）a e n 是一族Hilbert空间.K B(H)，A=（。B(H,H)：2)是算子族，则是连续型K-g-框架T 是确定的，TB（H，），H)且R(K）R(T).引理4设H是Hilbert空间，(Hlea是一族Hilbert空间.K B(H)，A=A。B(H,H。)：E）是连续型g-Bessel族，框架算子为SA，则是连续型紧K-g-框架存在A0，使得S=AKK*.WEQ2(F,GE(H.,),Q0E2E(f e H,w E 2),(f,g E H).WE2http:/(g E H),第4期证明：是连续型紧K-g-框架，则有AllKf/=J l/A.Jldu()AKf,Kf)=Jdu()A=Jdu()=SAf,J)(f e H)SA=AKK*.引理5设H，H,是Hilbert空间，（H）a e n 是一族Hilbert空间.A=（A。B(H,H。）：2)与T=。B(H，H）:2)均是连续型g-Bessel族，Bessel界分别为B,与B2，若U，U,B(H i，H,），则AU+IU,B(Hz,H):2)是连续型g-Bessel族，Bessel界为（/BIllU,ll+/B,llU,Il)2证明：1）对任意fHz，有U，U f H，则UfI与(UJI都是强可测的，故1(A,U+r,U,)FIaen是强可测的.2)对任意f=H2,有J l(A,U+IU)flPdu()=JellAuif+FUsflPdu()(/B,UIF+/B,UJF)(/B,U:IP/+/B,:IP/F)*=(/B,U,I+/B,)/2,故(AU+UB(Hz，H):2)是连续型g-Bessel族，界为（/B,IU,l+/B,lU,)*2连续型K-g-框架的构造本节给出连续型K-g-框架的若干构造方法.首先利用正算子给出连续型K,-g-框架与连续型g-Bessel族的算子摄动的和成为连续型K,-g-框架的充分条件.定理1设H，H,是Hilbert空间，（H。l e是一族Hilbert空间.K，B(H,），K，B(H).=(B(Hi,H.):2)是连续型K,-g-框架，合成算子为T,=(B(H,H):2)是连续型g-Bessel族，合成算子为Tr.设U，U，EB（H t，H,）满足若R(U)闭,UK,=K,U且R(K)R(U),则IU+UB(H2,H):)是连续型K,-g-框架.证明：设的框架界为A，Bi，的Bessel界为B2，由引理5，1.U+U B(H z，H）w 2)是连续型g-Bessel族，Bessel界为（B,llU,l+B,lU,).由于 U,K,=K,U,则KU=UK,.对任意f H，由于R(K,）C R(U,),则K,f R(U).由于R(U）闭，根据引理1，U,KUII-K,l.所以Jell(A.Ut+r.U,)fldu()=J(A.U+Iu)f,(AU+Iu)fdu()=J(A.urf,Auf)+A.uif,Iusf)+uf,Aurf)+uf,IUsf)du()=J(lA.Ul?+2ReA.Uif,I.Uf)+FT,Uf,UJ)du()=林丽琼，等：连续型K-g-框架的一些构造方法(f=H)(f e H)(f E H)/A.urfldu(a)+/U,TATU,+U,T,TU+U,T,TU,O,http:/:441 fl/T.UflPdu(w)442l/A.Uifl du()+2Rel/A,Uif/du()+2ReJ llA.UJlPdu()+2ReT,TUif,Usf)+=J AUJIPdu()+TTUf,UJ)+Uf,TUJ)+U,TTUf,J=JAUJdu()+U,TUf,+UTATUf,)+U,TU,)=2AUJIPdu()+(U,TU+UTATU,+U,TTUf,f)/A ifl du()A,ll,uf?=A,I K,I?A,-2 I,f2.2综上，对任意Hz，（U+U)是强可测的，且AlU-2lJ(AU+IU)FIPdu()(/BIUl+/B,IU)l2,即(AU+IU B(H,Ha):e 2)是连续型 K,-g-框架.若定理1中的U,=0，则有如下推论.推论1设H，H，是Hilbert空间，Hal是一族Hilbert空间K，B(H,），K，B(H,).=（A B(H，H.):2)是连续型K-g-框架。设U B(H，H,），若R(U)闭，UK,=K,U且R(K,）R(U)，则/A.U*B(H,H。):2)是连续型Kz-g-框架.若定理1中的H,=H,=H，K,=K,=K=B(H)，=是连续型-g-框架，U,=I，则可得如下推论2 设H是Hilbert空间，（H。1a e 是一族Hilbert空间.K,UB(H).A=A。B(H,H。)：2)是连续型K-g-框架，合成算子为TA，框架算子为SA.若U是正算子，且US=SU，则1A。+A.U B(H,H。):Q)是连续型K-g-框架.证明：由定理1，只需证明TATU”+UTAT+UTATU0.由于U是正算子，则U*=U，U 也是正算子，且（U）”=U.由于USA=SAU，则US=S,U.故TATAU+UTATX+UTATAU=SAU+USA+UTATAU=下面给出两个连续型K,-g-框架的算子摄动的和成为连续型K,-g-框架的充分条件.定理2 设H，H,是Hilbert空间，（H。l e 是一族Hilbert空间.K，B(H,）满足R(K,）闭，K，EB(H).A=(A。B(H i,H.):2)与=(。B(Hi,H。):2)均是连续型Ki-g-框架.设Ut,UB(H，H,）满足U,TTU+U,TTUO.若如下条件之一成立：1)R(U,+U,)*)R(K),R(K2)CR(U,+U,);2)R(U-U2)*)R(K),R(K,)C R(U-U2).则(A.U+U B(H,H。):2)是连续型K,-g-框架.证明：设的框架界为A，Bi，的框架界为A2，B2，由引理5，（A,U+U B(H,H。）:E2)是连续型g-Bessel族,Bessel 界为(/B,IU,ll+/B,ll,)对任意fEH，类似定理1的证明可得http:/福州大学学报（自然科学版）du(o)+J(T Urf(),Uf)du()+J(TrUf(a),Udu()=2SAU+UTATAU*=2SAUU+UTATAU*=2USAU+UTATU*=2UTAT(U)*+UTAT*U*=2UTA(UTA)*+UTA(UTA)*0.第51卷du(o)=第4期不妨设条件（1)成立，由于R（U,+U）*）R(K），则（U+U）f R(K）.由于R(K）闭，根据引理1，K*（U,+U）*I K I I-（U,+U）*.由于R(K,）R(U,+U），根据引理2 存在0,使得,K(U+U）（U +U）*,则Il(U+U）*J 2K.因此Jill(A,U+FU,)flld(o)miniAi,A,/lK(U,+U,)fl 1miniA,A2/IK II-2 l(U,+U,)fl/2 21miniAt,A,1 llKIl-221IK,fll2.2m综上，对任意 Hz，（U+U)f e 是强可测的，且林丽琼，等：连续型K-g-框架的一些构造方法ll(A.U+F,U,)flldu(w)=lAUJdu()+(U,TU+UTATF,f+JeUFlPdu()A,IKUF2+A2llKU,Fll2min/Ar,A2I(llUfl2+IlKUfl2)1mintA,A2I(llKUf+KU,fl+KUf-KU,fll2)21-miniAr,A,I(llK(U,+U,)fl2+IK(U,-U,)fl).2 44312即iU+IUB(H,H):w2)是连续型K2-g-框架.本节最后给出连续型K,-g-框架的算子摄动成为连续型Kz-g-框架的充要条件.定理3设Ht，H,是Hilbert空间，（H。l a e n 是一族Hilbert空间.K，B（H），K=B(H z）满足R(K,）的闭包R(K,）=H 2 A=A。B(H,H):2)是连续型K-g-框架.设UB(Hi，H,）满足R(U)闭，且 UK,=K,U，则i,U*B(H z，H。）:2)是连续型K,-g-框架U是满射.证明：“若U是满射，则R(K）H,=R(U).由推论1可得I,U*B(Hz，H。）：)是连续型Kz-g-框架。“=设连续型K-g-框架A=（A。B(H，H）:W 2的合成算子为T，连续型K-g-框架(AU*B(Hz，H):2)的合成算子为L,则对任意F（H a，u)，g H z，有LF,g)=J(A,U)F(0),g)du(w)=JUAjF(),g)du()=du(w)=T/F,Ug)=O,使得 AKK*=U,SAU+U,STU+U,TAT U+U,TT U*.http:/ 444证明：由引理5，（AU+U，B(H z，H。）：E2)是连续型g-Bessel族，设其合成算子为L，框架算子为S.对任意F（H，)，g EH z，有LF,g)=J(AU+I.U)F(a),g)du(w)=J(A,Ur)F(),g)du()+Jdu()=U/AjF(w),g)d(a)+JU,r=F(a),g)du()=AF(),Uig)du()+JTF(),Uig)d(a)=+=+=0，使得AKK*=S=U,SAU+U,STU,+U,TATU,+U,T,TU.由定理4与引理4可得如下推论.推论3设Hi，H，是Hilbert空间，（H。1e是一族Hilbert空间.K，B(H），K B(H,).=(A。B(H，H):2)与=(。B(H，H）:2)均是连续型紧K,-g-框架，框架界分别为A,与A2，合成算子分别为T与Tr.设U，U,B(H,H,），则AU+UB(H2，H）:2)是连续型紧K,-g-框架存在A0，使得AK,K,=A,U,K,KU+A,U,KKU+U,TTU+U,T,TUT.参考文献：1 DUFFIN R G,SCHAEFFER A C.A class of nonharmonic Fourier series J.Transactions of the American MathematicalSociety,1952,72:341-366.2 DAUBECHIES I,GROSSMANN A,MEYER Y.Painless nonorthogonal expansions J.Journal of Mathematical Physics,1986,27:1271-1283.3 SUN W C.G-frames and g-Riesz basesJ.Journal of Mathematical Analysis and Applications,2006,322(1):437-452.4 GAVRUTA L.Frames for operatorsJ.Applied and Computational Harmonic Analysis,2012,32:139-144.5 ASGARI M S,RAHIMI H.Generalized frames for operators in Hilbert spaces J.Infinite Dimensional Analysis QuantumProbability and Related Topics,2014,17(2):1450013.6 ALI S T,ANTOINE J P,GAZEAU JP.Continuous frames in Hilbert spacesJ.Annals of Physics,1993,222:1-37.7 ABDOLLAHPOUR M R,FAROUGHI M H.Continuous G-frames in Hilbert spaces JJ.Southeast Asian Bul-letin of 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