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《方程的根与函数的零点》教学设计
引言：本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第三章第一节第一课时．通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．
案例描述：
一、学情分析
程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数．
知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的．再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题．这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础．但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点．加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂．因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系．
二、设计思想
教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣．
教学原则：注重各个层面的学生．
教学方法：三学一导．
三、教学目标
1.知识与技能：
①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件；
②培养学生的观察能力；
③培养学生的抽象概括能力．
2.过程与方法：
①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；
②让学生归纳整理本节所学知识．
3.情感、态度与价值观：
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
四、教学重点、难点
重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法．
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法．
五、教学过程设计
1．指导学生进行课前学习
预习教材，完成以下习题：
1．零点：使 的实数．
2．方程有实数根函数的图像与 有交点函数有 ．
3．函数零点存在结论：
如果函数的图象在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在 ，使得 ，这个也就是方程的根．
4．已知某函数的图象如图所示，则函数有零点的区间大致是（ ）　
A．(0，0.5) B．(0.5，1) C．(1，1.5) D．(1.5，2)
5．已知有一个零点为2，则的值是___ _______．
2．指导学生进行课堂学习
（1）方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索
问题1：解方程（比赛）：①6x－1=0 ；②3x2＋6x－1=0 ．
再比赛解3x3＋6x－1=0
第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：教师介绍说一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如3x5＋6x－1=0 紧接着介绍阿贝尔（挪威）定理（五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法），伽罗瓦（法国）的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二分法引入课题．
问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图1
①方程与函数
②方程与函数

③方程与函数

图1
[师生互动]
师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念．
零点概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．
师：填表格
函数

函数的零点

方程的根

生：经过独立思考，填完表格
师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关系？
生：经过观察表格，得出第一个结论
师再问：根据概念，函数y＝f（x）的零点与函数y＝f（x）的图象与x轴交点有什么关系
生：经过观察图像与x轴交点完成解答，得出第二个结论
师：概括总结前两个结论（请学生总结）．
1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。例如函数的零点为x =-1,3
2）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．
3）方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
师：引导学生仔细体会上述结论．
再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？
生：可以解方程而得到（代数法）；
可以利用函数的图象找出零点．（几何法）
问题3：是不是所有的二次函数都有零点？
师：仅提出问题，不须做任何提示．
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
二次函数的零点：看△
１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
第一阶段设计意图
本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路，进而培养学生归纳总结能力．
（2）零点存在性的探索
[师生互动]
师：要求生用连续不断的几条曲线连接如图2中A、B两点，观察所画曲线与直线l的相交情况，由两个学生上台板书：

．A

a b l
．B
图2
生：两个学生画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交．
师：再用连续不断的几条函数曲线连接如图A、B两点，引导学生观察所画曲线与直线l的相交情况，说明连接A、B两点的函数曲线交点必在区间 (a，b) 内．
生：观察下面函数f（x）＝0的图象（如图5）并回答：
图5
①区间[a，b]上______(有/无)零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞）．
②区间[b，c]上______(有/无)零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞）．
③区间[c，d]上______(有/无)零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞）．
师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．
生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论．
一般地，我们有：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c ∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
第二阶段设计意图：
教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养归纳总结能力和逻辑思维．
（3）例范研究
例1.已知函数f（x）=－3x5－6x＋1有如下对应值表：

x
－2
－1.5
0
1
2
f（x）
109
44．17
1
－8
－107
函数y＝f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？
探究1：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内没有零点吗?
探究2：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只一个零点？
探究3：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？
探究4：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？
图3（反例）

师：总结两个条件：
1）函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；
2）在区间[a，b]上有f（a）·f（b）<0．
一个结论：函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点．
补充：什么时候只有一个零点？
（观察得出）函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调时只有一个零点．
例2．求函数的零点个数．问题：
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
第三阶段设计意图：
教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用,应用例1，例2加深对定理的理解
（4）练习尝试(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)
1．求函数，并画出它的大致图象．
2．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）；（2）；
3．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）；（2）；
[师生互动]
师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．
生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解做准备．
第四阶段设计意图：利用练习巩固新知识，加深理解，为用二分法求方程的近似解做准备．
（5）探索研究(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)
讨论：请大家给方程的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？
[师生互动]
师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性．也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学习潜能和热情．老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况．
生：分组讨论，各抒己见，在探究学习中得到数学能力的提高．
第五阶段设计意图：
一是为用二分法求方程的近似解做准备．
二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的．
（6）课堂小结：
①零点概念；
②零点存在性的判断；
③零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间．
（7）作业回馈
教材P108习题3．1（A组）第1、2题；
思考：总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗？
3．指导学生进行课后学习
通过学生的作业反馈，重点辅导没有落实的课标要求．
案例反思：
本设计根据“三学一导”的教学法，突出了学生的主体作用，有效激发了学生学习的兴趣．同时也遵循了由浅入深、循序渐进的原则，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．