八年级上数学-全等三角形典型例题上课用.doc

全等三角形典型例题：
例1：（2014 威海）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．

A
F
B
C
E
D
求证：AF⊥BE．

练习1：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。

例2： △DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,
EE
求证：（1）AE=BD； (2)CM=CN； (3) △CMN为等边三角形；
E
D
A
C
B
N
M
（4）MN∥BC。

例3：已知，△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，过A任作一直线l，作BD⊥l于D，CE⊥l于E，观察三条线段BD，CE，DE之间的数量关系．
⑴如图1，当l经过BC中点时，DE = ，此时BD CE
⑵如图2，当l不与线段BC相交时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ，并证明你的结论．
⑶如图3，当l与线段BC相交，交点靠近B点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ．
证明你的结论，并画图直接写出交点靠近C点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ．
A
B
C
D
E
l
A
B
C
l
E
D
A
l
B
C

图1 图2 图3

例4：已知: 在平面直角坐标系中，放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4，0）.
⑴求C点的坐标；

⑵D为△ABC内一点（AD>2），连AD，并以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE，连CD、BE.试判断线段CD、BE的位置及数量关系，并给出你的证明；

⑶旋转△ADE，使D点刚好落在x轴的负半轴，连CE交y轴于M.
求证：①EM=CM；②BD=2AM.

练习2：以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC。
试说明：（1）EF＝EC；（2）EB⊥CF

练习3：
如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。
若将 ⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？

例5：如图1，已知，AC⊥CE，AC=CE， ∠ABC=∠CDE=90°，
图1
问BD=AB+ED吗?

[变形1]：如图2， 如果△ABC≌△CDE，请说明AC与CE的关系。
图2

[变形2]：（2014 泸州）如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，
求证：DE=BF

[变形3]：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。
图3

[变形4]：在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
1

图4
（1）当直线MN绕点C旋转到图4的位置时，△ADC≌△CEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？

（2）当直线MN绕点C旋转到图5的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。
图6
图6
（3）当直线MN绕点C旋转到图6的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。
图5

等腰三角形、等边三角形的全等问题：
[必备知识]：
如右图，由∠1=∠2，可得∠CBE=∠DBA；反之，也成立。
1
2

2
1
图13
例6：已知在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠1=∠2，请问BD=CE吗？

[变形1]：如图13，已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，
请说明△ABD≌△ACE.吗？为什么？
_
C

2
_
D

_
E
1

_
B
_
A
图13

图15
[变形2]：过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。

图16
[变形3]：如图16—18，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，，连接BD，CE，请说明它们相等

图17

图18

[变形4]：（2014 怀化）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：；

例四： 如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB.
求证：AN平分∠BAC.

[变形]：在Rt△ABC中，已知∠A=90°，DE⊥BC于E点，如果AD=DE，BD=CD，求∠C的度数