拟牛顿迭代法在电力潮流计算中的应用.pdf

光源与照明 总第 178 期 2023 年 3 月 照明电气179文章编号：2096-9317（2023）03-0179-03拟牛顿迭代法在电力潮流计算中的应用*孙 江山西能源学院，山西 晋中 030600摘要：牛顿迭代法是电力潮流计算最常用的算法。牛顿迭代法在将非线性方程线性化时忽略了二次及以上的高次项，相较于保留二次项的拟合二次方程，修正量的值偏小。拟合二次方程的修正量更接近真实值，但在二次方程迭代运算时需要计算二阶导数，计算量增大。文章利用商差的形式将二阶导数降为一阶导数，得到二次方程修正量的解与一次线性方程修正量的解之间的关系，免除了求解二阶导数的步骤，减少了迭代计算量，加快了收敛的速度，减少了迭代次数。利用 MATLAB 仿真软件验证，修正后的拟牛顿迭代法在电力潮流计算时相较于牛顿迭代法收敛速度更快，迭代次数更少。关键词：二阶导数；拟牛顿迭代法；电力潮流计算分类号：TM7440 引言电力潮流是电力系统正常运行时系统节点电压、电流、功率的分布情况，需要由给定的电力系统网络的拓扑结构和电力系统电路参数来确定整个电力系统各部分的潮流分布情况。在电力线路方案设计、现代电力系统稳定运行的研究中，都要利用潮流分布来定性分析不同供电方式或功率补偿方式的合理性、可靠性和经济性。电力潮流分布计算可归结为一组多元非线性方程求解问题，对于非线性方程，数学上多采用迭代法1。牛顿-拉夫逊法（牛拉法），也叫牛顿迭代法，收敛性好、迭代次数少，是解非线性方程的有效方法。牛顿迭代法是目前应用较广泛、效果较好的电力潮流计算方法。但现代电力系统的结构和参数具有多变性，并且随着现代电力系统网络的不断扩大，电力潮流计算的方程阶数随着节点数的增加越来越高，计算非线性方程所需要的时间也变长。分布式潮流计算的重点是提高算法收敛性和收敛速度、减少通信次数，电力系统计算人员需要不断寻求新的更可靠方法去解决上述问题。近年来，针对非线性方程的求解问题，国内外学者提出了很多基于牛顿迭代法的改进算法，如 Chebyshev迭代法能够提高非线性方程的迭代精度和速度，减少计算时间。但 Chebyshev 迭代法需要求解二阶导数，增加了迭代过程计算的数据量2。文章利用商差的形式将 Chebyshev 迭代法降阶为一阶导数，不需要求解二阶导数，减少了迭代过程的计算量，使潮流计算的收敛速度加快3。1 算法原理设非线性方程：f(x)=0（1）非线性方程在区间 D 上有解且连续。将 f(x)在 xn处泰勒级数展开，有（2）（3）为避免求导计算，可以改用商差替代牛顿迭代法中的导数，得到拟牛顿迭代法的迭代方程修正解：（4）与牛顿迭代法迭代方程的修正解相比，拟牛顿迭代法的修正解增大，修正系数为（5）拟牛顿迭代法增大了修正量，加快了收敛速度，也避免了二阶导数的求解。推广到多维变量的矩阵为*基金项目：山西能源学院课程思政项目（NKS2021007）作者简介：孙江，男，硕士，讲师，研究方向为电力系统的教学。照明电气 2023 年 第 3 期 总第 178 期 光源与照明180（6）2 电力潮流计算2.1 计算方程电力潮流分布是电力系统线路规划设计和正常运行时电压、电流、功率的分布，可以为选择电力网络的供电方案和电力网络中的电气设备提供理论依据，也可以为电力系统继电保护设备的参数整定、电力系统暂态分析提供换路前的原始数据。电力网络方程是求解电力潮流分布的重要手段。根据电力网络的参数和结构，利用基尔霍夫定律，可对电力网络列节点电压方程：（7）式中：为节点注入电流的列向量；为节点导纳矩阵；为节点电压的列向量。其矩阵表达式为（8）式中：IB为注入节点电流的列向量；UB为节点电压的列向量；YB为电力网络导纳矩阵。在电力网络中，通常已知的是各节点的功率 SB，因此将上述方程转化为（9）（10）式中：为共轭互导纳；为节点 j 的共轭电压；Pi为节点 i 的有功功率；Qi为节点 i 的无功功率。将，（其中，Yij为互导纳，Gij为互电导，Bij为互电纳，为节点 i 电压，ei为节点 i 电压的实部，fi为节点 i 电压的虚部）代入式（10）可得：（11）式中：ej为节点 j 电压的实部；fj为节点 j 电压的虚部。节点功率不平衡方程式为（12）2.2 计算步骤非线性方程求解的一般方法是将非线性方程转化为线性方程，牛顿迭代法是将非线性方程按泰勒级数展开，舍去二阶及二阶以上的高次项，把非线性方程转为一次线性修正方程，按照线性方程的解法求出修正量，如此循环，最后可获得精确解。拟牛顿迭代法也是将非线性方程按照泰勒级数展开，但是保留了二次项，将非线性方程转为二次线性方程。二次方程的最高次系数包含方程的二阶导数，修正量中含有二阶导数，利用拟牛顿迭代法，可以将修正量中的二阶导数降为一阶导数，得到二次方程修正量与牛顿迭代法修正量之间的关系。免去了二阶导数，减少了迭代过程二阶导数的计算量。在电力潮流计算中，将式（11）按泰勒级数展开，略去三次及以上的高次方，方程组转化为二次方程组。利用拟牛顿迭代法计算修正量的修正系数，再利用解线性方程的方法解出母线节点电压修正量，如此迭代循环，最后可得各节点电压的精确解。牛顿迭代法的修正方程矩阵形式为（13）式中：P 为节点有功功率不平衡量的列向量；Q为节点无功功率不平衡量的列向量；e 为节点电压实部不平衡量的列向量；f 为节点电压虚部不平衡量的列向量。雅可比矩阵 J 为（14）其中，。经修正系数 修正后的节点电压的修正量为（15）综上，拟牛顿迭代法求解电力潮流的基本计算步骤如下：（1）形成节点导纳矩阵 Y；（2）设各节点电压初值(0)ie、(0)if；光源与照明 总第 178 期 2023 年 3 月 照明电气181（3）将节点电压初值代入式（12），求出修正方程的不平衡量(0)iP、(0)iQ和(0)2iU；（4）将节点电压初值代入式（14），求出雅可比矩阵；（5）求解牛顿迭代法的修正方程，即式（13），得到变量的修正向量(0)ie、(0)if；（6）根据公式、，求出节点电压更新后的值；（7）将节点电压新值(1)ie、(1)if代入式（12），求出修正方程的不平衡量(1)iP、(1)iQ和(1)2iU；（8）求出变量修正向量的修正系数；（9）如有 PV 节点，检查该类节点的无功功率是否越限；（10）根据设定的收敛条件检查是否收敛，如不收敛，则以各节点电压的新值作为初值自第（3）步重新开始下一次迭代，否则转入下一步；（11）计算支路功率分布、PV 节点无功功率和平衡节点注入功率，最后输出结果，结束计算。3 算例分析电力系统电路图如图 1 所示，利用该电力系统通过 MATLAB 仿真软件验证改进后的算法的有效性。系统中节点 1、节点 2 为 PQ 节点，节点 3 为 PV 节点，节点 4 为平衡节点。S4S1S3S2图 1 电力系统电路图图 1 中负载 1S1=P1+jQ1=-0.30-j0.18，负载 2S2=P2+jQ2=-0.55-j0.13，负载 3S3=0.5，节点 3 电压 V3=1.1，节点 4 电压 V4=1.050，节点电压容许误差=10-5。节点导纳矩阵为（16）经计算后，牛顿迭代法和拟牛顿迭代法两种方法迭代过程中节点电压的变化如表 1 所示。表 1 不同方法下迭代过程节点电压的变化迭代次数节点 1 电压标幺值节点 2 电压标幺值牛顿迭代法 拟牛顿迭代法牛顿迭代法 拟牛顿迭代法11.000 01.000 01.000 01.000 020.993 60.985 20.982 30.973 230.984 80.985 10.965 10.965 240.984 70.984 70.964 80.964 8为了直观地比较，计算并绘制了节点 1 的电压迭代变化情况，如图 2 所示。根据图 2，改进后的拟牛顿迭代法收敛速度更快，时间更短，潮流计算能力优于牛顿迭代法。迭代次数0.9841.512342.53.50.9860.9880.9900.9920.9940.9960.9981牛顿法拟牛顿法节点电压标幺值图 2 节点 1 电压标幺值与迭代次数的关系4 结论文章针对电力潮流计算的精度和速度问题，提出了拟牛顿迭代法。经过 MATLAB 仿真软件分析对比，拟牛顿迭代法的潮流计算寻优能力更强，提高了电力潮流计算的速度和精度，可满足实际工程的需求。参考文献1 夏道止,杜正春.电力系统分析 M.3版.北京:中国电力出版社,2017.2 卢兴江,金通洸.解线性方程组迭代法的若干几何研究J.大学数学,2021,37(5):71-77.3 宋天祥.电力系统潮流计算的计算机程序设计J.纯碱工业,2021(4):39-43.