北京市西城区第四中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题.docx

北京市西城区第四中学 2020-2021 学年九年级上学期 12 月月
考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（
）
2．如果两个相似三角形的面积比是 1：4，那么它们的周长比是(
A．1：16 B．1：6 C．1：4
)
D．1：2
3．如图，在 ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，那 么 EF 与 CF 的比是（
）
A．1：2
B．1：3
C．2：1
D．3：1
= 3x ，y = -2x +1
4．抛物线 y
在同一直角坐标系内，则它们（ ）
2
2
A．都关于 y 轴对称
C．都经过原点
B．开口方向相同
D．互相可以通过平移得到
5．如图，点A 的坐标为（1，3），O 为坐标原点，将OA 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°
得到
′，则点 ′的坐标是（
AO
）
O
A．（4，﹣1）
B．（﹣1，4）
C．（4，2）
D．（2，﹣4）
6．“圆材埋壁”是我国著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋于壁
中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的数学语言表达
是：“如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E，CE = 1寸，AB = 1尺，求直径
的长”. 依题意，CD 长为（ ）

25
2
A．
寸
B．13 寸
C．25 寸
D．26 寸
7．已知抛物线 y＝ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：
x
y
…
…
0
0
1
2
3
3
…
…
3
﹣1
m
①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m 的值为0④图象不经过第三象限
上述结论中正确的是（
）
A．①④
B．②④
C．③④
D．②③
8．如图，∠AOB=120°，OP 平分∠AOB，且 OP=2.若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且
△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．3 个以上
二、填空题
2
9．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝4，tanA＝ ，则 AC＝_____．
3
x
4x = 3y
=
______.
10．如果
， 那么
y
11．如图，现有测试距离为 5m 的一张视力表，表上一个 E 的高 AB 为 2cm，要制作测
试距离为 3m 的视力表，其对应位置的 E 的高 CD 为____cm．
O
ÐABC = 45°
O
,则 的半
12．如图，在
R =_____．
径
中，弦 AC = 2 2 ，点 是圆上一点，且
B

13．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O，A，B，C 在格点（两
条网格线的交点叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A，B，C 三点的圆
的圆心坐标为_____．
14．已知二次函数 y＝ax +bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），
2
由图象可知关于 x 的方程 ax +bx+c＝0 的两个根分别是 x ＝1.3 和 x ＝_____．
2
1
2
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A’B’C’是以坐标原点 O 为位似中心的
位似图形，且
＝ '，如果点 （2，3），那么点 '的坐标为_____．
OB BB
A
A
16．如图，已知点 是矩形 ABCD的对角线 AC 上的一动点，正方形
的顶点
E
EFGH
= 3, BC = 4
G、H 都在边
，则tanÐAFE =
______．
上，若 AB
AD
三、解答题
17．计算:6tan
230° - 3 60 -
sin
cos sin
45 30 .
18．已知:如图，在
中， ^
CD AB
，垂足为 D ,若Ð =
60°, BC = 2 7，AD = 2
.
A
ABC

求 AB 的长.
19．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折
叠，点 恰好落在
D
边上的点 处，求 cos∠ 的值．
EFC
BC
F
20．如图，在等边
中，点D 是 AB 边上一点，连接CD ，将线段CD 绕点 按
C
ABC
/ /BC
.
顺时针方向旋转60 后得到CE，连接
.求证: AE
AE
21．如图，AC 是⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于点 E，联结 BC，过 点 O 作 OF⊥BC 于点 F，
＝8， ＝2．
BD
AE
（1）求⊙ 的半径；
O
（2）求
的长度．
OF
22．体育场主席台侧面如图，若顶棚顶端D 与看台底端 连线和地面垂直，测得看台
A
的长为14 米，ÐBAC = 30°,ÐACD = 45°
.
AC

(1)求看台高
的长;
BC
(2)求顶棚顶端 D 到地面的距离
的长. (取 3 =1.7 )
AD
23．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球
的飞行高度 h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t 与 h 的几组对应值如下
表所示．
t（s）
0
0
0.5
1
1.5
2
…
…
h（m）
8.75
15
18.75
20
（1）求 h 与 t 之间的函数关系式（不要求写 t 的取值范围）；
（2）求小球飞行 3s 时的高度；
（3）问：小球的飞行高度能否达到 22m？请说明理由．
24．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC．过点B 作⊙O 的切线，交AC
的延长线于点 ，在
上取一点 ，使 ＝ ，连接 ，交⊙ 于点 ．
D
AD
请补全图形并解决下面的问题：
（1）求证：∠BAE＝2∠EBD
（2）如果 AB＝5，sin∠EBD
E
AE AB
BE
O
F
；
5
＝
．求
的长．
BD
5
( )( ) ( )
- x x - x .. x - x > 0
25．小明利用函数与不等式的关系，对形如 x
( n 为正整数)
1
2
n
的不等式的解法进行了探究.
(1)下面是小明的探究过程，请补充完整:
- 2 > 0
= - 2
，观察函数 y x 的图象可以得到如下表格:
①对于不等式 x
x
< 2
x
2
的范围
>
x

-
+
y 的符号
由表格可知不等式
的解集为 > 2 .
x
- 2 > 0
x
( )( )
= x - 2 x -1
( )( )
- 2 x -1 > 0
②对于不等式
，观察函数
的图象可得到如下表格:
y
x
<1
的范围
> 2
x
x
x
-
+
+
y 的符号
( )( )
由表格可知不等式
的解集为
.
x
- 2 x -1 > 0
( )( )( )
③对于不等式
,请根据已描出的点画出函数
x
- 2 x -1 x + 2 > 0
( )( )( )
y = x - 2 x -1 x + 2
的图象;
( )( )( )
= x - 2 x -1 x + 2
观察函数
的图象,
y
补全下面的表格:
x < -2
> 2
x
x
+
-
y 的符号
( )( )( )
由表格可知不等式
的解集为
.
x
- 2 x -1 x + 2 > 0
( )( ) ( )
小明将上述探究过程总结如下:对于解形如
( 为正整数)
n
x
- x x - x .. x - x > 0
1
2
n
，x , ，x
的不等式，先将x
按从大到小的顺序排列，再划分 的范围，然后通过列
x
1
2
n
表格的办法，可以发现表格中 y 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不

等式的解集.
(2)请你参考小明的方法，解决下列问题:
( )( )( )( )
- 6 x - 4 x - 2 x + 2 > 0
①不等式 x
的解集为
.
( )( )( )
-5 x -3 x + 4 > 0
2
②不等式 x
的解集为
.
26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 M：y＝ax +bx+c（a≠0）经过 A（﹣1，0），且
2
顶点坐标为 B（0，1）．
（1）求抛物线 M 的函数表达式；
（2）设 F（t，0 ）为 x 轴正半轴上一点，将抛物线 M 绕点 F 旋转 180°得到抛物线 M ．
1
①抛物线 M 的顶点 B 的坐标为
；
1
1
②当抛物线 M 与线段 AB 有公共点时，结合函数的图象，求 t 的取值范围．
1
27．如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
点 为直线
P
，
BD CE
的交点．
（1）如图，将△ADE 绕点 旋转，当 在线段
上时，连接 BE，下列给出两个结论：
A
D
CE
①BD＝CD+
AD；②BE ＝2（AD +AB ）．其中正确的是
，并给出证明．
2
2
2
2
（2）若 ＝4， ＝2，把△
绕点 旋转，
A
AB AD
ADE
①当∠EAC＝90°时，求 PB 的长；
②旋转过程中线段 PB 长的最大值是
．

28．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和⊙C，给出如下定义：连接 PC 交⊙C 于点 N，
若点 关于点 的对称点 在⊙ 的内部，则称点 是⊙ 的外称点．
P
N
Q
C
P
C
（1）当⊙ 的半径为 1 时，
O
①在点 D（﹣1，﹣1），E（2，0），F（0，4）中，⊙O 的外称点是
；
æ
ö
2 2
,
2 2
②若点 M（m，n）为⊙O 的外称点，且线段 MO 交⊙O 于点 Gç
÷ ，求 m 的取
ç
÷
è
ø
值范围；
（2）直线 ＝﹣ + 过点 （1，1），与 轴交于点 ．⊙ 的圆心为 （ ，0），半径为
y
x b A x B T T t
1．若线段 AB 上的所有点都是⊙T 的外称点，请直接写出 t 的取值范围．

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】
A．是中心对称图形，不符合题意；
B．是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，不符合题意；
D．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180 度以后，能够
与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．符合题意．
故选 D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念．掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
2．D
【分析】
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似
比解答即可．
【详解】
解： 两个相似三角形的面积比是 1：4，
\两个相似三角形的相似比是 1：2，
\两个相似三角形的周长比是 1：2，
故选 D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的
比等于相似比的平方是解题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．

【详解】
解：由平行四边形的性质可知： ∥ ，
AB CD
∴△BEF∽△DCF
，
∵点 是 的中点，
AB
E
BE BE 1
=
=
∴
∴
AB CD 2
EF BE 1
=
= ，
CF CD 2
故选 ．
A
【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础
题型．
4．A
【分析】
= 0
从这两个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为0，故对称轴 x
，对
y
称轴为 轴, a 的符号决定开口方向，利用抛物线的性质逐项分析得出结论．
【详解】
b
= - = 0
A．观察两个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴x
，对称轴为
2a
y
y
轴，都关于 轴对称,该选项正确；
．前一个a
> 0，开口向上，后一个a < 0，开口向下，该选项错误；
B
( )
0，0
( )
，0，1
，该选项错误；
C．前一个经过原点
，后一个经过点
．因为二次项系数不一样，不可能通过平移得到的，该选项错误；.
D
故选： A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
5．C
【分析】
根据题意画出图形即可解决问题．
【详解】
观察图象可知 O′的坐标为（4，2）．

故选：C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质-旋转，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关
键．
6．D
【分析】
根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】
连接 OA．
设圆的半径是 x 寸，在直角△OAE 中，OA=x，OE=x-1，
∵OA =OE +AE ，
2
2
2
则 x =（x-1） +25，
2
2
解得：x=13．
则 CD=2×13=26．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键．
7．C
【解析】
【分析】

由表格中数据 x=-1 时 ，y=3，x=3 时 ，y=3，可判断抛物线的对称轴是x=1，根据函数值的变
化，判断抛物线开口向上，再由抛物线的性质，逐一判断即可得答案．
【详解】
由表格中数据可知，x=-1 时，y=3，x=3 时，y=3，x=1 时，y=-1，
①抛物线的开口向上，故错误；
②抛物线的对称轴是 x=1，故错误；
③根据对称性可知，抛物线的对称轴是 x=1，点(0，0)的对称点为(2，0)，即抛物线一定经
过点(2，0)，所以 m=0，故正确；
④由以上分析可知抛物线开口向上，对称轴在 y 轴右侧，经过原点，所以图象不经过第三象
限，故正确，
正确的有③④ ，
故选 C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格
中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y 轴的交点坐标等．
8．D
【详解】
试解：如图在 OA、OB 上截取 OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP 平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF 是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM 和△PON 中，

ìÐ
PEM＝ÐPON
PE＝PO
ï
í
，
ï
ÐEPM＝ÐOPN
î
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，∵∠MPN=60°，
∴△PNM 是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN 就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选 D．
9．6．
【分析】
BC
根据锐角三角函数定义得出 tanA＝
，代入求出即可．
AC
【详解】
如图：
2
BC
∵BC＝4，tanA＝ ＝
，
3
AC
∴AC＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数定义是解此题的关键，在直角三角形中，
锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3
10．
4
【分析】
根据比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积，将此性质逆运用，即可得出答案．
【详解】
4x = 3y
∵
，

x 3
=
∴
，
y 4
3
故答案为： ．
4
【点睛】
此题主要考查了比例的意义和基本性质．解答此题的关键是比例基本性质的逆运用．
11．1.2
【分析】
证明△OCD∽△OAB，然后利用相似比计算出 CD 即可．
【详解】
解：OB=5m，OD=3m，AB=2cm，
∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
CD OD
CD 3
=
AB OB
=
∴
，即
，
2 5
∴CD=1.2，
即对应位置的 E 的高 CD 为 1.2cm．
故答案为 1.2．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质求
相应线段的长．
12．2
【分析】
通过ÐABC = 45° ，可得到ÐAOC = 90°
【详解】
，根据半径相等结合勾股定理可求得答案.
ÐABC = 45°
ÐAOC = 90°
∵
，
，
∴
= OC = R
∵OA
( )
2
2
+ R = 2 2
∴ R2
解得： R
= 2 (负值已舍)
故答案为：2

【点睛】
本题考查了圆周角定理以及勾股定理，理解和熟记“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半”是解题的关键.
13．（-1，-2）
【解析】
分析：连接 CB，作 CB 的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O 的坐标即可．
详解：连接 CB，作 CB 的垂直平分线，如图所示：
在 CB 的垂直平分线上找到一点 D，
CD═DB=DA=
3 +1 = 10 ，
2
2
所以 D 是过 A，B，C 三点的圆的圆心，
即 D 的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为（﹣1，﹣2），
点睛：此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．
-3.3
14．
【解析】
分析：利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根．（也可利用对称性解答）
详解：∵二次函数 y=ax +bx+c 的顶点坐标（-1，-3.2）
2
b
b
=-1 则- =-2
a
∴-
2a
∵x x 是一元二次方程 ax +bx+c=0 的两根
2
1 2
b
∴x +x =-
1
2
a
又∵x =1.3
1
∴x +x =1.3+x =-2
1
2
2
解得 x =-3.3．
2
点睛：本题考查了抛物线与 x 轴的交点、抛物线的顶点坐标；熟悉二次函数的顶点坐标公式

与一元二次方程两根之和的关系是解决问题的关键．
15．（4，6）．
【分析】
根据位似变换的概念得到△ABC∽△A′B′C′，根据位似变换的性质解答即可．
【详解】
∵△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴AB∥A′B′，
AB
OB
1
＝ ，
∴
＝
¢ 2
OB
A B
¢
¢
∴△ABC 和△A′B′C′的相似比为 1：2，
∵点 A（2，3），
∴点 A'的坐标为（4，6），
故答案为：（4，6）．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
3
16．
7
【分析】
根据题意得知 EF AD，EH CD
，由平行线的性质得到 AEH
~
ACD，结合相似三
角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答.
【详解】
∵ EH CD ，
AEH ~ ACD，
EH CD 3
=
=
∴
，
AH AD 4
= 3a， AH = 4a
则
设 EH
∴ HG
，
，
= GF = EH = 3a
∵ EF AD ，
= FAG
∴∠ AFE ∠
，

GF
3a
3
tanÐ AFE = tanÐ FAG =
=
=
∴
.
AG 4a + 3a 7
3
故答案为：
【点睛】
7
本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求∠AFE 的正切值转化为求
∠ FAG的正切值是解题的关键.
1
2
17． -
2 4
【分析】
利用特殊角的三角形函数值直接代入计算即可.
【详解】
6tan230° - 3sin60 - cos45 sin30
3
3
2 1
- ´
= 6( )2 - 3´
3
2
2 2
1 3
= 6´ - -
3 2 4
2
1
2
= -
2 4
【点睛】
本题考查了特殊角的三角形函数值，熟记特殊角的三角形函数值是解题的关键.
18．6.
【分析】
⊿ACD
在 Rt
2
Rt⊿CBD
的长，又在 中
中，根据 60° 角的正切函数及 AD
=
，可求得
CD
根据勾股定理可求得 BD 的长，从而求得答案.
【详解】
ÐADC = 90° Ð =
60°, AD = 2
，
在 Rt ACD中，
， A
CD CD
=
DA
tan 60° =
= 3
，
∴
2
∴CD = 2 3 ，

在 Rt CBD中，ÐBDC = 90°
， BC =
2 7
，CD = 2 3 ，
( ) ( )
2
2
∴ BD = BC -CD = 2 7 - 2 3 = 4
2
2
= BD+ AD = 4+ 2 = 6
∴ AB
【点睛】
本题考查了锐角三角函数概念及勾股定理，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
3
19． ．
5
【分析】
先根据矩形的性质得 AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得 AF＝AD＝5，EF＝
DE，在 Rt△ABF 中，利用勾股定理计算出 BF＝4，则 CF＝BC﹣BF＝1，设 CE＝x，则 DE
＝EF＝3﹣x，然后在 Rt△ECF 中根据勾股定理得到 x +1 ＝（3﹣x） ，解方程得到 x 的值，
2
2
2
进一步得到 EF 的长，再根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在 Rt△ABF 中，∵BF＝
＝ 5
AB2
2
-32 ＝4，
AF
2
-
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设 CE＝x，则 DE＝EF＝3﹣x
在 Rt△ECF 中，∵CE +FC ＝EF ，
2
2
2
4
∴x +1 ＝（3﹣x） ，解得 x＝ ，
2
2
2
3
5
∴EF＝3﹣x＝ ，
3
3
＝ ．
CF
∴cos∠EFC＝
EF 5
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小
不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
20．见解析

【分析】
根据等边三角形的性质得出 AC
= B C，ÐB = ÐACB = 60°，根据旋转的性质得出
CD = CE，ÐDCE = 60°，根据 SAS 推出 BCD @ ACE，根据全等得出
ÐB = ÐEAC = 60°，根据平行线的判定定理即可证得答案.
【详解】
= B C，ÐB = ÐACB = 60°
，
等边
中，∴ AC
ABC
∵线段CD 绕点 按顺时针方向旋转60 后得到CE，
C
∴CD
= CE，ÐDCE = 60°，
∴
即
∴
ÐDCE = ÐACB，
Ð1+Ð2 = Ð2+Ð3
, ，
Ð1= Ð3，
在 BCD与 ACE中，
ì
ï
í
BC AC
=
Ð1= Ð3
CD = CE
ï
î
@ ACE
∴ BCD
(SAS)
∴
ÐB = ÐEAC = 60°，
ÐEAC = ÐACB
∴
/ /BC
∴ AE
【点睛】
本题考查了平行线的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质，利用全等三角形的证明是解
题的关键.
21．（1）5；（2） 5 ．
【分析】
（1）连接 OB，根据垂径定理求出 BE，根据勾股定理计算，得到答案；

（2）根据勾股定理求出 BC，根据垂径定理求出 BF，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
（1）连接 OB，
设⊙O 的半径为 x，则 OE＝x﹣2，
∵OA⊥BD，
1
∴BE＝ED＝ BD＝4，
2
在 Rt△OEB 中，OB ＝OE +BE ，即 x ＝（x﹣2） +4 ，
2
2
2
2
2
2
解得，x＝5，即⊙O 的半径为 5；
（2）在 Rt△CEB 中，BC＝
CE2 BE2
+
＝ 8
2
+ 42 ＝4
5
，
∵OF⊥BC，
1
5
∴BF＝ BC＝2
，
2
5
．
∴OF＝
-
＝
BF2
OB
2
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两
条弧是解题的关键．
= 7米 ;（2）8.8米.
22．（1） BC
【分析】
(1)利用30°角正弦函数易求得答案；
^ AC
(2)过点 D 作 DE
于点 ，证得⊿CDE为等腰直角三角形，在 Rt DEA中，设
E
CE = DE = x ，利用60°角的正切函数构建方程即可求得答案.
【详解】
（1）∵ÐBAC = 30°,
=14，
AC

BC BC 1
∴sin 30° =
=
=
，
AC 14 2
∴ BC
= 7，
答：看台高
的长是 7 米；
BC
^ AC
(2) 过点 D 作 DE
于点 ，如图：
E
ÐACD = 45°
Ð
= 45°
，∴ CDE ，
∵
= DE
∴CE
设CE
，
= DE = x
AE =14- x，
，则
ÐBAC = 30°,
^ AB
∠ =60°，
，∴ DAC
∵
DA
在 Rt DEA中，ÐDEA= 90°
，
DE
x
tan 60° =
=
= 3
AE 14 - x
» 8.8
解得： x
答：顶棚顶端 D 到地面的距离
的长约是 8.8 米.
AD
【点睛】
本题考查了解直角三角形应用，熟记特殊角的三角函数值及方程思想是解题的关键.
23．（1）h＝﹣5t +20t；（2）小球飞行 3s 时的高度为 15 米；（3）小球的飞行高度不能达到
2
22m．
【解析】
【分析】
（1）设 h 与 t 之间的函数关系式为 h＝at +bt（a≠ 0），然后再根据表格代入 t＝1 时，
2
h＝15；t＝2
时， ＝20 可得关于 、 的方程组，再解即可得到 、 的值，进而可得函数解
h a b a b
析式；
（2）根据函数解析式，代入 t＝3 可得 h 的值；
（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．
【详解】
解：（1）∵ ＝0 时， ＝0，
t
h

∴设 与 之间的函数关系式为 ＝ + （ ≠0），
h at2 bt a
h
t
∵ ＝1 时， ＝15； ＝2 时， ＝20，
t
h
t
h
a + b =15
4a + 2b = 20，
∴{
a = -5
解得{b = 20
，
∴ 与 之间的函数关系式为 ＝﹣5 +20 ；
h
t
h
t2
t
（2）小球飞行 3 秒时，t＝3（s），此时 h＝﹣5×3 +20×3＝15（m）．
2
答：小球飞行 3 时的高度为 15 米；
s
（3）∵h＝﹣5t +20t＝﹣5（t﹣2） +20，
2
2
∴小球飞行的最大高度为 20 ，
m
∵22＞20，
∴小球的飞行高度不能达到 22 ．
m
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点
解析式．
20
24．（1）详见解析；（2）
．
3
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE＝2∠BAF，再证明∠EBD＝∠BAF 即可解决问题；
5
5
（2）作 EH⊥BD 于 H．由 sin∠BAF＝sin∠EBD＝
，AB＝5，推出 BF＝
，推出 BE
5
，在 Rt△BEH 中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，推出 BH＝
EH DH
5
(2 5) - 2
＝2BF＝2
＝4，由
2
2
=
EH∥AB，推出
，由此即可求出 DH 解决问题；
AB DB
【详解】
（1）证明：连接 AF．

∵AB 是直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥BE，
∵AB＝AE，
∴∠BAE＝2∠BAF，
∵BD 是⊙O 的切线，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，
∴∠EBD＝∠BAF，
∴∠BAE＝2∠EBD．
（2）解：作 EH⊥BD 于 H．
∵∠BAF＝∠EBD，
5
∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝
，∵AB＝5，
5
5
∴BF＝
∴BE＝2BF＝2
在 Rt△BEH 中，EH＝BEsin ∠EBH＝2，
，
5
，
∴BH＝
(2 5) - 2
＝4，
2
2
∵EH∥AB，
EH DH
=
AB DB
∴
∴
，
2
DH
=
，
5 DH + 4
8
∴DH＝ ，
3

20
3
∴BD＝BH+HD＝
．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．
<1；③画出函数图象见解析；补全下面的表格见解析；x > 2,-2 < x <1；
25．（1）② > 2 或 x
x
x > 6,2 < x < 4, x < -2
x > 5, x < -4, -4 < x < 3
．
（2）①
；②
【分析】
（1）②由表格直接写出答案；③依次连接画出图象，由表格直接写出答案；
（2）①求出对应方程(x - 6)(x - 4)(x - 2)(x + 2) = 0的解，参考小明的方法，绘制表格，
由表格直接写出答案；②求出对应方程(x - 5)(x - 3)(x + 4)2 = 0
的解，参考小明的方法，
绘制表格，由表格直接写出答案；
【详解】
（1）②不等式(x - 2)(x -1)> 0
的解集为 > 2 或 x
<1．
x
③函数图象如图：
补全下面的表格：
x < -2
> 2
x
-
-
y
+
+
的符号

由表格可知不等式(x - 2)(x -1)(x + 2) > 0
的解集为
x
> 2,-2 < <1
．
x
（2）①画出如下表格：
4 < x < 6
x
2 < < 4
x
-
-
y
+
+
+
的符号
∴不等式(x - 6)(x - 4)(x - 2)(x + 2) > 0的解集为 > 6,2 < < 4, < -2
；
x
x
x
②画出如下表格：
x
y
-
+
+
+
的符号
不等式(x - 5)(x - 3)(x + 4)2 > 0
的解集为
x
> 5,x < -4,-4 < x < 3．
【点睛】
本题考查了函数、方程与不等式之间的关系，解决此类问题关键是仔细阅读题目理清思路，
做到数形结合．
2
26．(1) y=-x +1;(2)①(2t,-1);②0<t≤
.
2
2
【分析】
(1)利用顶点式列出函数表达式，再将另一个点的坐标代入函数表达式列出一元一次方程，
求出函数表达式.
(2)作出图象，结合图象思考.
【详解】
解：(1)∵抛物线的顶点坐标为 B(0,1)
∴设抛物线 M 的函数表达式为 y=ax +1
2
∵抛物线 M 经过点 A(-1,0)
∴a×(-1) +1=0，解得 a=-1
2
∴抛物线 M 的函数表达为 y=-x +1
2
(2) ①由题意得，点 F 为 BB 的中点
1

∵F(t,0),设 B 的坐标为(m,n)
1
m
n +1
= t
= 0
∴
,
2
2
∴m=2t，n=-1
∴B (2t,-1).
1
②由题意可知抛物线 M 的顶点 B 的坐标为(2t,-1)，二次项系数为 1，
1
1
∴抛物线 M 的函数表达式为：y=(x-2t) -1(t>0),
2
1
当抛物线 M 经过点 A(-1,0)时(如下图)：
1
∴(-1-2t) -1=0,解得 t =-1,t =0；
2
1
2
当抛物线 M 经过点 B(0,1)时(如上图)：
1
2
∴(0-2t) -1=1,解得 t=±
.
2
2
2
结合图象分析，因为t>0，所以当抛物线M 与线段AB有公共点时，t的取值范围是0<t≤
.
1
2
2
故答案为(1) y=-x +1;(2)①(2t,-1);②0<t≤
.
2
2
【点睛】
本题主要考查了利用顶点式求函数解析式，二次函数图象的特征，二次函数的旋转.
4 5
27．（1）①，证明详见解析；（2）①PB＝
；②2 3 +2．
5
【分析】
（1）①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；②△BDE 为直角三角形就可以得出

BE ＝BD +DE ，由△DAE 和△BAC 是等腰直角三角形就有 DE ＝2AD ，BC ＝2AB ，就有
2
2
2
2
2
2
2
BC ＝BD +CD ≠BD 就可以得出结论；
2
2
2
2
PB BE
AC CE
（2）分两种情形当点 E 在 AB 上时，BE＝AB﹣AE＝2．由△PEB∽△AEC，得
由此即可解决问题；当点 E 在 BA 延长线上时，BE＝6．解法类似；
，
②如图 3 中 ，以 A 为圆心 AD 为半径画圆，当 CE 在⊙A 上方与⊙A 相切时，PB 的值最大．分
别求出 PB 即可；
【详解】
（1）∵△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°，DE＝ 2 AD，
∴∠DAB＝∠EAC，且 AE＝AD，AB＝AC，
∴△AEC≌△ADB（SAS）
∴BD＝CE＝DE+CD，
∴BD＝CD+ 2 AD，
∴①正确，
∵BD⊥CE，
∴BE ＝BD +DE ，
2
2
2
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，
∴DE ＝2AD ，BC ＝2AB ，
2
2
2
2
∵BC ＝BD +CD ≠BD ，
2
2
2
2
∴2AB ＝BD +CD ≠BD ，
2
2
2
2
∴BE ≠2（AD +AB ），
2
2