北京市西城区第四中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题.docx

北京市西城区第四中学 2020-2021 学年九年级上学期 12 月月考数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（）2如果两个相似三角形的面积比是 1：4，那么它们的周长比是(A1：16 B1：6 C1：4)D1：23如图，在 ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，那 么 EF 与 CF 的比是（）A1：2B1：3C2：1D3：1= 3x ，y = -2x +14抛物线 y在同一直角坐标系内，则它们（ ）22A都关于 y 轴对称C都经过原点B开口方向相同D互相可以通过平移得到5如图，点A 的坐标为（1，3），O 为坐标原点，将OA 绕点 A 按逆时针方向旋转 90得到，则点 的坐标是（AO）OA（4，1）B（1，4）C（4，2）D（2，4）6“圆材埋壁”是我国著名的数学著作九章算术中的一个问题，“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的数学语言表达是：“如图，CD 是O 的直径，弦 ABCD，垂足为 E，CE = 1寸，AB = 1尺，求直径的长”. 依题意，CD 长为（ ） 252A寸B13 寸C25 寸D26 寸7已知抛物线 yax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：xy00123331m抛物线开口向下抛物线的对称轴为直线x1m 的值为0图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）ABCD8如图，AOB=120，OP 平分AOB，且 OP=2.若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且PMN 为等边三角形，则满足上述条件的PMN 有（ ）A1 个B2 个C3 个D3 个以上二、填空题29在 RtABC 中，C90，BC4，tanA ，则 AC_3x4x = 3y=_.10如果， 那么y11如图，现有测试距离为 5m 的一张视力表，表上一个 E 的高 AB 为 2cm，要制作测试距离为 3m 的视力表，其对应位置的 E 的高 CD 为_cmOABC = 45O,则 的半12如图，在R =_径中，弦 AC = 2 2 ，点 是圆上一点，且B 13如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O，A，B，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为_14已知二次函数 yax +bx+c（a0）的顶点坐标（1，3.2）及部分图象（如图），2由图象可知关于 x 的方程 ax +bx+c0 的两个根分别是 x 1.3 和 x _21215如图，在平面直角坐标系中，ABC 和ABC是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形，且 ，如果点 （2，3），那么点 的坐标为_OB BBAA16如图，已知点 是矩形 ABCD的对角线 AC 上的一动点，正方形的顶点EEFGH= 3, BC = 4G、H 都在边，则tanAFE =_上，若 ABAD三、解答题17计算:6tan230 - 3 60 -sincos sin45 30 .18已知:如图，在中， CD AB，垂足为 D ,若 =60, BC = 2 7，AD = 2.AABC 求 AB 的长.19如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 恰好落在D边上的点 处，求 cos 的值EFCBCF20如图，在等边中，点D 是 AB 边上一点，连接CD ，将线段CD 绕点 按CABC/ /BC.顺时针方向旋转60 后得到CE，连接.求证: AEAE21如图，AC 是O 的直径，弦 BDAO 于点 E，联结 BC，过 点 O 作 OFBC 于点 F，8， 2BDAE（1）求 的半径；O（2）求的长度OF22体育场主席台侧面如图，若顶棚顶端D 与看台底端 连线和地面垂直，测得看台A的长为14 米，BAC = 30,ACD = 45.AC (1)求看台高的长;BC(2)求顶棚顶端 D 到地面的距离的长. (取 3 =1.7 )AD23运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度 h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t 与 h 的几组对应值如下表所示t（s）000.511.52h（m）8.751518.7520（1）求 h 与 t 之间的函数关系式（不要求写 t 的取值范围）；（2）求小球飞行 3s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到 22m？请说明理由24如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，连接AC过点B 作O 的切线，交AC的延长线于点 ，在上取一点 ，使 ，连接 ，交 于点 DAD请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：BAE2EBD（2）如果 AB5，sinEBDEAE ABBEOF；5求的长BD5( )( ) ( )- x x - x . x - x 025小明利用函数与不等式的关系，对形如 x( n 为正整数)12n的不等式的解法进行了探究.(1)下面是小明的探究过程，请补充完整:- 2 0= - 2，观察函数 y x 的图象可以得到如下表格:对于不等式 xxx -+y 的符号由表格可知不等式的解集为 2 .x- 2 0x( )( )= x - 2 x -1( )( )- 2 x -1 0对于不等式，观察函数的图象可得到如下表格:yx 2xxx-+y 的符号( )( )由表格可知不等式的解集为.x- 2 x -1 0( )( )( )对于不等式,请根据已描出的点画出函数x- 2 x -1 x + 2 0( )( )( )y = x - 2 x -1 x + 2的图象;( )( )( )= x - 2 x -1 x + 2观察函数的图象,y补全下面的表格:x 2xx+-y 的符号( )( )( )由表格可知不等式的解集为.x- 2 x -1 x + 2 0( )( ) ( )小明将上述探究过程总结如下:对于解形如( 为正整数)nx- x x - x . x - x 012n，x , ，x的不等式，先将x按从大到小的顺序排列，再划分 的范围，然后通过列x12n表格的办法，可以发现表格中 y 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不 等式的解集.(2)请你参考小明的方法，解决下列问题:( )( )( )( )- 6 x - 4 x - 2 x + 2 0不等式 x的解集为.( )( )( )-5 x -3 x + 4 02不等式 x的解集为.26在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 M：yax +bx+c（a0）经过 A（1，0），且2顶点坐标为 B（0，1）（1）求抛物线 M 的函数表达式；（2）设 F（t，0 ）为 x 轴正半轴上一点，将抛物线 M 绕点 F 旋转 180得到抛物线 M 1抛物线 M 的顶点 B 的坐标为；11当抛物线 M 与线段 AB 有公共点时，结合函数的图象，求 t 的取值范围127如图，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，BACDAE90，点 为直线P，BD CE的交点（1）如图，将ADE 绕点 旋转，当 在线段上时，连接 BE，下列给出两个结论：ADCEBDCD+AD；BE 2（AD +AB ）其中正确的是，并给出证明2222（2）若 4， 2，把绕点 旋转，AAB ADADE当EAC90时，求 PB 的长；旋转过程中线段 PB 长的最大值是 28对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和C，给出如下定义：连接 PC 交C 于点 N，若点 关于点 的对称点 在 的内部，则称点 是 的外称点PNQCPC（1）当 的半径为 1 时，O在点 D（1，1），E（2，0），F（0，4）中，O 的外称点是；2 2,2 2若点 M（m，n）为O 的外称点，且线段 MO 交O 于点 G ，求 m 的取值范围；（2）直线 + 过点 （1，1），与 轴交于点 的圆心为 （ ，0），半径为yx b A x B T T t1若线段 AB 上的所有点都是T 的外称点，请直接写出 t 的取值范围 参考答案1D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义解答即可【详解】A是中心对称图形，不符合题意；B是中心对称图形，不符合题意；C是中心对称图形，不符合题意；D不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180 度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义符合题意故选 D【点睛】本题考查了中心对称图形的概念掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键2D【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可【详解】解： 两个相似三角形的面积比是 1：4，两个相似三角形的相似比是 1：2，两个相似三角形的周长比是 1：2，故选 D【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键3A【解析】【分析】根据平行四边形的性质可以证明BEFDCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案 【详解】解：由平行四边形的性质可知： ，AB CDBEFDCF，点 是 的中点，ABEBE BE 1=AB CD 2EF BE 1= ，CF CD 2故选 A【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型4A【分析】= 0从这两个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为0，故对称轴 x，对y称轴为 轴, a 的符号决定开口方向，利用抛物线的性质逐项分析得出结论【详解】b= - = 0A观察两个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴x，对称轴为2ayy轴，都关于 轴对称,该选项正确；前一个a 0，开口向上，后一个a 0，开口向下，该选项错误；B( )0，0( )，0，1，该选项错误；C前一个经过原点，后一个经过点因为二次项系数不一样，不可能通过平移得到的，该选项错误；.D故选： A【点睛】本题考查了二次函数图象的性质与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键5C【分析】根据题意画出图形即可解决问题【详解】观察图象可知 O的坐标为（4，2） 故选：C【点睛】本题考查了坐标与图形性质-旋转，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键6D【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可【详解】连接 OA设圆的半径是 x 寸，在直角OAE 中，OA=x，OE=x-1，OA =OE +AE ，222则 x =（x-1） +25，22解得：x=13则 CD=213=26故选：D【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理正确的作出辅助线是解题的关键7C【解析】【分析】 由表格中数据 x=-1 时 ，y=3，x=3 时 ，y=3，可判断抛物线的对称轴是x=1，根据函数值的变化，判断抛物线开口向上，再由抛物线的性质，逐一判断即可得答案【详解】由表格中数据可知，x=-1 时，y=3，x=3 时，y=3，x=1 时，y=-1，抛物线的开口向上，故错误；抛物线的对称轴是 x=1，故错误；根据对称性可知，抛物线的对称轴是 x=1，点(0，0)的对称点为(2，0)，即抛物线一定经过点(2，0)，所以 m=0，故正确；由以上分析可知抛物线开口向上，对称轴在 y 轴右侧，经过原点，所以图象不经过第三象限，故正确，正确的有 ，故选 C【点睛】本题考查了二次函数的性质要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y 轴的交点坐标等8D【详解】试解：如图在 OA、OB 上截取 OE=OF=OP，作MPN=60OP 平分AOB，EOP=POF=60，OP=OE=OF，OPE，OPF 是等边三角形，EP=OP，EPO=OEP=PON=MPN=60，EPM=OPN，在PEM 和PON 中， PEMPONPEPO，EPMOPNPEMPONPM=PN，MPN=60，PNM 是等边三角形，只要MPN=60，PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个故选 D96【分析】BC根据锐角三角函数定义得出 tanA，代入求出即可AC【详解】如图：2BCBC4，tanA ，3ACAC6故答案为：6【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数定义是解此题的关键，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3104【分析】根据比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积，将此性质逆运用，即可得出答案【详解】4x = 3y， x 3=，y 43故答案为： 4【点睛】此题主要考查了比例的意义和基本性质解答此题的关键是比例基本性质的逆运用111.2【分析】证明OCDOAB，然后利用相似比计算出 CD 即可【详解】解：OB=5m，OD=3m，AB=2cm，CDAB，OCDOAB，CD ODCD 3=AB OB=，即，2 5CD=1.2，即对应位置的 E 的高 CD 为 1.2cm故答案为 1.2【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质求相应线段的长122【分析】通过ABC = 45 ，可得到AOC = 90【详解】，根据半径相等结合勾股定理可求得答案.ABC = 45AOC = 90，= OC = ROA( )22+ R = 2 2 R2解得： R= 2 (负值已舍)故答案为：2 【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，理解和熟记“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解题的关键.13（-1，-2）【解析】分析：连接 CB，作 CB 的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O 的坐标即可详解：连接 CB，作 CB 的垂直平分线，如图所示：在 CB 的垂直平分线上找到一点 D，CDDB=DA=3 +1 = 10 ，22所以 D 是过 A，B，C 三点的圆的圆心，即 D 的坐标为（1，2），故答案为（1，2），点睛：此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置-3.314【解析】分析：利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根（也可利用对称性解答）详解：二次函数 y=ax +bx+c 的顶点坐标（-1，-3.2）2bb=-1 则- =-2a-2ax x 是一元二次方程 ax +bx+c=0 的两根21 2bx +x =-12a又x =1.31x +x =1.3+x =-2122解得 x =-3.32点睛：本题考查了抛物线与 x 轴的交点、抛物线的顶点坐标；熟悉二次函数的顶点坐标公式 与一元二次方程两根之和的关系是解决问题的关键15（4，6）【分析】根据位似变换的概念得到ABCABC，根据位似变换的性质解答即可【详解】ABC 和ABC是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形，ABCABC，ABAB，ABOB1 ， 2OBA BABC 和ABC的相似比为 1：2，点 A（2，3），点 A的坐标为（4，6），故答案为：（4，6）【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键3167【分析】根据题意得知 EF AD，EH CD，由平行线的性质得到 AEHACD，结合相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答.【详解】 EH CD ，AEH ACD，EH CD 3=，AH AD 4= 3a， AH = 4a则设 EH HG，= GF = EH = 3a EF AD ，= FAG AFE ， GF3a3tan AFE = tan FAG =.AG 4a + 3a 73故答案为：【点睛】7本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求AFE 的正切值转化为求 FAG的正切值是解题的关键.1217 -2 4【分析】利用特殊角的三角形函数值直接代入计算即可.【详解】6tan230 - 3sin60 - cos45 sin30332 1- = 6( )2 - 3322 21 3= 6 - -3 2 4212= -2 4【点睛】本题考查了特殊角的三角形函数值，熟记特殊角的三角形函数值是解题的关键.186.【分析】ACD在 Rt2RtCBD的长，又在 中中，根据 60 角的正切函数及 AD=，可求得CD根据勾股定理可求得 BD 的长，从而求得答案.【详解】ADC = 90 =60, AD = 2，在 Rt ACD中， ACD CD=DAtan 60 = 3，2CD = 2 3 ， 在 Rt CBD中，BDC = 90， BC =2 7，CD = 2 3 ，( ) ( )22 BD = BC -CD = 2 7 - 2 3 = 422= BD+ AD = 4+ 2 = 6 AB【点睛】本题考查了锐角三角函数概念及勾股定理，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.319 5【分析】先根据矩形的性质得 ADBC5，ABCD3，再根据折叠的性质得 AFAD5，EFDE，在 RtABF 中，利用勾股定理计算出 BF4，则 CFBCBF1，设 CEx，则 DEEF3x，然后在 RtECF 中根据勾股定理得到 x +1 （3x） ，解方程得到 x 的值，222进一步得到 EF 的长，再根据余弦函数的定义即可求解【详解】四边形 ABCD 为矩形，ADBC5，ABCD3，矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处，AFAD5，EFDE，在 RtABF 中，BF 5AB22-32 4，AF2-CFBCBF541，设 CEx，则 DEEF3x在 RtECF 中，CE +FC EF ，2224x +1 （3x） ，解得 x ，22235EF3x ，33 CFcosEFCEF 5【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质和勾股定理20见解析 【分析】根据等边三角形的性质得出 AC= B C，B = ACB = 60，根据旋转的性质得出CD = CE，DCE = 60，根据 SAS 推出 BCD ACE，根据全等得出B = EAC = 60，根据平行线的判定定理即可证得答案.【详解】= B C，B = ACB = 60，等边中， ACABC线段CD 绕点 按顺时针方向旋转60 后得到CE，CCD= CE，DCE = 60，即DCE = ACB，1+2 = 2+3, ，1= 3，在 BCD与 ACE中，BC AC=1= 3CD = CE ACE BCD(SAS)B = EAC = 60，EAC = ACB/ /BC AE【点睛】本题考查了平行线的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质，利用全等三角形的证明是解题的关键.21（1）5；（2） 5 【分析】（1）连接 OB，根据垂径定理求出 BE，根据勾股定理计算，得到答案； （2）根据勾股定理求出 BC，根据垂径定理求出 BF，根据勾股定理计算，得到答案【详解】（1）连接 OB，设O 的半径为 x，则 OEx2，OABD，1BEED BD4，2在 RtOEB 中，OB OE +BE ，即 x （x2） +4 ，222222解得，x5，即O 的半径为 5；（2）在 RtCEB 中，BCCE2 BE2+ 82+ 42 45，OFBC，15BF BC2，25OF-BF2OB2【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键= 7米 ;（2）8.8米.22（1） BC【分析】(1)利用30角正弦函数易求得答案； AC(2)过点 D 作 DE于点 ，证得CDE为等腰直角三角形，在 Rt DEA中，设ECE = DE = x ，利用60角的正切函数构建方程即可求得答案.【详解】（1）BAC = 30,=14，AC BC BC 1sin 30 =，AC 14 2 BC= 7，答：看台高的长是 7 米；BC AC(2) 过点 D 作 DE于点 ，如图：EACD = 45= 45， CDE ，= DECE设CE，= DE = xAE =14- x，则BAC = 30, AB =60， DACDA在 Rt DEA中，DEA= 90，DExtan 60 = 3AE 14 - x 8.8解得： x答：顶棚顶端 D 到地面的距离的长约是 8.8 米.AD【点睛】本题考查了解直角三角形应用，熟记特殊角的三角函数值及方程思想是解题的关键.23（1）h5t +20t；（2）小球飞行 3s 时的高度为 15 米；（3）小球的飞行高度不能达到222m【解析】【分析】（1）设 h 与 t 之间的函数关系式为 hat +bt（a 0），然后再根据表格代入 t1 时，2h15；t2时， 20 可得关于 、 的方程组，再解即可得到 、 的值，进而可得函数解h a b a b析式；（2）根据函数解析式，代入 t3 可得 h 的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案【详解】解：（1） 0 时， 0，th 设 与 之间的函数关系式为 + （ 0），h at2 bt aht 1 时， 15； 2 时， 20，ththa + b =154a + 2b = 20，a = -5解得b = 20， 与 之间的函数关系式为 5 +20 ；htht2t（2）小球飞行 3 秒时，t3（s），此时 h53 +20315（m）2答：小球飞行 3 时的高度为 15 米；s（3）h5t +20t5（t2） +20，22小球飞行的最大高度为 20 ，m2220，小球的飞行高度不能达到 22 m【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式2024（1）详见解析；（2）3【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明BAE2BAF，再证明EBDBAF 即可解决问题；55（2）作 EHBD 于 H由 sinBAFsinEBD，AB5，推出 BF，推出 BE5，在 RtBEH 中，EHBEsinEBH2，推出 BHEH DH5(2 5) - 22BF24，由22=EHAB，推出，由此即可求出 DH 解决问题；AB DB【详解】（1）证明：连接 AF AB 是直径，AFB90，AFBE，ABAE，BAE2BAF，BD 是O 的切线，ABD90，BAF+ABE90，ABF+EBD90，EBDBAF，BAE2EBD（2）解：作 EHBD 于 HBAFEBD，5sinBAFsinEBD，AB5，55BFBE2BF2在 RtBEH 中，EHBEsin EBH2，5，BH(2 5) - 24，22EHAB，EH DH=AB DB，2DH=，5 DH + 48DH ，3 203BDBH+HD【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型 2,-2 x 2 或 xxx 6,2 x 4, x 5, x -4, -4 x 0的解集为 2 或 x1x函数图象如图：补全下面的表格：x 2x-y+的符号 由表格可知不等式(x - 2)(x -1)(x + 2) 0的解集为x 2,-2 1x（2）画出如下表格：4 x 6x2 0的解集为 6,2 4, 0的解集为x 5,x -4,-4 x 3【点睛】本题考查了函数、方程与不等式之间的关系，解决此类问题关键是仔细阅读题目理清思路，做到数形结合226(1) y=-x +1;(2)(2t,-1);00),21当抛物线 M 经过点 A(-1,0)时(如下图)：1(-1-2t) -1=0,解得 t =-1,t =0；212当抛物线 M 经过点 B(0,1)时(如上图)：12(0-2t) -1=1,解得 t=.222结合图象分析，因为t0，所以当抛物线M 与线段AB有公共点时，t的取值范围是0t.122故答案为(1) y=-x +1;(2)(2t,-1);0t.22【点睛】本题主要考查了利用顶点式求函数解析式，二次函数图象的特征，二次函数的旋转.4 527（1），证明详见解析；（2）PB；2 3 +25【分析】（1）由条件证明ABDACE，就可以得到结论；BDE 为直角三角形就可以得出 BE BD +DE ，由DAE 和BAC 是等腰直角三角形就有 DE 2AD ，BC 2AB ，就有2222222BC BD +CD BD 就可以得出结论；2222PB BEAC CE（2）分两种情形当点 E 在 AB 上时，BEABAE2由PEBAEC，得由此即可解决问题；当点 E 在 BA 延长线上时，BE6解法类似；，如图 3 中 ，以 A 为圆心 AD 为半径画圆，当 CE 在A 上方与A 相切时，PB 的值最大分别求出 PB 即可；【详解】（1）ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，AEAD，ABAC，DAEBAC90，DE 2 AD，DABEAC，且 AEAD，ABAC，AECADB（SAS）BDCEDE+CD，BDCD+ 2 AD，正确，BDCE，BE BD +DE ，222BACDAE90，ABAC，ADAE，DE 2AD ，BC 2AB ，2222BC BD +CD BD ，22222AB BD +CD BD ，2222BE 2（AD +AB ），22