北师大版八下数学《图形的平移与旋转》专题专练.docx

《图形的平移与旋转》专题专练
专题一：确定图形变换后的坐标
把图形放在平面直角坐标系中，利用点的坐标，可进行图形的变换或确定图
形的位置与形状，解答这类问题，是数与形结合的体现，有利于提高综合运用知
识的能力．现以坐标系中的平移与旋转的图形变换为例加以说明．
例 1 如图 1，在△AOB 中，AO＝AB．在直角坐标系中，点 A 的坐标是（2，
2），点 O 的坐标是（0，0），将△AOB 平移得到△A′O′B′，使得点 A′在 y 轴上，
点 O′、B′在 x 轴上．则点 B′的坐标是
．
析解：因为△AOB 是等腰三角形，容易得到 B 点坐标为（4，0），将△AOB
平移得到△A′O′B′，使得点 A′在 y 轴上，是将图形向左平移 2 个单位长度．根据
平移特点，平移后对应线段相等，因此点 B 也向左平移 2 个单位长度，所以点 B′
的坐标为（2，0）．
例 2 已知平面直角坐标系上的三个点 O（0，0），A（-1，1），B（-1，0），
将△ABO 绕点 O 按顺时针方向旋转 135°，则点 A，B 的对应点坐标为 A1
（
，
），B （
，
）．
1
析解：建立如图 2 所示的直角坐标系，则 OA＝ 2 ，所以 OA ＝OA＝ 2 ，
1
所以点 A 的坐标是（ 2 ，0）．因为∠AOB＝45°，所以△AOB 是等腰直角三角
1
2
æ
ö
2 2
，
2 2
形，所以△A OB 是等腰直角三角形，且 OA 边上的高为
，所以 B
．
ç
÷
1
1
1
2
1 ç
÷
è
ø
练习一：1．如图 3，若将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°后得到△A′B′C′，则
A 点的对应点 A′的坐标是（
（A）（-3，-2）
）．
（B）（2，2）
（C）（3，0）
（D）（2，1）
1

2．如图 4，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得
到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（－4，2）、（－2，2），右图案中左眼的
坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是
．
3．在平面直角坐标系中，已知点P0 的坐标为（1，0），将点 P 绕着原点 O
0
按逆时针方向旋转 60°得点 P ，延长 OP 到点 P ，使 OP ＝2OP ，再将点 P 绕
1
1
2
2
1
2
着原点 O 按逆时针方向旋转 60°得点 P ，则点 P 的坐标是
．
3
3
4．如图 5，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点
间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC 就是格点三角形．在建立
平面直角坐标系后，点 B 的坐标为（－1，－1）．
（1）把△ABC 向左平移 8 格后得到△A B C ，画出△A B C 的图形，并写
1 1 1
1 1 1
出点 B 的坐标；
1
（2）把△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°后得到△A B C，画出△A B C
2 2
2 2
的图形，并写出点 B 的坐标．
2
专题二：图形的变换分析
分析图形的变换一般选择合适的“基本图形”，然后由平移、旋转的定义考查
这一基本图形变换到另一个基本图形的运动方式是平移还是旋转，以及运动的距
离或角度是多少，并由性质进行检验判断的正确性．
2

例 1 将图 1 方格纸中的图形绕 O 点顺时针旋转 90°得到的图形是（
）．
析解：注意图案中的每一个直角三角形顺时针旋转 90°后相对应的直角边是
否垂直即可判断哪个正确，故选择（B）．
例 2 将如图 2 中的正方形图案绕中心 O 旋转 180°后，得到的图案是（
）．
析解：注意观察图 2 中两个等腰直角三角形相应的直角边在同一条直线上
（或观察斜边间关系），显然选项（B），（D）是错误的；又因为图2 中的两个等
腰直角三角形成中心对称图形，则旋转后能互相重合，则选项（A）是错误的，
故选择（C）．
练习二：1．将如图 3 的叶片图案旋转 180°后，得到的图形是（
）．
图 3
2．如图 4，8×8 方格纸上的两条对称轴 EF、MN 相交于中心点
O，对△ABC 分别作下列变换：①先以点 A 为中心顺时针方向旋转
90°，再向右平移 4 格、向上平移 4 格；②先以点 O 为中心作中心
对称图形，再以点 A 的对应点为中心逆时针方向旋转 90°；③先以
直线 MN 为轴作轴对称图形，再向上平移 4 格，再以点 A 的对应点
为中心顺时针方向旋转 90°．其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是
（
）．
（A）①②
（B）①③
（C）②③
（D）①②③
专题三：平移与旋转变换作图
3

平移与旋转的作图要抓住两个关键点：（1）平移（旋转）的方向；（2）平移
（旋转）的数量（指距离、角度）．基本方法是选取图形中的关键点作出它们的
对应点，利用“局部带整体”得到变换后的图形．
典例：如图 1，在网格中有一个四边形图案．
（1）请你画出此图案绕点 O 顺时针方向旋转
90°，180°，270°的图案，你会得到一个美
丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；
（2）若网格中每个小正方形的边长为 1，旋转
后点 A 的对应点依次为 A 、A 、A ，求四边形
1
2
3
AA A A 的面积；
1 2 3
（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
析解：只要同学们动手画图，即可得到答案．
（1）正确画出图案，如图 2；
1
（2）如图 2，S
=
- 4S
= (3+5) - 4´ ´3´5 = 34 ，故
S
2
2
四边形AA A A
四边形BB B B
△BAA
1
2
3
1
2
3
3
四边形 AA A A 的面积为 34；
1 2 3
（3）结论：AB +BC ＝AC （或勾股定理：在直角三角
2
2
2
形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）．
1
2
由（2）中的面积计算公式，可知（AB+BC） =4×
2
×AB×BC+AC ．整理后，可得到上面的结论．
2
练习三：1．如图 3 所示，画出三角形 ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°后的图形
是（画在图上）．
2．观察如图 4 网格中的图形，解答下列问题：
4

（1）将网格中图沿水平方向向右平移，使点 A 移至点 A′处，作出平移后的
图形；
（2）在（1）中移动后的图形上再增加适当的线，组成一个新的图形，使这
个新图形是中心对称图形，或是轴对称图形．
专题四：聚焦旋转中的角度问题
旋转总是某一个图形绕着一个固定点按圆形或弧形轨道运动．旋转变换位置
发生变化，形状、大小不发生变化．旋转前后对应线段、对应角分别相等；旋转
过程中，每一个点都绕旋转中心沿相同的方向旋转相同的角度，任意一对对应点
与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
例 1 绕一定点旋转 180°后能与原来的图形重合的图形是中心对称图形，正
六边形就是这样的图形，小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于 180°
的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度
数：
．
析解：正六边形是中心对称图形，若把正六边形的各顶点与对称中心连接起
来，易看出正六边形是由一个正三角形连续旋转 5 次，其旋转角度为 60°而得到
的或是相邻两个等边三角形连续旋转 2 次，其旋转角为 120°而得到的．故小明
发现的一个旋转角的度数为 60°或 120°．
例 2 如图 1 所示，把一个直角三角尺 ACB 绕着 30°角的顶点 B 顺时针旋转，
使得点 A 与 CB 的延长线上的点 E 重合．
（1）三角尺旋转了多少度？（2）连接 CD，试判断△CBD 的形状；（3）求
∠BDC 的度数．
5

析解：（1）因为旋转后点 A 与 CB 的延长线上的点 E 重合，∠ABC＝30°，
所以根据旋转的意义知，∠ABE＝180°-30°＝150°，即旋转了 150°；（2）由旋转
的性质知 BC＝BD，故△CBD 为等腰三角形；（3）因为 BD＝BC，所以∠BCD
＝∠BDC．
1
又∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DBE＝∠BCD＋∠BDC，故∠BDC＝ ∠DBE
2
＝15°．
例 3 如图 2，△ABE 和△ACD 都是等边三角形，△EAC
旋转后能与△ABD 重合，EC 与 BD 相交于点 F．则∠DFC 的
度数为．
析解：由旋转图形的对应角相等，得∠ADB＝∠ACE，根据
对顶角相等，得∠AMD＝∠FMC．借助三角形内角关系，得
∠DFC=∠DAC．再把已知条件中的等边三角形转化为角度关系，
容易得到∠DFC＝∠DAC＝60°．
练习四：1．如图 3，△ABC，△ACD，△ADE 是三个全等的正三角形，那
么△ABC 绕着顶点 A 沿逆时针方向至少旋转，才能与△ADE 完全重合．
2．如图 4，在等腰直角三角形 ABC 中，∠B＝90°，将△ABC 绕顶点 A 逆时
针方向旋转 60°后得到△AB′C′则∠BAC′等于（
（A）60° （B）105° （C）120°
）．
（D）135°
专题五：图形变换中的线段问题
通过各种图形的平移和旋转可知图形平移的主要因素是移动的方向和移动
的距离；旋转中对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的
角相等，从而寻找图形变换过程中的一些隐含关系．
例1 如图 1，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，
将△ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
6

如果 AP＝3，那么 PP′的长等于
．
析解：由旋转的性质及题意可知，AP＝AP′，
∠PAP′=90°，所以△APP′是等腰直角三角形．
由勾股定理可知： PP¢ = AP + AP¢ = 3 +3 = 18 = 3 2 ．
2
2
2
2
例 2 如图 2，桌面上直线 l 上摆放着两块大小相同
的直角三角板，它们中较小直角边的长为 6cm，较小锐
角的度数为 30°．
（1）将△ECD 沿直线 l 向左平移到图 3（1）的位置，
使 E 点落在 AB 上，你能求出平移的距离吗？试试看．
（2）将△ECD 绕点 C 逆时针方向旋转到图 3（2）的位置，使 E 点落在 AB
上，请求出旋转角的度数．
析解：（1）根据平移的性质可知 CC′的长为平移的距离．
在 Rt△E′BC′中，因为∠BE′C′＝30°，设 BC′＝x，由 30°角所对的直角边等于
斜边的一半，可知 BE′＝2x，由勾股定理可求 x＝BC′= 2 3 ，所以 CC′=（6 - 2 3 ）
cm．即平移的距离为（6 - 2 3 ）cm．
（2）根据旋转的性质可知，BC＝CE′，而∠ABC＝60°，所以△BCE′为等边
三角形，而∠ECE′为旋转角，所以旋转角∠ECE′为 30°．
练习五：1．如图 4，在等腰直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，BC＝2cm，如
果以 AC 的中点 O 为旋转中心，将这个三角形旋转 180°，点 B 落在 B′处，则 BB′
的长度为
．
7

2．如图 5，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA＝6，PB＝8，PC＝10．若
将△PAC 绕点 A 逆时针旋转后，得到△P′AB，则点 P 与点 P′之间的距离为，∠
APB＝
．
3．如图 6，P 是正方形 ABCD 内一点，将△ABP 绕点 B 顺时针方向旋转与
△CBP′重合，若 PB=3，则 PP′的长为
．
专题六：利用图形变换求面积
利用图形变换的特征（即平移、旋转前后图形的的形状、大小都不发生变化）
求解有关面积问题，可以收到事半功倍之效，现举例如下．
例 1 如图 1，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为 9 和 4，那么图中
阴影部分的面积为
．
析解：将图 1 中两阴影部分平移到一起，如图 2，得长方形 ABCD，易知该
长方形的长 AD 为小正方形边长，宽 CD 为两个正方形边长之差．
因此，只需求出两个正方形边长，则阴影部分面积就不难求出了．
因为大正方形的面积为 9，小正方形的面积为 4，所以，大正方形的边长为
3，小正方形的边长为 2，所以图中阴影部分的面积为 2×（3－2）＝2．
例 2 如图 3，矩形 ABCD 中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行
四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（
）．
（A） - + +
bc ab ac c
（B） - - +
ab bc ac c2
2
2
（C） + - +
bc ab ac c
（D） - + -
b bc a ab
2
2
析解：让我们先看这样一个事实：图 4 中阴影部分的平行四边形和长方形的
8

宽都是 c，大长方形的宽是 b，依据平行四边形、长方形的面积公式，显然阴影
部分的平行四边形和长方形的面积都是 bc．这样可以发现，只要把图 3 中两个
阴影部分平移成图 5 所示的图形，则空白部分面积就可求出来．这样图 3 中四块
空白图形可组成长为（ a-c），宽为（ b-c）的矩形．因此，空白部分的面积为
(a - c)(b- c) = ab - bc- ac+ c，故选（B）．
2
例2 如图 6，三个圆是同心圆（圆心相同） ，则图中阴影部分的面积
为
．
析解：将最里面的阴影部分按顺时针旋转 180°，再把第二层的阴影部分按
顺时针旋转 90°后，与最外层的阴影部分组成了一个四分之一的圆的面积，即如
1
1
图 7，所以图中阴影部分的面积为： π 2 = π ．
r
4
4
练习六：如图 8，长方形 ABCD 中表示一块草坪，点 E、F 分别在边 AB、
CD 上，BF∥DE，四边形 EBFD 是一条水泥小路，若 AD＝12 米，AB＝7 米，且
BE＝2 米，则草坪的面积为
．
参考答案：
练习一：1．Ｃ
2．（5，4）
3．( 1，3)
-
4．作图略．（1） B 的坐标(-9，-1) ；（2） B 的坐标（5，5）
1
2
练习二：1．D
2．D
练习三：1．作图略．
2．（1）如下图所示：
9

（2）新图形是轴对称图形．答案不惟一．
练习四：1．120 2．B
练习五：1． 2 5 （提示：OB = 2 +1 = 5 ，所以 BB¢ = 2OB = 2 5 ）
2
2
2．6，150（提示：连接 ¢ ，可说明△
PP
APP¢ 为等边三角形，所以 AP = PP¢ = 6，
又 利 用 勾 股 定 理 可 得 △BPP
¢
为 直 角 三 角 形 ， 且 ∠BPP¢ = 90 ， 可 求
∠APB = 9 0 + 6 0= 1 5）0
3．3 2
练习六：60 平方米．
10

宽都是 c，大长方形的宽是 b，依据平行四边形、长方形的面积公式，显然阴影
部分的平行四边形和长方形的面积都是 bc．这样可以发现，只要把图 3 中两个
阴影部分平移成图 5 所示的图形，则空白部分面积就可求出来．这样图 3 中四块
空白图形可组成长为（ a-c），宽为（ b-c）的矩形．因此，空白部分的面积为
(a - c)(b- c) = ab - bc- ac+ c，故选（B）．
2
例2 如图 6，三个圆是同心圆（圆心相同） ，则图中阴影部分的面积
为
．
析解：将最里面的阴影部分按顺时针旋转 180°，再把第二层的阴影部分按
顺时针旋转 90°后，与最外层的阴影部分组成了一个四分之一的圆的面积，即如
1
1
图 7，所以图中阴影部分的面积为： π 2 = π ．
r
4
4
练习六：如图 8，长方形 ABCD 中表示一块草坪，点 E、F 分别在边 AB、
CD 上，BF∥DE，四边形 EBFD 是一条水泥小路，若 AD＝12 米，AB＝7 米，且
BE＝2 米，则草坪的面积为
．
参考答案：
练习一：1．Ｃ
2．（5，4）
3．( 1，3)
-
4．作图略．（1） B 的坐标(-9，-1) ；（2） B 的坐标（5，5）
1
2
练习二：1．D
2．D
练习三：1．作图略．
2．（1）如下图所示：
9

（2）新图形是轴对称图形．答案不惟一．
练习四：1．120 2．B
练习五：1． 2 5 （提示：OB = 2 +1 = 5 ，所以 BB¢ = 2OB = 2 5 ）
2
2
2．6，150（提示：连接 ¢ ，可说明△
PP
APP¢ 为等边三角形，所以 AP = PP¢ = 6，
又 利 用 勾 股 定 理 可 得 △BPP
¢
为 直 角 三 角 形 ， 且 ∠BPP¢ = 90 ， 可 求
∠APB = 9 0 + 6 0= 1 5）0
3．3 2
练习六：60 平方米．
10

宽都是 c，大长方形的宽是 b，依据平行四边形、长方形的面积公式，显然阴影
部分的平行四边形和长方形的面积都是 bc．这样可以发现，只要把图 3 中两个
阴影部分平移成图 5 所示的图形，则空白部分面积就可求出来．这样图 3 中四块
空白图形可组成长为（ a-c），宽为（ b-c）的矩形．因此，空白部分的面积为
(a - c)(b- c) = ab - bc- ac+ c，故选（B）．
2
例2 如图 6，三个圆是同心圆（圆心相同） ，则图中阴影部分的面积
为
．
析解：将最里面的阴影部分按顺时针旋转 180°，再把第二层的阴影部分按
顺时针旋转 90°后，与最外层的阴影部分组成了一个四分之一的圆的面积，即如
1
1
图 7，所以图中阴影部分的面积为： π 2 = π ．
r
4
4
练习六：如图 8，长方形 ABCD 中表示一块草坪，点 E、F 分别在边 AB、
CD 上，BF∥DE，四边形 EBFD 是一条水泥小路，若 AD＝12 米，AB＝7 米，且
BE＝2 米，则草坪的面积为
．
参考答案：
练习一：1．Ｃ
2．（5，4）
3．( 1，3)
-
4．作图略．（1） B 的坐标(-9，-1) ；（2） B 的坐标（5，5）
1
2
练习二：1．D
2．D
练习三：1．作图略．
2．（1）如下图所示：
9

（2）新图形是轴对称图形．答案不惟一．
练习四：1．120 2．B
练习五：1． 2 5 （提示：OB = 2 +1 = 5 ，所以 BB¢ = 2OB = 2 5 ）
2
2
2．6，150（提示：连接 ¢ ，可说明△
PP
APP¢ 为等边三角形，所以 AP = PP¢ = 6，
又 利 用 勾 股 定 理 可 得 △BPP
¢
为 直 角 三 角 形 ， 且 ∠BPP¢ = 90 ， 可 求
∠APB = 9 0 + 6 0= 1 5）0
3．3 2
练习六：60 平方米．
10