《方程的根与函数的零点》的教学设计.doc

《方程的根与函数的零点》的教学设计
湖北省黄冈市团风中学 胡建平
教材分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》的第三章3.1.1方程的根与函数的的零点。
函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是出等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活实践中，函数与方程都有着十分的应用，在注重理论与实践相结合的今天，有着无可替代的作用，在加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一。因此函数与方程在高一乃止整个高中数学教学中，占有非常重要的地位。
本节要求学生通过对二次函数的图象的研究，去判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，近而了解函数的零点与一元二次方程根的联系。它既揭示了初中两大知识方程与函数的内在联系，也是对本章函数知识的加深与总结。也是对函数知识的总深拓展，把函数在解方程中加以应用，从而还可以渗透中学的重要数学思想：方程与函数的思想，数形结合的思想。为学好中学数学打下一个良好基础。因此教好本节是至关重要的。
学生分析
程度差异性：中等程度的学生占大多数，程度教高的学生与程度差的学生占少数。
知识、心理、能力储备：学生在次之前已经学习了函数的图象和性质，特别对二次函数有较深的认识，基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表数抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系。并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。教学中还应创设问题情景，激发学生探究兴趣，并引导学生观察、计算、思考从而达到教学目标。
教学目标
知识和技能目标：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。
过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。
情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，在数学教学中培养学生的辨证思维的思想，以及分析问题解决问题的能力。
重点难点
重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
教学程序与环节设计：
创设情境
组织探究
尝试练习
探索研究
作业回馈
课外活动
结合实际问题诱发兴趣，结合二次函数引入课题．
二次函数的零点及零点存在性的．
零点存在性为练习重点。
进一步探索函数零点存在性的判定。
重点放在零点的存在性判断及零点的确定上。

研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结。

教学建议
分析教材设计意图，探讨教学规律；
探索合理教学思想，提出教学建议。

设计流程
一、 创设情景、引出问题
问题1：我国自行研制的某种弹道导弹以每小时5000米/每秒的速度发射，那么它几秒后可以击中地面目标。（不记空气阻力，重力加速度g=10 ）
让学生各自独立思考，并请两名不同解法的同学陈述自己的解法。不出意外应该有两种思路：思路一 先列出方程，由方程的解得到。
思路二 写出函数式，再令得到。
[师生互动]
师：思路一用一元二次方程的知识得到结果，而思路二用二次函数的知识得到了相同的结果，那么二者有没有关系？如果有，那又是什么关系？
生：一元二次方程的根等于对应二次函数图象与轴的焦点的横坐标。
师：再看下面的题目，从图象的角度直观的体验上述结论。
问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：
方程与函数
方程与函数
方程与函数

[师生互动]
师：引导学生画图、观察图象与x轴交点的个数与方程的根的个数的关系；观察图象与x轴交点的横坐标与方程根的大小关系。并引出函数零点概念。
生：画图、思考、并归纳出结论：函数图象与x轴交点的个数等于对应方程根的个数；函数图象与轴的焦点的横坐标的大小与对应方程的根的大小相等。
设计意图-------
问题1以实际应用问题引入，以学生熟悉的感兴趣背景入题，不仅能激发学生的兴趣，又能激活学生的已学知识，为下一步的深入研究做好铺垫。问题2是几种不同的函数与方程，它既是几个特殊的函数与方程又具有很强的概括性，包括方程有两不相等的根、两相等的根、无根的情况，研究它们有利于培养学生思维的完整性，也为学生归纳方程与函
数的关系铺好了台阶。
二、 层层推进，组织探究
老师给出函数零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．
问题3：思考函数零点的概念，写出问题2中三个函数的零点？并填下表
函数

函数的零点

方程的根

设计意图-------
此问的设置一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变变得更自然、更易懂。通过对比教学揭示知识点之间的密切关系。
师生共同观察、分析得出对函数零点的几点认识：
（1） 函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现。例如函数的零点为x=-1,3
（2） 函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数
的图象与轴交点的横坐标．
(3) 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
(4) 函数零点的求法：可以解方程而得到（代数法）；可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（几何法）
补充练习：求函数的零点（建议学生用两种方法做）
设计意图------
巩固函数零点的求法，渗透二次以外的函数的零点情况。总结讨论二次函数的零点的存在情况
问题4：是不是所有的二次函数都有零点？
[师生互动]
师：仅提出问题，不须做任何提示。
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
二次函数的零点：
二次函数 ．
１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
设计意图------
本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路。进而培养学生总结归纳能力。
零点存在性的探索：
问题5：（Ⅰ）观察二次函数的图象：
在区间上有零点吗？______；
_______，_______,
_____0（＜或＞）．
思考：若<0，那么函数在上一定有零点吗?
在区间上有零点______；
____0（＜或＞）．
思考：若，那么函数在[]上一定有零点吗?
（Ⅱ）观察下面函数的图象

在区间上______(有/无)零点；_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点；_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点；_____0（＜或＞）．
_____0（＜或＞）．在区间上______(有/无)零点？
0（＜或＞）。区间
思考：若函数满足，在区间上一定有零点吗？
若函数满足，在区间上一定有零点吗？
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？
<师生共同总结>如果在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根。
理解：此性质成立的前提是图象是连续不断的一条曲线。
零点并不一定是唯一的，但一定存在。
是函数在区间内有零点的充分条件。但是若函数是一次、二次时，则是函数在区间内有零点的充要条件。
[师生互动]
师：怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．
生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．
师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．
生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．
师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．
设计意图------
如何由函数零点的概念过度到函数零点的判定方法是本节课的难点，用数形结合的方法是最直观的，学生也是最易接受的。问题5的问题设计层层递进、层层加深。有助于学生理解概念，自己总结出函数零点的判定方法。这样设计不仅符合学生的认知特点，也无形中给学生灌输概念发生的从特殊到一般过程。
三、 例范研究
例1．求函数的零点个数．问题：
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
例2．求函数，并画出它的大致图象．
[师生互动]
师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．
四、练习尝试
1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）；
（3）
（4）
2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
[师生互动]
师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．
生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解做准备。
五、 探索研究
1．已知，请探究方程的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．
2．设函数．
（1）利用计算机探求和时函数的零点个数；
（2）当时，函数的零点是怎样分布的？
3．讨论：请大家给方程的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？
[师生互动]
师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性。也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学习潜能和热情。老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况。
生：分组讨论，各抒己见。在探究学习中得到数学能力的提高，从小科学研究的素养。现代设计意图------
数学教学的新理念，就是想法设法在教学中培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的。
六、 作业回馈
1． 教材P108习题3．1（A组）第1、2题；
2． 求下列函数的零点：
（1）；
（2）．
3．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：
（1）；
（2）．
七、 课外活动
课后讨论并总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗？
八、 教学建议
注意函数与实际问题的联系，体现数学建模的思想：我们生活在一个充满变化的多彩世界，其中存在大量问题可以通过体现变量关系的函数、方程模型得到解决，这就为函数的应
用的教学提供了大量的实际背景。教学内容围绕实际问题的讨论而展开，有利于揭示函数与方程之间的关系，能提高学生对函数与方程关系的认识与理解．
注意由浅入深、循序渐进地建立函数与方程的关系：对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．分三步来展开这部分的内容．第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系．第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系．本节只是函数与方程的关系建立的第一步，教学中切忌面面具到，延展太深。
恰当使用信息技术：本节的教学中应当充分使用信息技术。实际上，一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的。因此，教学中应当加强信息技术的使用力度。合理使用多媒体和计算器。
参考资料：
1、函数与方程思想在数学解题中的应用 袁桂珍 广西教育 2004、3.
2、函数与方程思想的应用 胡榴宝 中学数学教学 2003、3.

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