深圳市南山区2017届九年级上期末考试数学试题含答案解析.doc

2016-2017学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上．）
1．若2a=3b，则a：b等于（　　）
A．3：2 B．2：3 C．﹣2：3 D．﹣3：2
2．与如图中的三视图相对应的几何体是（　　）

A． B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
4．下列命题中，真命题是（　　）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　）
A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm
6．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=4：9，则AE：EC为（　　）

A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．5：4
8．函数（k≠0）的图象如图所示，那么函数y=kx﹣k的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
9．若菱形的周长为52cm，面积为120cm2，则它的对角线之和为（　　）
A．14cm B．17cm C．28cm D．34cm
10．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
11．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（　　）

A． B． C． D．
12．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）

A．2 B．2 C．3 D．

二、填空题：（本题有4小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡上）．
13．方程x2=2x的解为　　．
14．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中2只有标志．从而估计该地区有黄羊　　只．
15．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，则线段BF长为　　cm．

16．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是　　（把你认为正确结论的序号都填上，答案格式：“①②③④”）．

三、解答题（本大题有7题，其中17题6分，18题6分，19题7分，20题7分，21题8分，22题8分，23题10分，共52分）
17．（6分）解方程
（1）x2﹣4x﹣5=0
（2）5x2+2x﹣1=0．
18．（6分）在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
19．（7分）阳光下，小亮测量“望月阁”的高AB．（如图），由于观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此他首先在直线BM上点C处固定平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米．然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．

20．（7分）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天所获利润能否达到22500元，如果能应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由．

21．（8分） 已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）点M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

22．（8分）已知矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌DCM；
（2）判断四边形MENF是　　（只写结论，不需证明）；
（3）在（1）（2）的前提下，当等于多少时，四边形MENF是正方形，并给予证明．

23．（10分）如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

2016-2017学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上．）
1．若2a=3b，则a：b等于（　　）
A．3：2 B．2：3 C．﹣2：3 D．﹣3：2
【考点】比例的性质．
【分析】依据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，分别对各选项计算，只有A选项符合题意．
【解答】解：∵2a=3b，
∴a：b=3：2．
故选A．
【点评】比例的变化可以依据比例的基本性质，等比性质与合比性质．

2．与如图中的三视图相对应的几何体是（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据三视图判断长方体上面放着小正方体，确定具体位置后即可得到答案．
【解答】解：由主视图和左视图可以得到该几何体是一个正方体和一个长方体的复合体，
由俯视图可以得到小正方体位于大长方体的右侧靠里的角上．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，解题时不仅要有一定的数学知识，而且还应有一定的生活经验．

3．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．

4．下列命题中，真命题是（　　）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
【考点】命题与定理．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A．两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；
B．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
C．两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；
D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
故选：D．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

5．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　）
A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm
【考点】黄金分割．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20=20：x，解得x=12.36cm．
方法2：书的宽为20×0.618=12.36cm．
故选A．
【点评】理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．

6．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，
解得k＞1．
故选D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而增大．

7．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=4：9，则AE：EC为（　　）

A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．5：4
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由DE∥BC，得到△DOE∽△COB，根据相似三角形的性质得到S△DOE：S△COB=（）2=4：9，求得=，通过△ADE∽△ABC，得到=，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOE：S△COB=（）2=4：9，
∴=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴AE：EC=2：1，
故选A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证得=是解题的关键．

8．函数（k≠0）的图象如图所示，那么函数y=kx﹣k的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象．
【分析】首先由反比例函数y=的图象位于第二、四象限，得出k＜0，则﹣k＞0，所以一次函数图象经过第二四象限且与y轴正半轴相交．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限，
∴k＜0，﹣k＞0．
∵k＜0，∴函数y=kx﹣k的图象过二、四象限．
又∵﹣k＞0，
∴函数y=kx﹣k的图象与y轴相交于正半轴，
∴一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限．
故选C．
【点评】本题考查的知识点：
（1）反比例函数y=的图象是双曲线，当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
（2）一次函数y=kx+b的图象当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限．

9．若菱形的周长为52cm，面积为120cm2，则它的对角线之和为（　　）
A．14cm B．17cm C．28cm D．34cm
【考点】菱形的性质．
【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式整理可得AO•BO=60，根据菱形的周长求出AB=13，再利用勾股定理可得AO2+BO2=169，然后利用完全平方公式整理并求出AO+BO，再求解即可．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD，
∵菱形的面积为120cm2，
∴AC•BD=120，
即×2AO•2BO=120，
所以，AO•BO=60，
∵菱形的周长为52cm，
∴AB=13cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，AO2+BO2=AB2=132=169，
所以，（AO+BO）2=AO2+2AO•BO+BO2=169+60×2=289，
所以，AO+BO=17，
所以，AC+BD=2（AO+BO）=2×17=34cm．
故选D．

【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

10．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
【考点】根与系数的关系．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2016=0，即a2=﹣a+2016，则a2+2a+b可化简为a+b+2016，再根据根与系数的关系得a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2016=0的实数根，
∴a2+a﹣2016=0，
∴a2=﹣a+2016，
∴a2+2a+b=﹣a+2016+2a+b=a+b+2016，
∵a、b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=﹣1+2016=2015．
故选B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．

11．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（　　）

A． B． C． D．
【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质．
【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系．
【解答】解：∵四边形MBND是菱形，
∴MD=MB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
设AB=x，AM=y，则MB=2x﹣y，（x、y均为正数）．
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x﹣y）2，
解得x=y，
∴MD=MB=2x﹣y=y，
∴==．
故选：C．
【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理．解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．

12．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）

A．2 B．2 C．3 D．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴P′D=P′B，
∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值为2．
故选：A．

【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．

二、填空题：（本题有4小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡上）．
13．方程x2=2x的解为　x1=0，x2=2　．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】首先移项，再提取公因式，即可将一元二次方程因式分解，即可得出方程的解．
【解答】解：∵x2=2x
∴x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
解得：x1=0，x2=2，
故答案为：x1=0，x2=2．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，根据题意正确的因式分解方程是解决问题的关键．

14．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中2只有标志．从而估计该地区有黄羊　600　只．
【考点】用样本估计总体．
【分析】捕捉60只黄羊，发现其中2只有标志．说明有标记的占到，而有标记的共有20只，根据所占比例解得．
【解答】解：20 =600（只）．
故答案为600．
【点评】本题考查了用样本估计总体的思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体．

15．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，则线段BF长为　10　cm．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由题意推知四边形DFCE是平行四边形，则DE=FC，DE∥FC，易推知△ADE∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例推知BC的长度，则BF=BC﹣DE．
【解答】解：如图，∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC，DE∥FC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=．
又AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，
∴=，
故BC=15，
则BF=BC﹣DE=10cm．
故答案是：10．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据题意推知四边形DFCE是平行四边形是解题的关键．

16．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是　①②④　（把你认为正确结论的序号都填上，答案格式：“①②③④”）．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】本题考查的是反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是个恒等值即易解题．
【解答】解：①△ODB与△OCA的面积相等都为；
②四边形PAOB的面积不会发生变化为k﹣1；
③不能确定PA与PB是否始终相等；
④由于反比例函数是轴对称图形，当A为PC的中点时，B为PD的中点，故本选项正确．
故其中一定正确的结论有①、②、④．
故答案为：①、②、④．
【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

三、解答题（本大题有7题，其中17题6分，18题6分，19题7分，20题7分，21题8分，22题8分，23题10分，共52分）
17．解方程
（1）x2﹣4x﹣5=0
（2）5x2+2x﹣1=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）因式分解法求解可得；
（2）公式法求解可得．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣5=0，
∴（x+1）（x﹣5）=0，
∴x1=﹣1或x2=5．

（2）∵a=5，b=2，c=﹣1，
∴△=b2﹣4ac=4+4×5×1=24＞0，
∴x==．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

18．在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【解答】解：此游戏不公平．
理由如下：列树状图如下，

列表如下，

由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种．
P（小明赢）=，P（小亮赢）=．
∴此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．
（说明：答题时只需用树状图或列表法进行分析即可）
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19．阳光下，小亮测量“望月阁”的高AB．（如图），由于观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此他首先在直线BM上点C处固定平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米．然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．

【考点】相似三角形的应用；平行投影．
【分析】由物理知识：入射角等于反射角得∠ACB=∠ECD，由光线平行得：AF∥GH，则∠AFB=∠GHF，再证明△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，列比例式可得AB的长．
【解答】解：∵AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，
∴∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，
由题意得：AF∥GH，∠ACB=∠ECD，
∴∠AFB=∠GHF，
故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，
则=， =，
即=， =，
解得：AB=99，
答：“望月阁”的高AB的长度为99 m．

【点评】本题是相似三角形的应用，考查了平行投影和相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定是关键，并熟悉生活中的常识．

20．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天所获利润能否达到22500元，如果能应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由．

【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；
（2）先根据题意设每件工艺品降价为x元出售，获利y元，则降价x元后可卖出的总件数为（200+20x），每件获得的利润为（100﹣x﹣40），此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润，列出二次方程，求解即可．
【解答】解：（1）设花边的宽度为xcm，根据题意得：
（60﹣2x）（40﹣x）=60×40﹣650，或60x+80x﹣2x2=650
解得：x=5或x=65（舍去）．
答：丝绸花边的宽度为5cm；

（2）设每件工艺品降价x元出售，则根据题意可得：
（100﹣x﹣40）（200+20x）﹣2000=22500，
整理得：x2﹣50x+625=0
解这个方程得：x=25
答：当售价100﹣25=75元时能达到利润22500元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出一元二次方程模型，难度不大．

21． 已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）点M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将A坐标分别代入正比例与反比例函数解析式中求出a与k的值，即可确定出两函数解析式；
（2）在图象上找出反比例在正比例上方时x的范围即可；
（3）BM=DM，理由为：由反比例函数k的几何意义得到三角形OBM与三角形OAC面积为k的绝对值的一半，求出面积，矩形OBDC的面积=三角形OBM面积+四边形OADM面积+三角形OAC面积，求出矩形OBDC的面积，即为OB与OC的积，由OC的长求出OB的长，即为n的值，将n的值代入反比例解析式中求出m的值，即为BM的长，由BD﹣BM求出MD的长，即可作出判断．
【解答】解：（1）将A（3，2）分别代入y=，y=ax得：k=6，a=，
则反比例函数解析式为y=，正比例函数解析式为y=x；
（2）由图象得：在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的值大于一次函数的值；
（3）BM=DM，理由为：
∵S△OMB=S△OAC=×|k|=3，
∴S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12，即OC•OB=12，
∵OC=3，∴OB=4，即n=4，
∴m==，
∴MB=，MD=3﹣=，
则MB=MD．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

22．已知矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌DCM；
（2）判断四边形MENF是　菱形　（只写结论，不需证明）；
（3）在（1）（2）的前提下，当等于多少时，四边形MENF是正方形，并给予证明．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的性质．
【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，∠A=∠D，再由M是AD的中点，根据SAS即可证明△ABM≌△DCM；
（2）先由（1）得出BM=CM，再由已知条件证出ME=MF，EN、FN是△BCM的中位线，即可证出EN=FN=ME=MF，得出四边形MENF是菱形；
（3）先证出∠AMB=45°，同理得出∠DMC=45°，证出∠BMC=90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）解：四边形MENF是菱形；理由如下：
由（1）得：△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
∴ME=BE=BM，MF=CF=CM，
∴ME=MF，
又∵N是BC的中点，
∴EN、FN是△BCM的中位线，
∴EN=CM，FN=BM，
∴EN=FN=ME=MF，
∴四边形MENF是菱形；
（3）解：当=2时，四边形MENF是正方形；
证明如下：当=2时，AB=AM，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴∠AMB=45°，
同理：∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握矩形的性质以及菱形、正方形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．

23．（10分）（2016秋•深圳期末）如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题；解一元二次方程-公式法；三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据PQ∥BC，得出△APQ∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式，求出方程的解即可；
（2）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，据此得出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；
（3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，根据勾股定理列出方程（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2，求得时间t的值；最后根据菱形的面积等于△AQP面积的2倍，进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意知：BP=2t，AP=10﹣2t，AQ=2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴=，
即=，
解得：t=，
∴当t=时，PQ∥BC；

（2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，
∴PD∥BC，
∴=，即=，
解得，
∴△AQP的面积，
假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△AQP=S△ABC，
∵△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴S△ABC=AC•BC=24，
∴S△AQP=12，
而S△AQP=，
∴，
化简得：t2﹣5t+10=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，
∴此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；

（3）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．
如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴==，
即==，
解得：PD=6﹣t，AD=8﹣t，
∴QD=AD﹣AQ=8﹣t﹣2t=8﹣t，
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，
即（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2，
化简得：13t2﹣90t+125=0，
解得：t1=5，t2=，
∵当t=5时，AQ=10cm＞AC，不合题意，舍去，
∴t=，
∵当t=时，S△AQP==6×﹣×（）2=cm2，
∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×=cm2．
故存在时刻t=s，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．

【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质，三角形的面积计算，勾股定理的逆定理，解一元二次方程以及相似三角形的性质和判定的综合