借物理直观实验-展数学理性魅力——正比例函数和反比例函数的单元教学设计第一课时.pdf

借物理直观实验展数学理性魅力 正比例函数和反比例函数的单元教学设计（第一课时）上海市民办迅行中学胡玲玲摘要：数学与物理、化学、科学等很多学科有着紧密的联系.笔者将物理学科的实验引入数学课堂，启发、引导学生经历直观实验、数据分析后抽象出函数以及正、反比例函数的数学概念，让学生体会数学与其他学科的交叉意义，感受自主学习的快乐.关键词：物理实验；正比例函数；反比例函数；单元教学设计一、正比例函数与反比例函数的教材背景正比例函数和反比例函数是沪教版数学教材第十八章的内容，对学生来说是全新的数学概念，教材以这两个简单又有一定代表性的具体函数为例，引导学生跨步进入“函数与分析”这一学习领域.在分析部分，前一阶段已为学习函数进行了基础知识方面的必要准备以及数学思想方法的渗透，如式的初步知识、方程和不等式的有关知识、用字母表示数的思想、数形结合的思想等.所以，如何引导学生自主探究、发现及理解函数显得格外重要.根据沪教版教材，本章共 课时，函数概念占课时，正比例函数占课时，反比例函数占课时，函数的表示法占课时，本章小结占课时.其中不少知识概念和分析方法相同或相近.例如函数的概念和正比例函数、反比例函数的概念可以在相同的探究分析方法下得出，这样也有利于学生理解它们之间的区别和联系.正、反比例函数的图像可利用相同的方法分析，可以在第二课时中一起探究.正、反比例函数的性质可利用相同的方法分析，可以在第三课时中一起探究.图展示了第一课时课程结构图.学生感受到所有函数在起初分析阶段均可以用相同的方法探究，体会从特殊到一般的学习过程.图二、单元教学和跨学科教学在培养学生数学核心素养中的重要价值在传统的教学中，一方面，课堂大多以一小节知识为基础，教师较少以单元进行教学设计，缺少对课程内容与要求的整体把握和结构化处理.另一方面，课堂基本都是独立的，“各自为政”，学科之间衔接较少，缺乏渗透融合.事实上，单元教学有助于整体架构知识，把单元视为一个系统，分析整体结构和功能，研究系统、要素之间的相互关系和规律，以实现“整体大于部分之和”.同时，学科之间存在着非常紧密的联系，理科与理科之间，甚至文科和理科之间有着密不可分的关系.很多科学家既是数学家又是物理学家或化学家，如拉格朗日、傅里叶、高斯等.新课程背景下提倡学科之间相互交叉融合，相互促进，充分挖掘学科整合的价值，更好地培养学生的数学核心素养.数学核心素养是学生通过数学的学习所形成的能从数学的角度敏锐地审视各种问题，能用数学的方法和策略严谨、灵活地分析问题和处理问题的意识和能力.数学本身是通过抽象在现实生活中得到数学概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界之联系的.如果在课堂上直接把概念“灌”给学生，虽然学生也能得到知识，但并没有收获能力，也没有得到数学核心素养的培养.学生需要经历获得概念知识的过程.教师从学生初中阶段刚刚接触的物理实验入手，首先激发学生探求知识的兴趣，其次让学生理解每一门学科都是相互联系、相互渗透的，最后学生在经历整个过程中培养了数学核心素养.这也完全符合新课程提倡的教学目标（包括知识与能力，过程与方法，情感、态度与价值观）.上海中学数学 年第期三、教学设计和实施（一）实验准备本次教学所涉及的实验在科学课中已有所讲解，但为使课堂实验效率更高，提前请物理教师对此次实验的原理、方法及要求做了统一的讲解和说明.课堂中，教师将全班 人分成五组，每组都进行相同的实验，数据根据本组的情况得出.实验内容为使用控制变量法研究电压、电阻、电流之间的关系.实验共分两组，一组保持电阻不变，研究电压和电流之间的关系；另一组保持电压不变，研究电流和电阻之间的关系.每组实验分别做六次.每个小组分别记录自己组的数据（所用表格如表所示）.表电阻不变（）（）电压不变（）（）（二）教学目标.知道用运动、变化的观点看待事物，理解实验变化过程中两个变量之间相互依赖的含义，从而理解函数、正比例函数、反比例函数的概念.通过探究电压、电阻、电流之间的关系，经历科学探究，获得两个变量成正、反比例的关系以及函数解析式的过程.经历科学探究的过程，感受理科实验的严谨、准确和数学学科的理性魅力.（三）教学过程.利用物理实验，探究数学新知互动获得函数的概念师：这节数学课我们首先做一个物理实验，探究大家科学、物理课里都会遇到的电压、电阻、电流的关系.我们该如何研究这三个量呢？生：可以用控制变量法，先使其中一个量保持不变，然后研究另外两个量、的关系.师：很好.这里赋予这些量名称.在数学中，数值保持不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量.具体怎么研究这三个量的关系？生：可以先让电压保持不变，研究电阻和电流的关系，然后可以保持电阻不变，研究电压和电流的关系.师：是不是意味着电压既是常量，又是变量？生：不是的.在第一种情况下，电压是常量，是我们自己定好的数值，第二种情况下电压就是变量了，要根据实验得出结果.师：这位同学分析得非常清楚.那么现在请每个小组开始分这两种情况进行实验，请大家记录好实验数据.组的实验率先完成，得出的实验数据如表所示.表电阻不变（）（）.电压不变（）（）.师：大家在做实验时，一边读取数据，一边记录数据.发现当一个量为常量时，另外两个量是如何变化的？生：我发现两个变量中，一个变化，另一个也随之变化.比如第一种情况下，调整电压之后，电流表的示数也相应改变.师：没错，我们发现变化过程中有两个变量，即电流和电压，电流随着电压的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系.在数学中，将这种变化关系称之为函数关系，因此电流叫做电压的函数.一般用和来表示两个变量，如果变量在允许取值的范围内，变量随着的变化而变化，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量.变量允许取值的范围称为定义域.互动获得正比例函数、反比例函数的概念和解析式师：刚才我们发现电流和电压之间存在确定的依赖关系，那么能具体表达出这种关系吗？生：我们小组发现每一组电压与电流的比值是一个常数.师：这个常数是你们的实验中已有的数据吗？生：是的，就是我们控制不变的电阻的值.也就是说.师：其实这个公式在物理中称为欧姆定理.数学中称电压和电流成正比例.谁能给大家讲讲成正比例的概念？生：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数，那么这两个变量成正比例.师：那这个常数可以为零吗？生：不可以，因为比值为零的话，只能分子为零，那分子只能是常量.师：太棒了.所以这个常数不能为零，如果用数学式子表示两个变量，成正比例，就是，或上海中学数学 年第期表示为（），是不等于零的常数.生：这个关系好像也符合之前学习的函数的概念.师：的确如此.我们将在更一般的意义下来研究两个变量成比例的函数.我们把表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.而解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.大家想想，这里的定义域是什么？生：所有实数都可以取.师：那刚才的电压可以取一切实数吗？怎么确定一个函数的定义域呢？生：不行，要为正数.要使解析式有意义，同时也要符合实际意义.师：总 结 得 非 常 全 面.那 解 析 式 里 的怎 么求呢？生：可以直接利用成正比例的定义，选一组对应的数值就可以了.师：是可行的方法.但是，如果，怎么办？生：可以直接利用正比例函数的解析式，代入一组对应的数值，解方程就可以得到了.师：两位同学分析得非常好.这种求的方法称为待定系数法，是求解函数中未知系数的常用方法.讨论到这里，正比例函数解析式部分的内容就研究得差不多了.接下来请大家用同样的方法来研究第二组数据的关系.组内同学讨论后推选一位成员讲解，其他成员可以补充.组讨论得较为热烈，并较快得出关系.生：我们小组发现当电压保持不变时，每一组电阻和电流的值的乘积都是一个常数，而且是我们定好的电压值，也可以说这两个变量成反比例.如果两个变量成反比例，那么这两个变量的乘积需要为一个不为零的常数.用数学式子表示两个变量，成反比例，可以表示为 或，其中是不等于零的常数.生：不用数据也可以得出这个关系.对进行变形就可以得出.师：两位同学分析得很不错.如何在更一般的意义下研究两个变量成反比例的函数呢？生：解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，也叫比例系数.仍然可以用待定系数法求解.师：这里的定义域还是一切实数吗？生：，因为在分母上，分母不能为零.师：组的同学分析得非常细致，总结得也很到位.设计意图：学生在学习时总觉得数学比较枯燥，不知道数学到底有什么作用.对于函数的概念，学生尤其觉得抽象.将物理实验引入数学课堂，一方面，学生经历了自主探索数学知识的过程，真正实现了学生是课堂的主体，无形中培养了核心素养，为今后进行科研自主创新打好基础.另一方面，学生体会了数学对于其他学科的重要意义，对于数学学习更有兴趣，更具理性精神.强化练习，巩固新知（）已知（）是正比例函数，则它的解析式为；已知与成反比例，并且当时，则当 时，的值是.（）已知等腰三角形周长为，设它的底边为，腰长为.写出与之间的函数关系式；写出函数的定义域.（）已知，与成反比例，与成正比例，并且当时，当时，求与之间的函数关系式.设计意图：问题（）巩固课堂中由直观实验抽象出的函数解析式的形式以及待定系数法，让学生的直观感受上升到理性思维.问题（）让学生自主在已有知识体系里抽象出函数，并巩固定义域的求取方法，这道题既能让学生巩固函数的概念，又能复习三角形部分的知识.问题（）综合考查了函数，正、反比例函数的概念以及解析式问题，对学生理解、掌握新知识提出了更高的要求，但学生也因此更好地领悟了本节课所学的知识.自我小结师：通过对函数以及正、反比例函数概念的学习，大家认为还有其他类型的函数吗？可以举例吗？生：正、反比例函数是属于函数的，我感觉函数有无数个，只是有些不一定能写出解析式.我还没有想好例子.生：妈妈每年在我生日的时候都给我量身高，这其中也蕴含着函数，自变量是年龄，身高是年龄的函数，不知道解析式怎么写，但是可以在直角坐标系里描点.师：物理实验引入数学课堂对大家理解新知识有帮助吗？生：这节课让我觉得数学也没有那么枯燥，做物理实验让我精神百倍，我好像也喜欢上数学了.生：这节课让我理解函数并不仅仅是一个式上海中学数学 年第期子，更是一个变化过程.生：今天研究知识的整个过程让我很有收获，我对研拓课的小论文有想法了，谢谢物理实验和数学课.课后思考请学生课后多收集几组实验数据，并将实验数据填入表.首先保持电阻不变，在直角坐标系里对每一组电压和电流的数值进行描点，并用光滑的曲线联结起来.接着保持电压不变，在直角坐标系里对每一组电阻和电流的数值进行描点，并用光滑的曲线联结起来.表电阻不变 （）（）电压不变（）（）设计意图：在正比例函数和反比例函数单元教学设计中，第二课时即将讨论这两个函数的图像，提前让学生在直角坐标系里对获得并整理的数据进行描点，并用光滑的曲线联结起来.一方面，学生复习巩固直角坐标系的知识，并感悟和理解实验得到的数据可以如何处理.另一方面，学生也在处理数据的过程中体会绘制函数图像的列表、描点、连线的整个过程.此外，在画图的过程中，学生总会遇到各种各样的问题，带着问题听之后的新课会有更多收获.四、教学实践反思（一）善用跨学科知识，分析理解数学概念数学的跨学科使用能力的培养是当今社会一个重要的研究、实践趋势.在中学数学教学过程中，要注意根据学生的认识规律慢慢渗透数学与其他学科之间交叉使用的问题，勇于打破传统的学科限制，转变学生的学习观念，尤其注意加强数学与物理、化学、生物、地理等学科的联系.初中学生第一次接触函数概念往往会比较困惑，难以理解.如果通过学生比较熟悉的具体实验过程展现函数概念，学生理解起来会更加容易.由于时间关系，教师课上没有继续举贴近生活的函数例子，给出更多的生活例子能更好增强学生对相关概念的理解.练习册中有大量判断函数的实例，对此部分来说是很好的补充和巩固.沪教版数学教材中有不少数学与其他学科交叉的例子，如应用题中的基尼系数、经济增长率问题、税收问题都和社会、经济有着紧密联系.圆周率、勾股定理等部分出现了历史知识.函数部分涉及的运动后血乳酸浓度问题、药物燃烧浓度问题融入了化学知识.这些都帮助学生用数学的眼光看世界，用数学的知识解决问题.（二）重视分析探究过程，提升自主学习能力数学课程改革的核心理念之一是突出数学知识生成过程的教与学.在教学设计过程中要从数学本质或贴近学生生活出发，重视引导学生分析或实践操作得出数学知识，而非直接讲授已有知识.这样学生更能理解数学知识的原理，更能将数学知识活学活用，更易于数学核心素养的养成.所以整节课的设计中，并没有一开始就告诉学生函数的概念，而是在实验过后引导学生发现并抽象出函数的概念.正比例函数的概念也是引导学生根据自己所做实验的数据进行分析处理，由实验数据得出的.有不少学生在记录实验数据时就发现了相应的规律，整个过程培养了学生分析处理数据的能力.有了正比例函数概念的得出过程，反比例函数的概念就放手让学生自己抽象得出，这比较考验学生能力.虽然大多数学生能够得出两个变量成反比例的概念，但是能精准抽象出反比例函数概念的学生并不是特别多.相信学生在经历这样的实践探究分析过程后，八年级第二学期一次函数概念的获得会更加游刃有余.参考文献邱万作九年义务教育数学教学参考资料：八年级第一学期试用本上海：上海教育出版社，徐淀芳 初中数学单元教学设计指南 北京：人民教育出版社，王丽娜初中生数学知识的跨学科应用案例分析内蒙古师范大学，欢迎订阅 上海中学数学上海中学数学 年第期