北师大版八年级(下)第一次月考数学试卷.docx

山东省菏泽市东明县八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：每小题 3 分，共 30 分
1．（3 分）下列命题中，真命题是（
A．周长相等的锐角三角形都全等
B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等
D．周长相等的等腰直角三角形都全等
）
2．（3 分）若 a＜b，则下列不等式中不成立的是（
）
A．a+5＜b+5 B．5a＜5b C．a﹣b＜0 D．﹣5a＜﹣5b
3．（3 分）在等腰△ABC 中，AB=AC，其周长为 20cm，则 AB 边的取值范围是（
）
A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm
4．（3 分）不等式 1+x＜0 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）如图所示，直线y =x+b 与 y =kx﹣1 相交于点 P，点 P 的横坐标为﹣1，则关于 x
1
2
的不等式 x+b＞kx﹣1 的解集在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（3 分）已知不等式组
的解集为 x＞3，则 m 的取值范围是（
）
A．m=3 B．m＞3C．m≥3D．m≤3
1

7．（3 分）函数 y=kx+b（k、b 为常数）的图象如图所示，则关于 x 的不等式 kx+b＞0 的解
集是（
）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＜2 D．x＞2
8．（3 分）一元一次不等式组
的解集中，整数解的个数是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
9．（3 分）已知函数 y=（3﹣m）x+m﹣1 的图象过第一、二、四象限，则 m 的取值范围是
（
）
A．m＞3
B．m＜1C．不存在 D．1＜m＜3
10．（3 分）如图，已知 AB=AC，∠A=36°，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于 D，AC 于 M．以
下结论：
①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C
④△ADM≌△BCD．
=AB+BC；
BCD
△
正确的有（
）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
二、填空题：每小题 3 分，共 24 分
11．（3 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，∠BAD=35°，则∠C 的度数为
．
12．（3 分）边长为 2 的等边三角形的面积为
13．（3 分）反证法证明“三角形中至少有一个角不少于 60°”先应假设这个三角形中
14．（3 分）已知 2x﹣y=0，且 x﹣5＞y，则 x 的取值范围是
．
．
．
15．（3 分）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生
产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为 3：2，则该行李箱的长的
最大值为
cm．
16．（3 分）若关于 x 的不等式（1﹣a）x＞2 可化为 x＞
，则 a 的取值范围是
．
2

17．（3 分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=15，斜边 AB 的垂直平分线与∠CAB 的平
分线都交 BC 于 D 点，则点 D 到斜边 AB 的距离为 ．
18．（3 分）如图，已知 BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个
条件为 ．（答案不唯一，只需填一个）
三、解答题：共 66 分
19．（10 分）解不等式并把解集表示在数轴上：
（1） ＞1﹣
（2）2（x+1）﹣1≥3x+2．
20．（6 分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答：
（Ⅰ）解不等式①，得
（Ⅱ）解不等式②，得
；
；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为
．
21．（6 分）解一元一次不等式组
．
22．（8 分）每年的 5 月 20 日是中国学生营养日，而我县近几年在校吃饭的学生越来越多，
去年，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获
取了一份快餐的信息．（如表）．
3

若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这
份快餐最多含有多少克的蛋白质？
23．（8 分）已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE 与 BF 相交于 D，且 BD=CD．求证：D
点在∠BAC 的平分线上．
24．（8 分）如图，锐角三角形的两条高 BD、CE 相交于点 O，且 OB=OC．求证：△ABC
是等腰三角形．
25．（10 分）如图，已知 AB=EF，AD=CE，BC⊥AE，FD⊥AE．求证：
（1）BC=FD；
（2）AB∥EF．
26．（10 分）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，若PM、QN 分别垂直平分 AB、AC．
（1）求∠PAQ的度数；
（2）如果 BC=10cm，求△APQ 的周长．
4

2016 年山东省菏泽市东明县八年级（下）第一次月考数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题 3 分，共 30 分
1．（3 分）（2011•上海）下列命题中，真命题是（
A．周长相等的锐角三角形都全等
）
B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等
D．周长相等的等腰直角三角形都全等
【分析】全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一检
验．
【解答】解：A、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，假命
题；
B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
D、由于等腰直角三角形三边之比为1：1： ，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角
相等，对应边相等，故全等，真命题．
故选 D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的运用，命题与定理的概念．关键是明确全等三
角形的对应边相等，对应角相等．
2．（3 分）（2014 秋•屯溪区校级期末）若 a＜b，则下列不等式中不成立的是（
A．a+5＜b+5 B．5a＜5b C．a﹣b＜0 D．﹣5a＜﹣5b
【分析】据不等式的性质分析判断．
）
【解答】解：A、在不等式 a＜b 的两边同时加上 5，原不等式仍然成立，即 a+5＜b+5．故
本选项正确；
B、在不等式 a＜b 的两边同时乘以 5，原不等式仍然成立，即 5a＜5b．故本选项正确；
C、在不等式 a＜b 的两边同时减去 b，原不等式仍然成立，即 a﹣b＜0．故本选项正确；
D、在不等式 a＜b 的两边同时乘以﹣5，不等号的方向发生改变，即﹣5a＞﹣5b；故本选项
错误．
故选 D．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的
问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（3 分）（2014•防城港）在等腰△ABC 中，AB=AC，其周长为 20cm，则 AB 边的取值范
围是（
）
A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm
5

【分析】设 AB=AC=x，则 BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：∵在等腰△ABC 中，AB=AC，其周长为 20cm，
∴设 AB=AC=x cm，则 BC=（20﹣2x）cm，
∴
，
解得 5cm＜x＜10cm．
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相
等是解答此题的关键．
4．（3 分）（2013•福州）不等式 1+x＜0 的解集在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出不等式的解集，即可作出判断．
【解答】解：1+x＜0，
解得：x＜﹣1，
表示在数轴上，如图所示：
故选：A．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，把每个不等式的
解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，
如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的
解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心
圆点表示．
5．（3 分）（2016 春•安陆市期末）如图所示，直线 y =x+b 与 y =kx﹣1 相交于点 P，点 P 的
1
2
横坐标为﹣1，则关于 x 的不等式 x+b＞kx﹣1 的解集在数轴上表示正确的是（
）
6

A．
B．
C．
D．
【分析】首先根据图象可得不等式 x+b＞kx﹣1 的解集是能是函数 y =x+b 的图象在上边的未
1
知数的范围，据此即可求得 x 的范围，从而判断．
【解答】解：不等式 x+b＞kx﹣1 的解集是 x＞﹣1．
则利用数轴表示为
．
故选 A．
【点评】本题考查了一次函数图象与不等式的关系，理解不等式x+b＞kx﹣1 的解集是能是
函数 y =x+b 的图象在上边的未知数的范围是关键．
1
6．（3 分）（2016 春•东明县期中）已知不等式组
的解集为 x＞3，则 m 的取值范围是
（
）
A．m=3 B．m＞3C．m≥3D．m≤3
【分析】利用不等式组取解集的方法是解本题的关键．
【解答】解：∵不等式组
的解集为 x＞3，
∴m≤3，
故选 D
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式取解集的方法是解本题的关键．
7．（3 分）（2003•滨州）函数 y=kx+b（k、b 为常数）的图象如图所示，则关于 x 的不等式
kx+b＞0 的解集是（
）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＜2 D．x＞2
【分析】从图象上得到函数的增减性及与 x 轴的交点的横坐标，即能求得不等式 kx+b＞0
的解集．
【解答】解：函数 y=kx+b 的图象经过点（2，0），并且函数值 y 随 x 的增大而减小，
∴当 x＜2 时，函数值小于 0，即关于 x 的不等式 kx+b＞0 的解集是 x＜2．
故选 C．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，注意几个关键
点（交点、原点等），做到数形结合．
7

8．（3 分）（2015•广元）一元一次不等式组
A．4 B．5 C．6 D．7
的解集中，整数解的个数是（
）
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，即可
得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣0.5，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组的解集为﹣0.5＜x≤5，
∴不等式组的整数解为 0，1，2，3，4，5，共 6 个，
故选 C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根
据不等式的解集求出不等式组的解集．
9．（3 分）（2016 春•东明县期中）已知函数 y=（3﹣m）x+m﹣1 的图象过第一、二、四象限，
则 m 的取值范围是（
）
A．m＞3 B．m＜1C．不存在 D．1＜m＜3
【分析】若函数 y=kx+b 的图象过一、二、四象限，则此函数的k＜0，b＞0，据此求解．
【解答】解：∵函数 y=（3﹣m）x+m﹣1 的图象过一、二、四象限，
∴3﹣m＜0，m﹣1＞0
解得 1＜m＜3，
故选 D．
【点评】考查了一次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象经过第几象限，取决于x
的系数和常数项．
10．（3 分）（2011 秋•中江县期末）如图，已知 AB=AC，∠A=36°，AC 的垂直平分线 MN
交 AB 于 D，AC 于 M．以下结论：
①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C
④△ADM≌△BCD．
=AB+BC；
BCD
△
正确的有（
）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理由AB=AC，∠A=36°可得到∠B=∠
ACB=72°，再根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DC，根据等腰三角形的性质有∠ACD=
8

∠A=36°，可计算出∠BCD=72°﹣36°=36°，∠BDC=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°，则 CB=CD，
可对①进行判断；根据三角形的角平分线的定义可对②进行判断；根据DA=DC 和
三角形周长的定义可得到△BCD 的周长 C△BCD=DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC，则可对
③进行判断；由于△ADM 为直角三角形，而△BCD 为顶角为 36°的等腰三角形，
可对④进行判断．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于 D，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∴∠BCD=72°﹣36°=36°，
∴∠BDC=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°，
∴CB=CD，
∴△BCD 是等腰三角形，所以①正确；
∵∠BCD=36°，∠ACD=36°，
∴CD 平分∠ACB，
∴线段 CD 为△ACB 的角平分线，所以②错误；
∵DA=DC，
∴△BCD 的周长 C△BCD=DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC，所以③正确；
∵△ADM 为直角三角形，而△BCD 为顶角为 36°的等腰三角形，
∴△ADM 不等全等于△BCD，所以④错误．
故选 B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角也相等，
那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质以及等
腰三角形的判定与性质．
二、填空题：每小题 3 分，共 24 分
11．（3 分）（2016 淮安模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，∠BAD=35°，
则∠C 的度数为 55° ．
【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角
形两底角相等的性质即可得出结论．
【解答】解：AB=AC，D 为 BC 中点，
∴AD 是∠BAC 的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C= （180°﹣70°）=55°．
故答案为：55°．
9

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关
键．
12．（3 分）（2016 春•东明县期中）边长为 2 的等边三角形的面积为
．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得 D 为 BC 的中点，即 BD=CD，在直角三角形
ABD 中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD 的长，即可求三角形ABC 的面积，即
可解题．
【解答】解：∵等边三角形高线即中点，AB=2，
∴BD=CD=1，
在 Rt△ABD 中，AB=2，BD=1，
∴AD=
=
= ，
∴S
= BC•AD= ×2× =
，
ABC
△
故答案为： ．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
13．（3 分）（2016 春•东明县期中）反证法证明“三角形中至少有一个角不少于 60°”先应假设
这个三角形中 每个内角都小于 60° ．
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可．
【解答】解：∵用反证法证明三角形中至少有一个角不小于60°，
∴第一步应假设结论不成立，
即三角形的三个内角都小于 60°．
故答案为：每个内角都小于 60°．
【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从
假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
14．（3 分）（2016 春•东明县期中）已知 2x﹣y=0，且 x﹣5＞y，则 x 的取值范围是 x＜﹣5 ．
【分析】由 2x﹣y=0，得 y=2x，把 y 代入 x﹣5＞y 求解即可．
【解答】解：由于 2x﹣y=0，则 y=2x，
∴x﹣5＞y 就是 x﹣5＞2x，
解得 x＜﹣5，则 x 的取值范围是 x＜﹣5．
故本题答案为：x＜﹣5．
【点评】把 2x﹣y=0，且 x﹣5＞y 转化为关于 x 的不等式，是解决本题的关键．
15．（3 分）（2014•南京）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过 160cm，
某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为 3：2，则该行李
箱的长的最大值为 78 cm．
10

【分析】设长为 3x，宽为2x，再由行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，可得出不等式，
解出即可．
【解答】解：设长为 3x，宽为 2x，
由题意，得：5x+30≤160，
解得：x≤26，
故行李箱的长的最大值为 78．
故答案为：78cm．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的额关键是仔细审题，找到不等关系，
建立不等式．
16．（3 分）（2015 春•故城县期末）若关于 x 的不等式（1﹣a）x＞2 可化为 x＞
，则 a
的取值范围是 a＜1 ．
【分析】根据不等式的性质 2，可得答案．
【解答】解：由关于 x 的不等式（1﹣a）x＞2 可化为 x＞
，得
1﹣a＞0．
解得 a＜1，
故答案为：a＜1．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不
变．
17．（3 分）（2012 秋•鼓楼区校级期末）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=15，斜边 AB 的
垂直平分线与∠CAB 的平分线都交 BC 于 D 点，则点 D 到斜边 AB 的距离为 5 ．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等
角的性质可得∠B=∠BAD，再根据三角形内角和定理列式求出∠B=30°，设 AB 的垂直平分
线与 AB 相交于点 E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，根据直角
三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半可得 BD=2DE，然后根据 BC=CD+BD 列式计算
即可得解．
【解答】解：∵斜边 AB 的垂直平分线与 BC 相交于 D 点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD 是∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAD+∠CAD=90°，
即 3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∴BD=2DE，
11

∵BC=15，
∴CD+BD=DE+BD=DE+2DE=3DE=15，
∴DE=5，
即点 D 到斜边 AB 的距离为 5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的
点到角的两边的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，
综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
18．（3 分）（2013•临夏州）如图，已知 BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，
则应添加的一个条件为 AC=CD ．（答案不唯一，只需填一个）
【分析】可以添加条件 AC=CD，再由条件∠BCE=∠ACD，可得∠ACB=∠DCE，再加上条
件 CB=EC，可根据 SAS 定理证明△ABC≌△DEC．
【解答】解：添加条件：AC=CD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC 和△DEC 中
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：AC=CD（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，
若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题：共 66 分
19．（10 分）（2016 春•东明县期中）解不等式并把解集表示在数轴上：
（1） ＞1﹣
（2）2（x+1）﹣1≥3x+2．
【分析】（1）利用不等式的基本性质，把不等式两边都乘以6，再去括号、移项、合并同类
项，最后系数化为 1，即可求得原不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可；
12

（2）先去括号、再移项、合并同类项，即可求得原不等式的解集，再将解集在数轴上表示
出来即可．
【解答】解：（1）去分母得，2x＞6﹣（x﹣3），
去括号得，2x＞6﹣x+3，
移项、合并同类项得，3x＞9，
系数化为 1 得，x＞3．
在数轴上表示为：
（2）去括号，得 2x+2﹣1≥3x+2，
移项，得 2x﹣3x≥2﹣2+1；
合并同类项，得﹣x≥1；
系数化为 1，得 x≤﹣1．
在数轴上表示为：
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变
符号这一点而出错，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或整式）不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数不等号的方向改变．
20．（6 分）（2014 天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤1 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1≤x≤1 ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：（I）解不等式①，得 x≥﹣1；
（II）解不等式②得，x≤1，
（III）在数轴上表示为：
；
（IN）故此不等式的解集为：﹣1≤x≤1．
故答案分别为：x≥﹣1，x≤1，﹣1≤x≤1．
13

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（6 分）（2016•沂源县一模）解一元一次不等式组
．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集
是解此题的关键．
22．（8 分）（2016 春•东明县期中）每年的5 月 20 日是中国学生营养日，而我县近几年在校
吃饭的学生越来越多，去年，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况，他们
从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息．（如表）．
若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这
份快餐最多含有多少克的蛋白质？
【分析】设这份快餐含有 x 克的蛋白质，根据所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于
这份快餐总质量的 70%，列出不等式，求解即可．
【解答】解：设这份快餐含有 x 克的蛋白质，
根据题意可得：x+4x≤400×70%，
解不等式，得 x≤56．
答：这份快餐最多含有 56 克的蛋白质．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列
出不等式，本题的数量关系是所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量
的 70%．
23．（8 分）（2011 秋•隆子县校级期末）已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE 与 BF 相交于
D，且 BD=CD．求证：D 点在∠BAC 的平分线上．
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【分析】首先根据已知条件易证 Rt△BDE≌Rt△CDF（AAS），则DE=DF，再由角平分线性
质的逆定理可得 D 在∠BAC 的平分线上．
【解答】证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE 和△CDF 中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
又∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴D 在∠BAC 的平分线上．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质的逆定理，首先证明△
BDE≌△CDF 得出 DE=DF 是本题的关键．
24．（8 分）（2016 春 东明县期中）如图，锐角三角形的两条高BD、CE 相交于点 O，且
OB=OC．求证：△ABC 是等腰三角形．
【分析】要证明△ABC 是等腰三角形，只需要证明∠ABC=∠ACB 即可，根据题目中的条
件可以证明这两个角相等，本题得以解决．
【解答】证明：∵锐角三角形的两条高 BD、CE 相交于点 O，
∴∠OEB=∠ODC=90°，∠EOB=∠DOC，
∴∠EBO=∠DCO，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
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∴AB=AC，
∴△ABC 是等腰三角形．
【点评】本题考察啊等腰三角形的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答问题．
25．（10 分）（2016 春•东明县期中）如图，已知AB=EF，AD=CE，BC⊥AE，FD⊥AE．求
证：
（1）BC=FD；
（2）AB∥EF．
【分析】（1）先证 Rt△ABC≌Rt△EFD，则该全等三角形的对应边相等：BC=FD；
（2）由（1）中全等三角形的对应角相等得到∠A=∠E，则易得 AB∥EF．
【解答】证明：（1）∵AD=CE，
∴AC=ED．
∵在 Rt△ABC 与 Rt△EFD 中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EFD（HL），
∴BC=FD；
（2）由（1）知 Rt△ABC≌Rt△EFD，则∠A=∠E，
∴AB∥EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定．常用的判定方法有AAS，
SSS，SAS，HL 等．
26．（10 分）（2016 春•东明县期中）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，若 PM、QN
分别垂直平分 AB、AC．
（1）求∠PAQ的度数；
（2）如果 BC=10cm，求△APQ 的周长．
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【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PA=PB，再根据等
边对等角的性质可得∠PAB=∠B，同理求出∠QAC=∠C，然后根据三角形的内角和定理求
出∠B+∠C=60°，然后进行计算即可得解；
（2）求出△APQ 的周长=BC，然后代入数据即可得解．
【解答】解：（1）∵PM 垂直平分 AB，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
同理，QA=QC，
∴∠QAC=∠C，
∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=120°﹣60°=60°；
（2）由（1）可知：PA=PB，QA=QC，
∴PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=10cm，即△APQ 的周长为 10cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的
性质，熟记性质熟记解题的关键．
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∴AB=AC，
∴△ABC 是等腰三角形．
【点评】本题考察啊等腰三角形的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答问题．
25．（10 分）（2016 春•东明县期中）如图，已知AB=EF，AD=CE，BC⊥AE，FD⊥AE．求
证：
（1）BC=FD；
（2）AB∥EF．
【分析】（1）先证 Rt△ABC≌Rt△EFD，则该全等三角形的对应边相等：BC=FD；
（2）由（1）中全等三角形的对应角相等得到∠A=∠E，则易得 AB∥EF．
【解答】证明：（1）∵AD=CE，
∴AC=ED．
∵在 Rt△ABC 与 Rt△EFD 中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EFD（HL），
∴BC=FD；
（2）由（1）知 Rt△ABC≌Rt△EFD，则∠A=∠E，
∴AB∥EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定．常用的判定方法有AAS，
SSS，SAS，HL 等．
26．（10 分）（2016 春•东明县期中）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，若 PM、QN
分别垂直平分 AB、AC．
（1）求∠PAQ的度数；
（2）如果 BC=10cm，求△APQ 的周长．
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【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PA=PB，再根据等
边对等角的性质可得∠PAB=∠B，同理求出∠QAC=∠C，然后根据三角形的内角和定理求
出∠B+∠C=60°，然后进行计算即可得解；
（2）求出△APQ 的周长=BC，然后代入数据即可得解．
【解答】解：（1）∵PM 垂直平分 AB，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
同理，QA=QC，
∴∠QAC=∠C，
∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=120°﹣60°=60°；
（2）由（1）可知：PA=PB，QA=QC，
∴PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=10cm，即△APQ 的周长为 10cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的
性质，熟记性质熟记解题的关键．
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∴AB=AC，
∴△ABC 是等腰三角形．
【点评】本题考察啊等腰三角形的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答问题．
25．（10 分）（2016 春•东明县期中）如图，已知AB=EF，AD=CE，BC⊥AE，FD⊥AE．求
证：
（1）BC=FD；
（2）AB∥EF．
【分析】（1）先证 Rt△ABC≌Rt△EFD，则该全等三角形的对应边相等：BC=FD；
（2）由（1）中全等三角形的对应角相等得到∠A=∠E，则易得 AB∥EF．
【解答】证明：（1）∵AD=CE，
∴AC=ED．
∵在 Rt△ABC 与 Rt△EFD 中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EFD（HL），
∴BC=FD；
（2）由（1）知 Rt△ABC≌Rt△EFD，则∠A=∠E，
∴AB∥EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定．常用的判定方法有AAS，
SSS，SAS，HL 等．
26．（10 分）（2016 春•东明县期中）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，若 PM、QN
分别垂直平分 AB、AC．
（1）求∠PAQ的度数；
（2）如果 BC=10cm，求△APQ 的周长．
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【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PA=PB，再根据等
边对等角的性质可得∠PAB=∠B，同理求出∠QAC=∠C，然后根据三角形的内角和定理求
出∠B+∠C=60°，然后进行计算即可得解；
（2）求出△APQ 的周长=BC，然后代入数据即可得解．
【解答】解：（1）∵PM 垂直平分 AB，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
同理，QA=QC，
∴∠QAC=∠C，
∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=120°﹣60°=60°；
（2）由（1）可知：PA=PB，QA=QC，
∴PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=10cm，即△APQ 的周长为 10cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的
性质，熟记性质熟记解题的关键．
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