初中动态几何问题教学策略探究（定稿）.doc

初中动态几何问题教学策略探究
邓之淮（海南省文昌中学）

摘要：动态几何问题能够很好地锻炼学生的思维能力，随着九年义务教育的不断推进与新课程标准的实施，动态几何问题进入了课本，融进了课堂教学，并且要求越来越高，越来越突出对学生探究能力的考查，但是学生不易于从“动态”中理清思路，抓住问题的本质。采取“引导学生动中取静、静中求动、综合分析、分析变量、利用函数”等教学策略可以触动学生的灵感，使学生易于抓住动态几何问题的本质，领悟到解决动态几何问题的方法。
关键词：教学策略；动态几何；引导；本质；变化

动态几何问题是用运动的观点去探究几何图形的变化规律的问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，通过点、线、面、体的运动或图形的变换渗透运动变化观点的一类问题，按运动的形式可分为平移、旋转、折叠、滚动，按运动的图形可分点动、线动、面动与体动几类。动态几何问题常常集几何、数与式、方程与函数于一身，有着极强的综合性，包含着丰富的数学思想与方法，数形结合、动中有静、静中含动，能够很好地锻炼学生的空间想象能力与演绎推理能力。
随着九年义务教育的不断推进与新课程标准的实施，动态几何问题悄悄进入了课本，融进了课堂教学，有关平移、旋转、折叠等图形的变化的问题已是教学中常见的例题，并且要求越来越高，越来越突出对学生探究能力的考查。另外，创设动态几何问题也是命题教师极力追求的一个目标，动态几何问题在一些中考试题也扮演着压轴题的角色。鉴于动态几何问题在数学教学中的地位，鉴于提高学生数学能力，下面，就动态几何问题的教学策略做出如下的探究：
____________________________________
收稿日期：2012－07－03
作者简介：邓之淮， 1973年12月出生，男，海南省文昌市人，中学数学高级教师，是海南省初中数学中心组成员之一，已发表数篇文章在省级以上刊物上，主要研究初中数学命题与初中数学教育，经常从事各种数学命题工作与教师培训工作。
住址：海南省文昌中学第36幢教师楼302房 邮编：571321 电话：[phone]
邮箱：327938408@ 身份证号：460022197312061255
一、引导学生动中取静，寻找变化的本质
动态几何问题之所以“难”，除了它复杂的图形之外，主要原因就是因为它是在变化之中的，学生无法穿越“动态”而抓住解决问题的关键，“动中取静”是解决这一难题的方法。如“例一”：
例一、
如图1，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．
（1）证明：△ABG≌△ADE ；
（2）试猜想∠BHD的度数，并说明理由；
（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜BAE ＜180°），设△ABE的面积为S1，△ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明．

F
G
E
D
B
A
图1（A）
H
C
F
G
E
D
B
A
图1（B）
H

C

“例一”是2010年海南省中考题，第（3）小题是动态几何问题——“正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角大于0°而小于180°”。正方形旋转时，△ABE与△ADG的形状会出现变化，面积大小也会出现变化，他们面积S1与S2的大小关系会如何呢？
在教学之中，我们引导学生尝试在特殊位置上的“静态”去分析图形的有关特征，如，当图形如图1（B）时，研究S1与S2的大小关系，可发现在正方形旋转的过程中，AG与AE上的高始终都是相等的，因而可以发现S1与S2相等。通过引导学生抓住图形瞬间的静止状态，研究“静态”之下图形存在的性质、特征，去猜想、去寻找、去验证“动态”之下图形具有的性质、特征，能让学生易于抓住动态几何问题的本质。
二、引导学生静中求动，猜想变化的规律
我们在动态几何问题的教学中，应当引导学生形成“静中求动”的习惯，因为这不仅可以大大拓展问题本身的内涵，起到举一反三的作用，而且可以训练学生的猜想能力。猜想能力对一个学生、一个民族、一个国家来说都是非常之重要的，爱因斯坦曾说过：“想象力比知识重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉，严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”
动态几何问题是培养学生猜想能力的好素材，在研究几何问题时，教师可以有目的地让问题“动态”化，引导学生在静中求动，触发学生的猜想，猜想图形变化的规律，如下面“例二”：
例二、
如图2，在正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点（点P不与点A点C重合）过点P作PE⊥AD于点E，点M为CP的中点，分别连接MB、MD、ME．
（1）求证：MB=MD；
（2）连接BE，证明△BME是等腰直角三角形；
（3）将图2中△PEA绕点A顺时针旋转45°（在备用图中画出图形），设点M仍为PC的中点，连接ME、MB、EB，问：（2）中的结论是否仍成立？请回答，并论证你的结论．

备用图
A
B
C
D
图2
A
B
C
D
P
E
M

“例二”中的第（1）（2）两个问题是“静态”几何问题，在研究（1）（2）两个“静态”几何问题后，我们再把第（3）问题抛出来——“将图2中△PEA绕点A顺时针旋转45°……（2）中的结论是否仍成立？”——引导学生在“静中求动”。“静中求动”容易引发学生的猜想，猜想图形变化的规律，而在解决第（3）小题的“动态”几何问题后，可以进一步把问题“动态”化——“将图2中△PEA绕点A旋转任意角度，（2）中的结论是否仍成立？”，这样可以把学生的思维扩散到一个很大的空间。
例三、
如图3，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P、Q分别
在边AB、BC上，且AP＝BQ．
（1）求证：△BDQ≌△ADP；
（2）已知AD＝3，AP＝2，
求COS∠BPQ的值（结果保留根号）．

A
P
B
Q
C
D
图3
又如“例三”：

（3）点P、Q分别是边AB、BC上的动点，并且AP＝BQ，
①猜想：△PDQ的形状，并说明理由．
②若菱形ABCD的边长为3，猜想：点P运动到哪里时，tan∠BPQ的值为．
“例三”是2011年海南省中考题，这道题目不属于动态几何问题，但我们可以把它“动态”化，比如加上以下小题：

此题加上第（3）小题，这道题变得更加“漂亮”，对于一道起着压轴作用的题目其区分度会更好，而对于教学本身来讲，如此“动态”化，将引发学生更多的猜想，激发他们思维的火花。在动态几何问题的教学中，在遇到一些抽象的“动态”化，教师可借用几何画板、flash等软件辅助教学。
“静中求动”不仅使教学起着举一反三的作用，而且可以引发学生对图形变化规律的猜想，把握图形的变化规律，而且可以培养学生的猜想能力。 “任何一个科学理论的产生,都开始于大胆的猜想，是伟大的猜想造就了非凡的智慧。” 学生在解决猜想得到的问题的时，容易触动灵感，获得解决问题的方法——“大脑之中电光一闪，思维豁然顿悟，感叹‘原来如此’” ，领悟到图形的变化规律，顿悟到学习数学的方法，顿悟到解决动态几何问题的方法，学生也能因之领略到数学之美尽在于此。
三、引导学生综合分析，理清解题的关键
在几何证明中，综合法与分析法是两种最常用的数学方法，动态几何问题由于其复杂的图形与复杂的数量关系，教学时，可以引导学生用分析综合法，从条件与结论两头向中间推理，用综合法拓展条件，由条件向结论推理，执因索果；用分析法转化结论，由结论向条件层层假设与猜想，执果索因；这样往往更能发现解决问题的关键所在，如下面“例四”：
例四
如图4，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于H．
（1）求证：
① △BCG≌△DCE ；
② BH⊥DE；
（2）试问当点G运动到什么位置时，
BH 垂直平分DE？请说明理由．

图4（B）
F
G
E
D
B
A
C
H
F
G
E
D
B
A
C
H
图4（A）

“例四”是2005年海南省中考题，是典型的动态几何问题，其中的第（2）小题是属于较难的题型，学生不容易发现解题的关键点，但是如果用分析综合法，则容易发现解题的突破口。
如果学生只利用综合法，由条件向结论进行单向性地推理，思维很快就会受到阻碍！
所以
CE=CG
∠1＝∠2=90°
四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形
BH⊥DE （已证）

已知
？
思维受阻
所以

但是，如果再由结论往条件逆向猜想（利用分析法），效果就不一样了……。
DH=EH
BH⊥DE

则应有
BD=BE或
DG=EG
则应有
发现突破口
！
则应
BH 垂直平分DE
如果

采用分析综合法，可以很快发现“例四”的第（2）小题的解题关键—— “添加辅助线”，即“连结BD”或“连结EG”（如图4B）。我们在进行动态几何问题教学时，引导学生利用分析综合法，从已知条件出发，逐步往下推理，同时从需要证明的结论往上做假设与猜想，有助于学生理清解题的思路，找到解题的突破口。
四、引导学生分析变量，发现变量的关系
图形的运动与变化往往会引发几个量之间的相互变化，当某个量发生变化时，另一个量也会随之而发生变化，往往量与量之间的变化是相互制约的。引导学生分析线段与线段之间的相互制约性的变化、线段与面积之间的相互制约性的变化，发现图形中变量之间的联系是动态几何问题的解题途径，如例五：
例五
如图5，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

A
B
C
P
D

E
图5

“例五”是2008年海南省中考题，第（2）小题正是研究动态几何问题中的变量与变量之间的关系的一道题，点P在AC上运动，引发一些线段、一些图形也随之变化，如：
点P运动
AP变化
引发
PC
BE
CE
变
化
△PBE
△ABP
△ACP
△CDP
△CEP
变
化
引发
引发

图形之中各种“量”之间的变化往往是相互制约的，当线段AP发生或大或小的变化时线段PC、BE、CE及△PBE、△ABP、△ACP、△CDP、CEP面积也会发生相应的变化，当然图形之中别的“量”发生变化，也会引起其余的“量”的变化，我们要引导学生不要被“运动”与“变化”迷惑，分析图形之中的“变”与“不变”，分析图形之中线段与线段、线段与面积、面与面之间的相互关系，是解决初中动态几何问题的途径。
五、引导学生利用函数，探索解决的方法
“函数”揭示了某运动过程之中几个量之间的变化规律，是解决问题的模型，而动态几何问题往往隐含着“函数”。图形的运动与变化往往夹带着几个相互联系、相互制约的量，如果把其中一个当成自变量，而另一个也就是它的“函数”了。初中动态几何问题的教学中，我们要引导学生挖掘图形中隐含的“函数”，构造“函数”，用“函数解析式”解决动态几何问题。如“例六”（2008年海南省中考题）的第（2）小题：
例六
如图6，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

A
B
C
P
D

E
图6
F
G

解决第（2）的第①小题只需根据AP这个变量与BE、PF之间的相互关系就可构造出△PBE的面积y与AP的长x之间的函数关系式：
过点P作FG//AB交BC于点F，交AD于点G
设AP=x 则BF=PG=，PF=1-.
则有S△PBE=BF·PF=()
则 (0＜x＜).

“函数”是解决动态几何问题的方法，我们需要引导学生找出图形的运动与变换所显示的变量，求出函数关系式，然后利用函数关系式所反映的变化规律去解决问题，而如何构造函数关系式，教师可引导学生用“勾股定理、比例式、全等图形、图形面积”等去构造。
动态几何问题的教学策略除了以上几点之外，还有“引导学生动手实践、引导学生一题多解、引用教学软件参与等。动态几何问题灵活多变，动中有静，静中含动，分析处理其中的数量关系，可在“变”之中找“不变”，在“不变”之中猜想“变”。对于动态几何问题，我们教师要引导学生用运动与变化的眼光去研究与观察动态几何问题，化动为静，以静制动，动手实践，找到“动与静”之间的联系，找到量与量之间的联系，找到图形与图形之间的关系，合情推理，合情猜想，把握图形运动与变化的过程，找到解决问题的关键所在。动态几何问题以几何图形为载体集代数、几何于一身，以运动和变换为主线，包含丰富的数学思想方法，蕴涵与演绎着数学最美的一面，是数学中一道美丽的风景，数学因之而变得更加精彩璀璨，其精心构置的知识框架是学生攀登知识巅峰的手脚架。动态几何在图形的运动与变化之中查考学生的空间想象能力，在思维的运动之间发展学生的演绎推理能力，既折射着编制者的智慧，也考验着教师的教学智慧，有关动态几何问题的教学策略还期待着更多的探究……。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部制订．全日制义务教育数学课程标准[S]，北京师范大学出版社，2009年7月
[2] 周学军．让猜想成为开启科学大门的金钥匙[J]． 《华章·教学探索》，2006年第01期：27
[3] 徐美珍．初中动态几何教学与数学创造性思维的培养[D]． 辽宁师范大学，2005年，页码：6-7
[4] 施联华．动中取静看变化 数形结合解疑难 [J]． 《数理化解题研究》(初中版)，2012年第01期：22-25

动态几何问题创设参考（自编题）
一个动态几何问题的创设素材很多，生活中存在的图形、课本上的几何题、课外资料上的几何题都可以作为创设的素材，比如：
如图7，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120mm，
高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的
一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个
正方形零件的边长是多少？

F
G
E
D
B
A
C
H
图7

此题是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下册72页的第13题，是一道应用相似三角形的题型，把此题按点动、线动和面动均可创设出一道动态几何问题，如：
（一）点动型
如图8，△ABC是一个锐角三角形，边BC=120mm，高AD=80mm，点E是边AB上的一个动点，四边形EFHG是△ABC内部的一个矩形，且GH在BC上，EF交边AC于点F．
（1）求矩形EFHG的最大面积；
（2）当矩形EFHG的最积为最大时，
四边形EFHG是否为正方形？
请说说你的理由．

图8

（二）线动型
如图9，△ABC是一个锐角三角形，边BC=120mm，高AD=80mm，直线EF分别交AB、AC于点E、F，且EF∥BC，EG⊥BC于点G，FH⊥BC于点H，点A＇、A关于直线EF对称．
（1）当AA＇=20 mm时，求四边形EFHG的面积；
（2）若直线EF沿AD向下平移（点E在边AB上移动且不与点A、B重合），
设△A＇EF与四边形EFHG重叠部分的面积为y，线段EG的长度为x．
①求y与x函数关系式
②y是否存在最大值，如果存在，请求出这个最大值；如果不存在，请说明理由．

C

D
B
A

A＇

C
F
G
E
D
B
A
H

图9
备用图

（三）面动型
图10（A）
如图10（A），△ABC是一个锐角三角形，边BC=120mm，高AD=80mm，正方形EFHG的边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．
（1）求正方形EFHG的边长；
（2）求△BGE与△CHF的面积之和；
（3）如图10（B），若存在△A＇E＇F＇与△AEF完全重合，把△A＇E＇F＇沿AD向下平移（点A＇在高AD上），平移的速度为1mm/s，求△A＇E＇F＇与正方形EFHG重叠部分的面积y与平移的时间x(s)的函数关系式．

F
G
E
D
B
A
C
H
图10（B）
F
G
E
D
B
A
C
H

A＇
E＇
F＇

把一个几何问题赋予变化，如点、线、面的平移、旋转、对称或点、线、面有规律的运动，往往可以创造出动态几何问题。
8