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第二十六章 反比例函数 期末复习教案
一、复习目标
1、经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念
2、培养学生从函数图象中获取信息的能力，探索并理解反比例函数的主要性质。
重点难点分析：重点：反比例函数的概念及性质。 难点：反比例图像的性质
二、复习过程
★知识点回顾、
1.反比例函数的概念：一般地， （k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。（x为自变量，y为因变量，其中x不能为零）
反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数 ←→ ←→ ←→ ←→ 变量y与x成反比例，比例系数为k.
2.反比例函数的图像和性质：
(1)图象特征：①由两条曲线组成，叫做 ③图象是以 为对称中心的中心对称图形．
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于 象限；在每个象内，y随x的 ；
当k<0时，双曲线的两支分别位于 象限；在每个象限内，y随x的 ；
（3）双曲线的两支会无限接近坐标轴（ ），但不会与 。
3.反比例函数图象的几何特征:(如图1所示)
P
B
A
O
P
B
A
O
图1
（1）点P(x,y)在双曲线上都有
（2）面积不变性
长方形面积 ︳mn︱ ＝︳K︱
4. 反比例函数的实际应用
用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
（1）审题，找出题中变量之间的关系（2）建立反比例函数的模型（3）利用反比例函数的图像和性质解题。
★知识点运用：
反比例图像性质
例1正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点.AB⊥x轴于B,CD⊥y轴于D(如图),则四边形ABCD的面积为_______________

巩固练习
1.（2014•湘潭）如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（　　）

A．
3
B．
4
C．
5
D．
6

2.（2014•天水）如图，点A是反比例函数y=的图象上﹣点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为　 　．

3.（2014•抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（　　）

A．
逐渐增大
B．
不变
C．
逐渐减小
D．
先增大后减小
4.（2014•遵义）如图，反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为　 　．

例2如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)求△AOC的面积；
(3)求不等式kx+b-<0的解集(直接写出答案)

例3（2014•东昌府区模拟）如图，已知：反比例函数（x＜0）的图象经过点A（﹣2，4）、B（m，2），过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥y轴于点E，交AF于点C，连接OA．
（1）求反比例函数的解析式及m的值；
（2）若直线l过点O且平分△AFO的面积，求直线l的解析式．

巩固练习
1（2014•南通）如图，正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象相交于A（m，2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）结合图象直接写出当﹣2x＞时，x的取值范围．

2 ( 2014•广东）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

反馈检测
1（2014•黔东南州）如图，正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为（　　）

A．
1
B．
2
C．

D．

2如图，点Ａ是双曲线与直线y=-x-(k+1)在第二象限内的交点，ＡＢ⊥x轴于B，且Ｓ△ABO＝.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点Ａ、Ｃ的坐标
（3）x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值，
（4）求△AOC的面积.

扩展巩固
1.如图所示，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1 ＋S2 ＋S3＝________．

2(2014•孝感）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为　 　

3已知反比例函数和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a,b），（a+1，b+k）两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图4，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.

6．（2014•天水）如图，点A是反比例函数y=的图象上﹣点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为　2　．

考点：
反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有
专题：
代数几何综合题．
分析：
由于AB⊥x轴，根据反比例函数k的几何意义得到S△AOB=3，S△COB=1，然后利用S△AOC=S△AOB﹣S△COB进行计算．
解答：
解：∵AB⊥x轴，
∴S△AOB=×|6|=3，S△COB=×|2|=1，
∴S△AOC=S△AOB﹣S△COB=2．
故答案为：2．
点评：
本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

7．（2014•孝感）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为　6　．

专题：
计算题．
分析：
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
解答：
解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，
∴CE∥AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∵△OEC∽△OBA，
∴=．
∵双曲线的解析式是y=，即xy=k
∴S△BOD=S△COE=|k|，
∴S△AOB=4S△COE=2|k|，
由S△AOB﹣S△BOD=S△AOD=2S△DOC=18，得2k﹣k=18，
k=12，
S△BOD=S△COE=k=6，
故答案为：6．

点评：
本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．

8．（2014•遵义）如图，反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为　8　．

考点：
反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有
专题：
代数几何综合题．
分析：
设E（a，），则B纵坐标也为，代入反比例函数的y=，即可求得F的横坐标，则根据三角形的面积公式即可求得k的值．
解答：
解：设E（a，），则B纵坐标也为，
E是AB中点，所以F点横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标：，
BF=﹣=，所以F也为中点，
S△BEF=2=，k=8．
故答案是：8．
点评：
本题考查了反比例函数的性质，正确表示出BF的长度是关键．

6．（2014•抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（　　）

A．
逐渐增大
B．
不变
C．
逐渐减小
D．
先增大后减小

考点：
反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
由双曲线y=（x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式即可判定．
解答：
解：设点P的坐标为（x，），
∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，
∴四边形OAPB是个直角梯形，
∴四边形OAPB的面积=（PB+AO）•BO=（x+AO）•=+=+•，
∵AO是定值，
∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．
故选：C．
点评：
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是运用点的坐标求出四边形OAPB的面积的函数关系式．
15．（2014•南通）如图，正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象相交于A（m，2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）结合图象直接写出当﹣2x＞时，x的取值范围．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
专题：
数形结合．
分析：
（1）先把A（m，2）代入y=﹣2x可计算出m，得到A点坐标为（﹣1，2），再把A点坐标代入y=可计算出k的值，从而得到反比例函数解析式；利用点A与点B关于原点对称确定B点坐标；
（2）观察函数图象得到当x＜﹣1或0＜x＜1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方．
解答：
解：（1）把A（m，2）代入y=﹣2x得﹣2m=2，解得m=﹣1，
所以A点坐标为（﹣1，2），
把A（﹣1，2）代入y=得k=﹣1×2=﹣2，
所以反比例函数解析式为y=﹣，
点A与点B关于原点对称，
所以B点坐标为（1，﹣2）；

（2）当x＜﹣1或0＜x＜1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，﹣2x＞．
点评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．

26．（2014•广东）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
专题：
代数几何综合题．
分析：
（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据三角形面积相等，可得答案．
解答：
解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，
当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；

（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，
y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则
，
解得
一次函数的解析式为y=x+，
反比例函数y=图象过点（﹣1，2），
m=﹣1×2=﹣2；

（3）连接PC、PD，如图，
设P（x，x+）
由△PCA和△PDB面积相等得
××（x+4）=×|﹣1|×（2﹣x﹣），
x=﹣，y=x+=，
∴P点坐标是（﹣，）．

点评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．
18．（2014•东昌府区模拟）如图，已知：反比例函数（x＜0）的图象经过点A（﹣2，4）、B（m，2），过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥y轴于点E，交AF于点C，连接OA．
（1）求反比例函数的解析式及m的值；
（2）若直线l过点O且平分△AFO的面积，求直线l的解析式．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）先把A（﹣2，4）代入y=可求出k=﹣8，则可确定反比例函数的解析式为y=﹣，然后把B点坐标代入即可求出m的值；
（2）根据A、B两点坐标先求出C点坐标（﹣2，2），于是得到C点为AF的中点，则直线l过C点，然后利用待定系数法求出直线l的解析式．
解答：
解：（1）把A（﹣2，4）代入y=得k=﹣2×4=﹣8，
∴反比例函数的解析式为y=﹣，
把B（m，2）代入y=﹣得，2m=﹣8，解得m=﹣4；

（2）∵A点坐标为（﹣2，4）、B点坐标为（﹣4，2），
而AF⊥x轴，BE⊥y轴，
∴C点坐标为（﹣2，2），
∴C点为AF的中点，
∵直线l过点O且平分△AFO的面积，
∴直线l过C点，
设直线l的解析式为y=kx（k≠0），
把C（﹣2，2）代入y=kx得2=﹣2k，解得k=﹣1，
∴直线l的解析式为y=﹣x．

点评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．

解：（1）得
②-①得k=2
∴反比例函数的解析式为；
（2）由，解得，，
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（1，1）；
（3），OA与x轴所夹锐角为45°，
①当OA为腰时，由OA=OP得P1（，0），P2（-，0）；
由OA=AP得P3=（2，0）；
②当OA为底时，得P4=（1，0），
∴符合条件的点有4个，分别是（，0），（-，0），（2，0），（1，0）。