正方形性质教案.doc

正方形

教学目标
1．掌握正方形的定义、性质和判定及它们初步应用．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系．
3．通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学来提高学生的逻辑思维能力．
教学重点和难点
重点是正方形的定义及正方形与矩形、菱形的联系；
难点是正方形与矩形、菱形的关系及正方形的性质、判定的灵活运用．
教学过程设计
一、通过知识结构的教学，学习正方形的知识．
1．复习平行四边形、矩形、菱形的定义．
学生边回答，教师边用活动教具演示平行四边形演变成矩形、菱形的过程，并画出它们之间的内在联系图．(画出图4－50(a)中的四边形，平行四边形、矩形、菱形及箭头)
2．类比联想，用运动方式得出正方形的定义．

问：既然矩形、菱形都能由平行四边形运动变化得到，那么正方形呢？
启发学生将小学熟悉的正方形与平行四边形作比较，用教具演示出平行四边形形成正方形的过程，同时归纳出正方形的定义．教师板书定义并画出图4－50中的正方形及箭头①．
3．完善特殊的平行四边形的知识结构．
(1)师生共同分析正方形定义的三个要点：①是平行四边形；②有一个角是直角；③有一组邻边相等．
(2)对比正方形与矩形、菱形的定义，得出它们的联系：
①由正方形定义①，②条件可知正方形是特殊的矩形．(画出图中的箭头②及正方形集合A5和矩形集合A1)
②由正方形定义的①，③条件可知正方形是特殊的菱形．(画出图4－50中的箭头③及菱形集合A2)
③由正方形的定义的所有条件可知，正方形又是特殊的平行四边形．(画出图4－50中的集合A3)
④平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形．(画出图4－50(b)中四边形集合A4)
而且从以上过程可知，正方形既是矩形又是菱形．(集合A2与A1的公共部分)
4．从整体知识结构出发，研究正方形的性质和判定．
(1)正方形的性质．
引导学生由正方形与矩形、菱形的关系得知：正方形具有矩形和菱形的一切性质．让学生复习矩形和菱形的性质，从而得到正方形的性质．
①边：四边都相等．(性质定理1)
②角：四个角都是直角．
③对角线：相等、互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．(性质定理2)
(2)正方形的判定．
引导学生根据正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系，总结出正方形的三类判定方法：
①先判定四边形是平行四边形，再判定它是正方形；(图4－50(a)中箭头①)
②先判定四边形是矩形，再判定这个矩形又是菱形；(图4－50(a)中箭头②)
③先判定四边形是菱形，再判定这个菱形又是矩形．(图4－50(a)中箭头③)
(3)巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正方形的补充什么条件能让它成为正方形？
①四个角都相等的四边形是正方形；(×)
②四条边都相等的四边形是正方形；(×)
③对角线相等的菱形是正方形；(√)
④对角线互相垂直的矩形是正方形；(√)
⑤对角线垂直且相等的四边形是正方形(×)
⑥四边相等，有一角是直角的四边形是正方形．(√)
说明：教师通过此题让学生熟悉正方形的三类判定方法，并通过开放性的问题让学生从不同角度思考问题，培养学生思维的灵活性，创造性．
二、正方形的性质的应用
例1 如图，正方形ABCD中，

(1)一条对角线把它分成________个全等的_______三角形；
(2)两条对角线把它分成________个全等的_______三角形；
(3)对角线AC与正方形的一边所成的角为_______度；
(4)正方形的面积为64cm2，求正方形的对角线长及对角线交点O到正方形一边的距离；
(5)AB∶AO∶AC=_______．
分析：
(1)让学生熟悉本题的第(1)，(2)，(3)三小题的结论，并会灵活运用．
(2)正方形的面积既可采用矩形面积的算法——边长乘以边长，也可采用菱形面积的算法——对角线乘积之半．
(3)熟悉正方形中边长、对角线、对角线之半以及正方形的周长、面积几个量之间的数量关系．
例2 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是CD和AD上的点，EF＝AF＋CE．求：∠EBF的度数．
分析：

(1)添加辅助线将AF＋CE化归为一条线段，但需注意图中的位置关系；
(2)可延长DA到G，使AG＝CE，连结BG，将AF＋CE转化为GF，证明△GAB≌△ECB及△FBG≌△FBE，利用∠1＝∠2及∠GBF=∠EBF得到∠EBF＝45°．
例3 如图4－53，边长为a的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为DC，BC上的点，且DE＝CF．求证：①EO⊥FO；②M，N分别在OE，OF延长线上，且OM＝ON＝a，

分析：利用正方形中的基本图形“四个全等的等腰直角三角形”的性质证明△DOE≌∠COF．本题可进一步改成课本第159页的“想一想”．
三、正方形的判定的应用举例
例4 已知：如图4－54，在正方形ABCD中，A'，B'，C'，D'分别从顶点A，B，C，D沿AB，BC，CD，DA方向同时开始以同样速度向点B，C，D，A移动．求证：A'C'总与B'D'相等且垂直．

分析：
(1)条件保证AA'=BB'＝CC'＝DD'；
(2)要证明结论需先证明四边形A'B'C'D'是正方形(执果索因的分析法)．从结论分析，需选择哪一种判定方法呢？
结合已知条件可证明四个直角三角形全等，先推出四边形A'B'C'D'是菱形(由因导果的综合法)，再根据题意只需证明A'B'C'D'中有一角是直角．
(3)培养学生用运动的观点来看问题．
例5 已知：如图4－55(a)，在矩形ABCD中，AF，BH，CH和DF分别是各内角平分线，AF和BH交于E，CH和DF交于G．

(1)求证：四边形EFGH是菱形；
(2)矩形的四个外角(每顶点处的一个外角)平分线所在直线围成什么图形？为什么？
分析：
(1)引导学生选择简便的证法，根据条件选用判定方法“一组邻边相等的矩形是正方形”，因为分解基本图形图4－55(b)，可证明三个角是直角，得出四边形EFGH为矩形，再利用△AFD≌△BHC(ASA)，BE＝AE及等量公理得出EH＝EF，可以得到一组邻边相等的结论．
(2)类比联想将问题进行推广，如图4－56，矩形四个外角平分线所在直线也围成正方形，同理可证．

四、师生共同小结
正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系，并由此得出正方形的性质和判定方法．
五、作业
选用课本习题．
补充题：
1．已知：如图4－57，在正方形ABCD中，E是CF上一点，四边形BEFD是菱形．求∠BEF的度数．(150°)
2．已知：如图4－58，在正方形ABDE和ACFG中，MN过点A垂直BC于N，交EG于M．求证：M为EG中点．

3．已知：如图4－59，正方形ABCD和CEFG，延长CD到H，使DH＝CE＝BK．求证：四边形AKFH是正方形．
课堂教学设计说明
本教学过程设计需2课时完成．
本节课在一定程度上是平行四边形这一单元的总结，因若不弄清正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系，正方形的性质及判定就无从讲起，知识就会处于孤立、零散的状态．因此，可用比较的方法引出正方形的概念，并将正方形这个新知识纳入到平行四边形的旧知识结构中去，用集合的观点让学生站在一个较高的高度来俯视正方形与其它特殊的平行四边形之间的逻辑关系，从而更好地理解正方形的性质和判定．

初二数学教学案例
（正方形）

田柳初中
范文生
2003年10月