上海市七宝中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题.docx

上海市七宝中学 2020-2021 学年高二上学期 12 月月考数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
x
2
y
2
1．椭圆 + = 的焦距是_________.
1
4 3
3x + y - 2 = 0
+ = 4
截圆 x y
2．直线
得到的弦长为
．
2
2
( )
2,0
3．过点 P
+ y = 4
的切线方程为________.
的圆 x
2
2
x
y
2
2
4．双曲线 - = 的两条渐近线的夹角是_____.
1
4 8
x
y
2
2
5．已知椭圆 + = 的两个焦点为 、 ，点 P 在此圆上，且 PF PF ，则
1
F F
1
^
20 8
2
1
2
△PF F
的面积为________.
1
2
x
y2
- 2
2
6．若方程 +
=1表示椭圆，则实数 m 的取值范围为________.
m m
2
7．设 mÎR
+
=
0
- - + 3 = 0
和过定点 B 的动直线mx y m
，过定点 A 的动直线 x my
交
于点 P(x, y)
，则
PA PB
×
的最大值是
．
( )
x y
2
2
1,6
- =1
的左焦点，点 A
8．已知 F 是双曲线
，P 是该双曲线右支上的一个动点，
4 12
+ PA
的最小值为________.
则 PF
x
2
y
2
(x, y)
( ,0) 0 < < 2
|
MN
|
的
9．若椭圆 + = 上一动点 M
1
m
到定点 N m （
）的距离
4 2
m =
最小值为 1，则
________
x2
( )
P a
0 < c £1）， 点
+ y = c
,b
是该椭圆面（包括椭圆及内部）上任意
10．已知圆
一点，则a
（
2
2
+b+c
的最小值等于________.
x2
y
2
+ =1
x
= m
A
11．椭圆
的左焦点为 ，直线
F
与椭圆相交于点 、 ，当 FAB的
B
9 5
周长最大时， FAB的面积是______．

12．如图，正方形 ABCD 的边长为 20 米，圆 O 的半径为 1 米，圆心足正方形的中心，
点 、 分别在线段
P Q
、 上，若线段
AD CB
与圆 有公共点，则称点 在点 的“盲
PQ O Q P
区”中. 已知点 以 1.5 米/秒的速度从 出发向 移动，同时，点 以 1 米/秒的速度
P
A
D
Q
从 出发向 移动，则点 从 移动到 的过程中，点 在点 的育区中的时长约为
D
C
B
P
A
Q
P
________秒（精确到 0.1）
二、单选题
+ y + 4mx - 2y + 5m = 0
13．方程 x2
表示圆的充要条件是（
）
2
1
A．
4
1
1
< m <1
B．m 或m
1
m <
C．
D． m 1
4
4
14．在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若AP
m
m
l
l
，则 + 的最大值为
AD
=
+
AB
A．3
B．2
C． 5
D．2
2
x
2
y
2
+ =1
15．（2017 新课标全国卷Ⅰ文科）设 A，B 是椭圆 C：
长轴的两个端点，
3 m
若 上存在点 满足∠
M
AMB m
=120°，则 的取值范围是
C
A．(0,1] [9,+¥)
C．(0,1] [4,+¥)
(0, 3] [9,+¥)
B．
D．(0, 3] [4,+¥)
(-2,0) N(2,0)
距离乘积为常数16 的动点 的轨迹．以
P
16．曲线C 为：到两定点M
、
下结论正确的个数为（
）．
（1）曲线C 一定经过原点；
（2）曲线C 关于 x 轴对称，但不关于 轴对称；
y
（3） DMPN 的面积不大于 8；
（4）曲线C 在一个面积为 60 的矩形范围内．
A．0
B．1
C．2
D．3
三、解答题

( )
x + y = 36
17．己知一个动点M 在圆
（1）求点P 的轨迹方程.
上移动，它与定点
2
2
Q 8,0
所连线段的中点为P.
( )
D 0,-2
（2）过定点
的直线与点P 的轨迹交于A，B 两点，求弦AB 的中点C 的轨迹.
x + y + 2x - 4y + m = 0
18．已知方程
的曲线是圆C，
2
2
（1）若直线l：x + 2y -1 = 0 与圆C 相交于M、N 两点，且OM ^ ON O
（ 为坐标原
点），求实数m 的值；
（2）当m = 4 时，设T 为直线n：2x - y -1 = 0 上的动点，过T 作圆C 的两条切线TG、
TH，切点分别为G、H，求四边形TGCH 而积的最小值.
19．浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2021 年春
节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点P ，地球半径
忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为R = 700
C
A
万米）的中心F 为右焦点的椭圆 . 已知地球的近木星点 （轨道上离木星表面最近
100
的点）到木星表面的距离为 万米，远木星点B （轨道上离木星表面最远的点）到木
2500
星表面的距离为 万米.
C
（1）求如图给定的坐标系下椭圆 的标准方程；
A
O
（2）若地球在流浪的过程中，由 第一次逆时针流浪到与轨道中心 的距离为 万
ab
a,b
米时（其中 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机
突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨
k
k
道为一条直线L ，称该直线的斜率 为“变轨系数”. 求“变轨系数” 的取值范围，
使地球与木星不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）
( ) ( )
1
F -2,0 F 2,0
PF × PF = PH
2
20．己知两点
，
，动点P 在y 轴上的摄影是H，且
，
1
2
2
1
2
（1）求动点P 的轨迹方程；

1
2
k k
=
1 2
k k
（2）设直线PF ， PF 的两个斜率存在，分别记为 ， ，若
，求点 的坐
P
1
2
1
2
标；
( )
N -1,0
（3）若经过点
的直线 与动点 的轨迹有两个交点为 、 ，当
T Q
l
P
4
| NT | - | NQ |=
时，求直线 的方程.
l
7
( ) ( )
( )
, y
2
21．已知动点 M x
+ 2 + +
x y
- 2 + = 4，记 M 的轨迹为曲
满足
x
y
2
2
= kx k ¹ 0
（
PE ^ x
轴，
线 ，直 线 ：y
C
）交曲线 于 ， 两点，点 在第一象限，
P Q
l
C
P
垂足为 ，连接
E
并延长交曲线 于点 .
C G
QE
（1）求曲线 的方程，并说明曲线 是什么曲线；
C
C
（2）若k
= 2，求 PQG 的面积.
（3）求 PQG 面积的最大值.

参考答案
1．2
【解析】
分析：由椭圆方程可求a，b
，然后由 =
c
- 可求c ，进而可求焦距
a2 b2
x
2
y
2
+ =1 ,\ = 2， = 3
详解：∵椭圆
a
b
4 3
∴ =
- =1，\2 = 2.
c
a2 b2
c
即答案为 2．
点睛：本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，属基础题
2 3
2．
【解析】
-2
=1,
试题分析：因为根据圆的方程可知，圆的半径为 2，圆心（0，0）到直线的距离为 d=
1+ 3
则利用勾股定理，半弦长和点到直线的距离，和半径的关系得到，∴弦长为 2
r2 d2
-
=2
2 -1 = 2 3 ，故答案为2 3
．
2
2
考点：本题主要是考查直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式，使用弦长公式求弦长．
点评：解决该试题的关键是先求出圆心和半径，求出圆心（0，0）到直线的距离为 d，利用
弦长公式求出弦长
= 2
3． x
【解析】
【分析】
( )
根据点与圆的位置关系不同，则过该点的圆的切线情况也不同，所以先判断点P 2,0
与圆
的位置关系，再结合已知条件即可求解.
【详解】
( )
P 2,0
因为点
的坐标满足圆的方程，所以点 在圆上，如图所示：
P

= 2
所以圆的切线方程为： x
.
= 2
故答案为： x
【点睛】
本题借助于求过圆上一定点与圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系，属于基础
题.
4．p - arctan 2 2
【分析】
根据双曲线的标准方程,先求得渐近线方程,根据渐近线方程的斜率求得倾斜角,即可求得两
条渐近线方程的夹角.
【详解】
x2
y
2
- =1
4 8
双曲线的标准方程为
a = 2,b = 2 2
则
b
a
2 2
2
= ±
x = ±
x = ± 2x
所以双曲线的渐近线方程为 y
设斜率为正的直线方程的倾斜角为q ,则两条渐近线方程的夹角为2q
tan = 2
即
q
2 tanq
2 2
由二倍角公式可知tan 2q =
=
= -2 2
2 q 1- 2
1- tan
2q = p - arctan 2 2
则

故答案为: p -
arctan 2 2
【点睛】
本题考查了双曲线的标准方程及其性质,渐近线方程的求法,二倍角公式的用法,属于基础题.
5．8
【分析】
△PF F
| PF || PF |
的值即可，由椭圆的定义得式
由问题出发，欲求
的面积，则只要求出
1
2
1
2
| PF | + | PF |= 2a
子
，再将其平方后结合条件，即可求得本题结果.
1
2
【详解】
= 2 5, b = 2 2, c = 2 3
由题意可知：a
，
| PF | + | PF |= 2a = 4 5 \|
| + |
2
| +2 |
2
PF PF ——①
|| |= 80
， PF
PF
1
2
1
2
1
2
PF ^ PF \| PF | + | PF | =| F F | = (2c) = (4 3) = 48
——②
又
，
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1 2
| PF || PF |=16
联立①②解得
，
1
2
1
1
\S
= PF PF = ´16 = 8
2
2
△PF F2
1
2
1
故答案为： 8
【点睛】
| PF | ± | PF | | PF || PF |
本题考查椭圆定义的综合应用，涉及求
，
时，常将椭圆的定义式
1
2
1
2
| PF | + | PF |= 2a
D
PF F
两边左右平方，再在
中，结合勾股定理或余弦定理，来求解.
1
2
1
2
6．( 2, 2) (2, +¥)
【分析】
根据题意，方程表示椭圆，列出不等式组，解可得答案．
【详解】
ìm >
0
x2
y2
- 2 > 0
¹ 2
+
m m
ím
ï
> 2 且 m
m
解：方程
=1表示椭圆，则ï
2
，解得
- 2
2
m ¹ m - 2
î
2
Î( 2, 2) (2, +¥)
即 m
．
故答案为：( 2, 2) (2, +¥)
．

【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同，考查运
算能力，属于基础题．
7．5
【解析】
(0,0), B(1,3) P(x, y)
+ y - x - y = 0
3
试题分析：易得 A
在以 AB 为直径的圆上， PA
| AB |2
.设
，则消去m 得： x2
，所以点 P
2
PA
| + PB | =| AB | =10
^ PB
，所以
2
2
2
，
PA ´ PB £
= 5.
2
^ PB
，点 P 的轨迹是以
AB 为直径的圆.以
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA
下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.
8．
4 + 3 5
【分析】
根据点 在双曲线的两支之间，由双曲线的定义求得a ，再由双曲线的定义式与
A
PA + PF¢ ³ AF¢ 相加，进而可求得答案.
【详解】
由题意可得：a
= 2,b = 2 3, c = 4，记双曲线右焦点 F¢，作示意图如下：

¢(4,0)
点 在双曲线的两支之间，且F
，
A
\ 由双曲线的定义得： PF - PF
¢ = 2 = 4
a ——①
DPAF¢
又 在
中，
\ PA + PF¢ ³ AF¢ = (4 -1) + (0 - 6) = 3 5 ——②
2
2
由①加②得：
+
PA
³ 4+3 5 ，
PF
当且仅当点 、 、 ¢三点共线时等号成立.
A P F
+ PA
.
所以 PF
的最小值为
4 + 3 5
故答案为：
【点睛】
4 + 3 5
本题考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用.
9．1
【分析】
求出| MN |
，结合椭圆方程将 用 x 表示，利用二次函数求出其最小值且等于1 ，即可求解.
2
y
【详解】
x
2
y
2
x
2
M (x, y) 在椭圆 + = ，
1 y = 2 - ,-2 £ x £ 2
，
2
4 2
2

1
2
| MN |= (x - m) + y =
x - 2mx + m + 2
2
2
2
2
1
2
(x - 2m) - m + 2
，
0 < m < 2
=
，
2
2
当
0 < m £1时， x = 2m，
| MN | = -m + 2 =1,m =1，舍去负值；
2
min
当1< m < 2
时，
= 2,|
MN m m ，舍去.
| = 2 - =1, =1
x
min
故答案为:1.
【点睛】
本题考查椭圆上的动点到定点的距离，注意应用二次函数求最值以及分类讨论，属于中档题.
3
-
10．
4
【分析】
、b、c
根据点 在椭圆面内得到a
P
+ +
之间的关系，利用二次函数配方法，然后求出a b c 的
最小值.
【详解】
( )
P a,b
点
是椭圆面（包括椭圆及内部）上任意一点，
a2
\ + b £ c ，
2
2
1 ( ) æ 1 ö
3
3
4
a
2
2
\a + b + c ³ a + b + + b = a +1 + b +
- ³ -
2
2
ç
÷
2
2
2
4
è
ø
1
3
= -1,b = -
+ +
-
当且仅当a
时，a b c 取最小值
.
2
4
3
-
故答案为：
【点睛】
4
本题考查点与椭圆的位置关系，函数最值的应用，考查求解运算能力及转化思想.
20
11．
3
【分析】
设出椭圆的右焦点，利用椭圆的定义，可以知道当直线
x = m过椭圆右焦点时， FAB的周
长最大，这样可以求出 FAB的面积.

【详解】
E(2,0)
，显
= 9,b = 5,\c = 9 - 5 = 2
由椭圆的标准方程可知：a2
，设椭圆的右焦点为
2
+ AF = 2a, BE + BF = 2a
然有： AE
.
+ BF + AB = 2a - AE + 2a - BE + AB = 4a + AB - (AE + BE)
FAB的周长为： AF
，
+ BE ³ AB
因为 AE
，当且仅当 E 在线段 AB 上时取等号，所以 FAB的周长有最大值，
最大值为4a，此时显然直线
x m
=
过右焦点，即 m
= 2
= 2
，直线方程为 x ，代入椭圆方程
5
10
1
10 20
´4´ =
.
= ±
EF = 2a = 4, AB =
中，可求出 y
，因此
，所 以 FAB的面积为：2
3
3
3
3
20
故答案为：
3
【点睛】
本题考查了椭圆的定义的应用，考查了两点间线段最短公理的应用，考查了数学运算能力.
12．4.4
【分析】
P,Q
以O为坐标原点,建立适当的平面直角坐标系,求得
的坐标和直线 PQ 的方程,圆O方
程,运用点到直线的距离公式,以及直线和圆相交的条件,解不等式即可得到所求时长.
【详解】
以O为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系：

由题意可设 P(-10,10 +1.5t), Q(10,10- t)
，
20 - 2.5t
- (10-t) =
(x -10)
，
所以直线 PQ 的方程为： y
20
+ y =1
，
圆O方程为： x2
2
因为直线 PQ 与圆O有交点，
20 - 2.5t
+ t -10
2
8 7 -8
£1
所以
，化为3t +16t -128 = 0 ，解得
0 £ t £
，
2
20 - 2.5t 2
æ
ö
3
1+
ç
è
÷
20
ø
所以点Q 在点 的盲区中的时长约为4.4
秒.
P
故答案为：4.4
【点睛】
本题考查直线和圆的方程的应用，直线和圆的位置关系,坐标法和二次不等式的解法,属于中
档题.
13．B
【解析】
【分析】
(x + 2m) + (y -1) = 4m - 5m +1
2
由圆的方程化化为
2
2
2
，得出4m - 5m +1 > 0 ，即可求解，
得到答案.
【详解】
+ y + 4mx - 2y + 5m = 0
(x + 2m) + (y -1) = 4m - 5m +1
由题意，圆 x2
2
，可化为
2
2
2
，
1
4
(4m -1)(m -1) > 0，解得m
<
或
则 4m - 5m +1 > 0 ，即
m
1，故选 B.
2

【点睛】
本题主要考查了圆的一般方程与标准方程的应用，其中熟练把圆的一般方程化为标准方程，
得到 4m2 - 5m +1 > 0 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
14．A
【解析】
如图所示，建立平面直角坐标系.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,1 ,B 0,0 ,C 2,0 ,D 2,1 , P x, y
设 A
,
2
4
( )
=
2 + = ，
易得圆的半径 r
，即圆 的方程是 -
2
C
x
y
2
5
5
( ) ( ) ( )
AP = x, y -1 , AB = 0,-1 , AD = 2,0
，若满足
AB AD
= l + m ，
AP
2m
ìx =
x
x
m
= - ，所以 + = - + ，
,l 1
l m
y
1
则
， =
í
y
-1= -l
2
2
y
î
( )
x
x
( )
4
, y
设 = - +1，即 - +1- = 0 ，点 P x 在圆 - 2
+ = 上，
z
y
y
z
x
2
y
2
2
2
5
2- z
2
£
x
所以圆心(2,0) 到直线 - +1- = 0 的距离 £ ，即
，解得
y
z
d r
1
5
2
+1
4
1£ z £ 3，
所以 的最大值是 3，即 + 的最大值是 3，故选 A.
l m
z
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或
三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基

底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
15．A
【解析】
当0 < m < 3
时，焦点在 x 轴上，要使 上存在点 满足Ð
C
M
AMB
=120 ，则
3
a
³ tan 60 = 3 ，即
³ 3 ，得0 < £1；当 > 3时，焦点在 轴上，要使 C
m m
y
b
m
a
b
m
M
³ tan 60 = 3
m
3 ，得 ³ 9 ，故m
上存在点 满足Ð
=120 ，则
，即
³
AMB
3
的取值范围为(0,1] [9,+¥) ，选 A．
点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题
,b
的关键是利用条件确定 a 的关系，求解时充分借助题设条件ÐAMB =120
a
转化为 ³ tan 60 = 3 ，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题
b
需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．
16．B
【解析】
( )
( )
x - 2 + y =16 ，
+ 2
+ y2
设 P（x，y），则 x
2
2
2
（1）（0，0）代入，方程不成立，即曲线 C 一定经过原点，不正确；
（2）以﹣x 代替 x，﹣y 代替 y，方程成立，即曲线 C 关于 x、y 轴对称，不正确；
1
´4´2 3 = 4 3 < 8
，故正确；
（3）x=0，y=±2 3
，△MPN 的最大面积=
2
（4）令 y=0，可得 x=±2
，曲线 C 在一个面积为4 3 ´ 4 5 =16 15 的矩形范围内，不
5
正确．
故选 B．
点睛：本题主要考查直接法求动点的轨迹方程，化简后利用方程判断曲线的对称性，考查三
( )
x, y
角形的面积公式.利用直接法求动点的轨迹方程的基本过程是：设出动点的坐标
，利
( )
x, y
用题目的已知条件建立关于
的方程，化简这个方程即可得到动点的轨迹方程.
( )
- 4 + y = 9
17．（1） x
2
2

( ) ( )
-2 + y +1 = 5
（2） x
2
2
【分析】
(1)由题可知点 为被动点，点 为主动点，分别设出其坐标，找到主动点与被动点之间
M
P
+ y = 36
，化简，即可求得点 的轨迹；
P
的关系，将其代入主动点所满足的方程x
2
2
^ AB
(2)设圆心为O，联结OC ，由圆的性质知OC
，得
OC MC
^
，按照求谁设谁原理，
设出点 的坐标，然后代进去化简整理即可.
C
【详解】
x +8
ì
x =
ï
ì = 2x -8
x
( )
( )
ï
2
0
P x, y Q x
, y
í
í
0
(1)设
，
，根据中点公式得
，解得
+ 0
y = 2y
0
0
y
î
ï
y =
0
0
ï
î
2
( ) ( )
2x-8 + 2y = 36
x
2
0
+ y
2
0
= 36，得
2
2
由
( )
- 4 + y = 9
∴点 的轨迹方程是 x
P
2
2
.
( )
x, y
( )
-
4 + y = 9
(2)设弦
的中点 的坐标为
C
，设 x
2
2
圆心为O，联结OC ，
AB
^ AB
由圆的性质知OC
，得
OC MC
^
，所以
×
DC OC
=
0
(
)
(
)
= x, y + 2 OC = x - 4, y
，
又 DC
，
( ) ( ) ( ) ( )
x x - 4 + y y + 2 = 0 x
即
-2 + y +1 = 5
2
2
于是
( )
2,-1
( )
- 4 + =
5
2
9
内
因此所求点 的轨迹方程是以
C
为圆心，以
为半径，且位于圆 x
y
2
一段圆弧.
【点睛】
本题考查了相关点法求轨迹方程和直接法求轨迹方程的问题，考查理解辨析能力，属于基础
题.
4
18．（1）
5
（2）2
【分析】
(x , y ) N(x , y )
x =1- 2y , x =1- 2y
,进一步得到
(1)设 M
，
，则
1
1
2
2
1
1
2
2

x x =1- 2(y + y ) + 4y y
，联立直线方程与圆的方程 化为关于 的一元二次方程,利用韦
,
y
1 2
1
2
1 2
x x + y y = 0
m
即可求得实数 的值；
达定理结合
1 2
1 2
= 4
TG,TH
为
(2)当 m
圆C 的两条切线,可得
的距离 ，即可求得答案.
时,圆C 的方程为 x + y + 2x - 4y + 4 = 0，求出圆心坐标与半径,由于
2
2
1
S
= 2S
= 2´ ´|TG |´| CG |=|TG |
. 再求出点C 到直线
2
TGCH
DTGC
m
d
【详解】
( ) ( )
M x , y
N x , y
x =1- 2y x =1- 2y
（1）解：设
，
，则
，
，
1
1
2
2
2
1
2
2
( )( )
( )
x x =1- 2 y + y + 4y y
.
x x = 1- 2y 1- 2y
得
，即
1 2
1
2
1 2
1
2
1 2
( )
x x + y y = 0
1- 2 y + y + 5y y = 0
因为
OM ON
^
，则得
，所以
①
1 2
1 2
1
2
1 2
ìx +
2y -1= 0
5y -12y + 3+ m = 0
联立 í
，得
.
2
x + y + 2x - 4y + m = 0
î
2
2
ìm <
5
ï
21
由
得
m
<
.
í
( ) ( )
D = -
12 2 - 20 3+ m > 0
5
ï
î
12
5
3+ m
12
3+ m
y + y =
y y
=
1 2
1- 2´ + 5´
= 0
.
于是
，
. 代入①得
5
5
5
1
2
4
5
=
解得 m
，符合题意.
4
所以所求实数 的值等于 .
m
5
= 4
（2）当m
时，圆 的方程为 + + 2 - 4 + 4 = 0，
C x2 y2 x y
( )
-1, 2
( ) ( )
+1 + y - 2 =1
即 x
2
2
，所以圆 的圆心坐标是
C
，半径是 1.
1
= 2S
= 2× × TG × CG = TG
由于
、
TG TH
为 的两条切线，所以S
.
C
2
TGCH
△TGC
= CT - CG = CT -1
CT
的最小值为点 到直线 的距离 .
又 TG
d =
2
2
2
，而
C
n
d
| 2´(-1)- 2 -1|
= 5 \| | = (| | ) -1 = 2
， TG
CT
2
2
1 + 22
min
min
因此四边形
【点睛】
面积的最小值是 2.
TGCH

本题考查直线与圆的位置关系的应用,考查逻辑思维能力与推理运算能力,是中档题.
x
2
y
2
Î(-1.8,1.1)
=1；（2）k
19．（1）
+
2000 1600
2
2
【分析】
ì a -c =
700+100
（1）根据题意得í
，解方程组即可得解；
îa + c = 700+ 2500
ì +
= 3200000
x
2
y
2
æ
ö
4000 1600 5
( ) ï
0
0
P x , y
Pç
,
（2）设
，
í
ï
，解得
÷
，设出直线方程，
x
2
y
2
ç
÷
3
3
0
0
+
=1
è
ø
0
0
î 2000 1600
2
2
由焦点到直线的距离大于半径列不等式求解即可.
【详解】
ì a - c =
700+100
ì
í
î
a = 2000
c =1200
Þ
（1）由条件í
îa + c = 700+ 2500
x
2
y
2
+
=1
椭圆 C 的方程为
2000 1600
2
2
（2）设地球由近木星点 第一次逆时针运行到与轨道中心 O 的距离为
A
万米时所在位置
ab
4000
3
ì
ì +
= 3200000
x =
x
2
y
2
ï
( )
ï
ï
0
0
0
Þ
P x
, y
í
ï
í
ï
为
，则
x
2
y
2
1600 5
3
0
0
+
=1
0
0
y =
0
î 2000 1600
2
2
ï
î
æ
ö
4000 1600 5
\P
设 L
,
ç
÷
ç
÷
3
3
è
ø
1600 5
3
4000
3
1600 5 4000
æ
ö
: y -
= k x -
Þ kx - y +
-
k = 0
ç
÷
3
3
è
ø
1600 5 4000
-
k
3
3
d > R Þ
> 700
2
k +1
(
)
Þ k Î -1.8,1.1
Þ 425k2 +128 5k -839 < 0
.
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程的实际应用，考查了计算能力，属于中档题.

x
2
y
2
20．（1） + =
1
8 4
( ) ( ) ( ) ( )
P 6,1
P - 6,1
P 6, -1 P - 6, -1
或 或
（2）点
（3） y
或 P
( )
= ± 3 x +1
【分析】
( ) ( )
1
2
P x, y
H 0,y
2
PH 后
×
的坐标，代入PF PF
PH
=
=
(1)设
化简，即可求出所求;
(1)可知点 坐标设为 x
，则
，表示出PF ， PF ，
1
2
1
2
1
2
( )
, y
k
(2)由
，由两点间的斜率公式求得 ，k 并代入k k
，
化简，
P
1
2
1 2
再与(1)所得的轨迹方程联立，即可求解出点 坐标；
P
( ) ( )
P x , y
Q x , y
(3)设出
，
，再设出直线l 的方程的点斜式，让其与动点 的轨迹方程
P
1
1
2
2
联立化简得一个含斜率的一元二次方程，由韦达定理写出根与系数的关系，结合两点间的距
4
- NQ =
离公式化简 NP
，进而求出直线的斜率，得到直线l 的方程.
7
【详解】
( ) ( )
(
)
(
)
P x, y
H 0,y
= -2 - x,0 - y
PF = 2 - x,0 - y
（1）设
，则
，又
PF
，
，
1
2
( )
PH = 0 - x,0
1
1
x
2
y
2
4+ y = x
2
-
+ =1
8 4
× PF = PH
x2
∵ PF
，∴
2
2 所以动点 的轨迹方程为
P
2
2
1
2
0- y
0- y
y2
1
k =
1
k =
2
2y = x - 4
× =
=
（2）由题意得：
，
，所以k k
1
，即
2
2
-2- x
2- x
x -
2
4 2
2
x
2
y
2
+ =1
= 6
=1
， y
又由（1）可得
，所以解得 x2
2
8 4
( ) ( ) ( ) ( )
P 6,1
P - 6,1
P 6, -1 P - 6, -1
或 或
即点
或 P
( )
y = k x +1
（3）设直线方程
，联立方程组
( )
( )
ì =
+1
y k x
Þ 1+ 2k x + 4k x + 2k -8 = 0
í
2
2
2
2
x
2
+ 2y = 8
2
î
计算 D
> 0恒成立

-4k
2k -8
( ) ( )
2
2
P x , y
Q x , y
+ =
，所以 x x
× =
， x x
设
，
1+ 2k
1+ 2k
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
4
(
)
NP - NQ = = 1+ k x +1 - 1+ k x +1 = 1+ k x + x + 2
所以
2
2
2
7
1
2
1
2
æ -4
ö 2 1+
4
7
k
k
2
2
1+ k
+ 2 =
=
即
2
ç
÷
，解得k
= ± 3
1+ 2k
1+ 2k
è
2
ø
2
( )
= ± 3 x +1
直线 的方程为 y
l
【点睛】
本题考查了轨迹方程，交点坐标的求法，一元二次方程的根与系数的关系等知识，考查了理
解辨析能力与运算求解能力,属于中档题.
( ) ( )
x
2
y
2
F - 2,0
21．（1） + = ，轨迹是以
F 2,0
1
、
为焦点的椭圆
4 2
1
2
40
（2）
27
16
（3）
9
【分析】
( ) ( )
2
(1)根据 x + 2 + y + x - 2 + y = 4，由两点间的距离公式可看出，其表示动点
2
2
( )
( )
( )
M x, y
2,0
4
4 > 2 2
的距离之和为 ，且 ，可知其符合椭圆的定
与两定点 -
2,0
、
义，把相关量代入椭圆标准方程，即可求解；
P,Q
(2)写出直线l 的方程与曲线C 的方程联立，便可解出点
坐标，进而知道点 E 的坐标，
再求出直线QE 的方程后，与曲线C 的方程联立，可解出点G 的坐标，再代
1
S
= y (x - x ) 公式，即可求出面积；
2
DPQG
P
G
Q
(3)将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，解