上海市浦东区2013年中考二模数学试题.docx

浦
东新区 2013 年中考预测
数学试卷
2013.4.16
（测试时间：100 分钟，满分：150 分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草
稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的
主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．下列分数中，能化为有限小数的是
1
（A） ；
3
1
（B） ；
5
1
（C） ；
7
1
（D） ．
9
( )
2．如果 1- 2 2 = 2 -1，那么
a
a
1
（A） a < ；
2
1
（B） a £ ；
2
1
1
（C）a > ；
（D） a ³ ．
2
2
3．下列图形中，是旋转对称但不是中心对称图形的是
（A）线段； （B）正五边形； （C）正八边形；
（D）圆．
4．如果等腰三角形的两边长分别是方程 2 -10 + 21 = 0的两根，那么它的周长为
x
x
（A）10；
（B）13；
（C）17；
（D）21．
5．一组数据共有 6 个正整数，分别为 6、7、8、9、10、 n ，如果这组数据的众数和平均数相同，
那么 n 的值为
（A）6；
6．如果两圆有两个交点，且圆心距为 13，那么此两圆的半径可能为
（A）1、10； （B）5、8； （C）25、40；
（B）7；
（C）8；
（D）9．
（D）20、30．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7．8 的立方根是
8．太阳的半径为 696000 千米，其中 696000 用科学记数法表示为
▲
．
▲
．
( )
9．计算：
=
▲
．
x
3
2
k
10．已知反比例函数 = （ ¹ 0 ），点（-2，3）在这个函数的
图 像
方向，
y
k
x
上，那么当 > 0 时，y 随 x 的增大而
▲
．（增大或减小）
11．在 1~9 这九个数中，任取一个数能被 3 整除的概率是
12．如图，已知 C 岛在 A 岛的北偏东 60°方向，在 B 岛的北偏西 45°
x
▲
．
第 12 题图
那么∠ACB=
æ r
▲
度．
r
r
ö
1
2
1
ö æ r
13．化简：2ç -
÷ - 3ç
+ ÷ =
a b
▲
．
a
b
3
è
ø è
ø
14．在中考体育测试前，某校抽取了部分学生的一分钟跳
绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如图所示的统计
图．小红计算出 90~100 和 100~110 两组的频率和是
0.12，小明计算出90~100 组的频率为 0.04，结合统计
第 14 题图

图中的信息，可知这次共抽取了
15．如图，四边形 ABCD 是梯形，AD∥CB，AC＝BD 且 AC⊥BD，如果梯形的高 DE＝3，那么梯
形 ABCD 的中位线长为
16．如图，已知四边形ABCD 是边长为 2 的菱形，点 E、B C F
且∠ADE=∠CDF，那么 EF 的长度等于 ．（结果保留p ）
17．如图，将面积为12 的△ABC 沿 BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，
那么图中的四边形 ACED 的面积为
▲
名学生的一分钟跳绳测试成绩．
▲
．
、 、 都在以 为圆心的同一圆弧上，
D
▲
▲
．
18．边
长为1
的 正
方 形
内 有
一 个
正 三
D
A
D
A
D
A
F
F
E
E
B
C
B
C
C
E
B
第 16 题图
第 17 题图
第 15 题图
角形，如果这个正三角形的一个顶点与正方形的一个顶点重合，另两个顶点都在这个正方形的
边上，那么这个正三角形的边长是
▲
．
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
( )
1 -1
1
æ ö
0
计算： p - 8 - ç ÷ + 2 - 3 + 32 ．
3
3
è ø
20．（本题满分 10 分）
x + 2
16
1
先化简，再求值：
-
-
，其中 x =
3 - 2
．
x
- 2 x2 - 4 x + 2
21．（本题满分 10 分，每小题各 5 分）
已知：如图，在△ABC 中，点 在边 BC 上，将△
A
沿 直
段
E
ABE
D
线
折叠，点 恰好落在边
B
上的点 处，点 在线
AC D F
AE
的延长线上，如果ÐFCA = Ð = 2Ð
，
= 5 ，
C
AE
AC = 9
B
ACB
AB
B
E
．
BE
CF
F
求：（1）
的值；
第 21 题图
（2）CE 的值．
22．（本题满分 10 分，其中第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分）

学校组织“义捐义卖”活动，小明的小组准备自制贺年
卡进行义卖．活动当天，为了方便，小组准备了一点零钱备
用，按照定价售出一些贺年卡后，又降价出售．小组所拥有
的所有钱数 （元）与售出卡片数 x（张）的关系如图所示．
y
（1）求降价前 （元）与 x （张）之间的函数解析式，
y
并写出定义域；
（2）如果按照定价打八折后，将剩余的卡片全部卖出，
这时，小组一共有280 元（含备用零钱），求该小组一共准
备了多少张卡片．
第 22 题图
23．（本题满分 12 分，每小题各 6 分）
M
D
C
已知：平行四边形 ABCD 中，点 M 为边 CD 的中点，
点 N 为边 AB 的中点，联结 AM、CN．
（1）求证：AM∥CN．
H
（2）过点 B 作 BH⊥AM，垂足为 H，联结 CH．
求证：△BCH 是等腰三角形．
A
B
N
第 23 题图
24．（本题满分 12 分，其中第（1）小题 3 分，第
题 4 分，第（3）小题 5 分）
（2）小
已知：如图，点 A（2，0），点 B 在 轴正半
轴上，且
y
1
OB = OA．将点 B 绕点 A 顺时针方向旋转90 至
点 C．旋
2
5
转前后的点B和点C都在抛物线 y = - x2 + bx + c
上．
6
（1）求点 B、C 的坐标；
（2）求该抛物线的表达式；
（3）联结 AC，该抛物线上是否存在异于点B 的点
D，使点 D 与 AC 构成以 AC 为直角边的等腰
角三角形？如果存在，求出所有符合条件的 D
坐标，如果不存在，请说明理由．
直
点
第 24 题图
25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）、（3）小题各 5 分）

1
2
已知：如图，在 Rt△ ABC 中，Ð = 90 ， BC = 4 ，
tan ÐCAB =
，点O 在边 AC 上，以
C
点O 为圆心的圆过 、 两点，点 为
（1）求⊙O 的半径；
（2）联结
上一动点.
A B P AB
并延长，交边CB 延长线于点 ，设 AP = x ，
= ，求 关于 x 的函数解析式，
BD y
AP
D
y
并写出定义域；
（3）
A
A
联 结
，
BP
P
当 点
O
O
是
P
AB 的
中 点
时 ，求
△
C
B
D
C
B
备用图
第 25 题图
ABP 的面积与△ABD 的面积比
SDABP 的值．
S
DABD

浦东新区 2013 年中考预测
数学试卷参考答案及评分标准
20130416
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．B；2．D；3．B；4．C；5．C；6．D．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
1
3
7．2；
8．6.96´10 ； 9． x ； 10．增大； 11． ；
12．105；
5
6
4
13． a - 4b； 14．150；
15．3；
16． p ； 17．36；
18． 6 - 2 ．
3
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．解：原式=1- 3 + 2 - 3 + 3 …………………………………………………… （8 分)
=0．………………………………………………………………………（2 分）
x + 2
x - 2
16
( )( )
1
20．解：原式=
-
-
………………………………………（1 分）
x - 2 x + 2
x + 2
( )
( )
x + 2 -16 - x - 2
2
=
=
………………………………………………（2 分）
( )( )
x - 2 x + 2
x + 4x + 4 -16 - x + 2
2
……………………………………………（2 分）
( )( )
x - 2 x + 2
x + 3x -10
2
=
=
=
…………………………………………………………（1 分）
…………………………………………………………（1 分）
( )( )
x - 2 x + 2
( )( )
x + 5 x - 2
( )( )
x - 2 x + 2
x + 5
．………………………………………………………………（1 分）
x + 2
3 + 3
x = 3 - 2
=1+
3 ．………………………………（2 分）
当
时，原式=
3
21．解：（1）∵△ABE≌△ADE，∴∠BAE=∠CAF．
∵∠B=∠FCA，∴△ABE∽△ACF．…………………………………（2 分）
BE AB
∴
=
．…………………………………………………………（1 分）
BE 5
CF AC
∵AB=5，AC=9，∴
= ．…………………………………………（2 分）
CF 9
（2）∵△ABE∽△ACF，∴∠AEB=∠F．
∵∠AEB=∠CEF，∴∠CEF =∠F．∴CE=CF．……………………（1 分）
∵△ABE≌△ADE，∴∠B=∠ADE，BE=DE．
∵∠ADE=∠ACE+∠DEC，∠B=2∠ACE，∴∠ACE=∠DEC．
∴CD=DE=BE=4．………………………………………………………（2 分）
BE 5 CD 5
∵
= ，∴ = ．
CF 9 CE 9
36
5
∴CE =
2
22
．……………………………………………………………（ 分） ．解：

（1）根据题意，可设降价前 关于 x 的函数解析式为
y
y = kx + b
（ k ¹ 0 ）．…………………………………………………（1 分）
ì
í
î
( ) (
)
b
= 50,
将 0,50 ， 30,200 代入得
…………………………（2 分）
30k + b = 200.
ì =
5,
k
解得
……………………………………………………………（1 分）
í
b = 50.
î
∴ = 5 + 50．（0 £ x £ 30 ）…………………………………（1 分，1 分）
y
x
（2）设一共准备了a 张卡片．………………………………………………（1 分）
( )
根据题意，可得50 + 5´ 30 + 5´80% ´ a - 30 = 280 ．………………（2 分）
解得a = 50 ．
答：一共准备了50 张卡片．……………………………………………（1 分）
23．证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD 且 AB=CD．…………（2 分）
∵点 M、N 分别是边 CD、AB 的中点，
1
1
∴CM = CD ， AN = AB ．………………………………………（1 分）
2
2
∴
CM AN
=
．…………………………………………………………（1 分）
又∵AB∥CD，∴四边形 ANCM 是平行四边形．……………………（1 分）
∴AM∥CN．……………………………………………………………（1 分）
（2）将 CN 与 BH 的交点记为 E．
∵BH⊥AM，∴∠AHB=90 º．
∵AM∥CN，∴∠NEB=∠AHB=90 º．即 CE⊥HB．………………（2 分）
BN EB
∵AM∥CN，∴
=
AN EH
．………………………………………（2 分）
∵点 N 是 AB 边的中点，∴AN=BN．∴EB=EH．…………………（1 分）
∴CE 是 BH 的中垂线．∴CH=CB．………………………………（1 分）
即△BCH 是等腰三角形．

24．解：
（1）∵A（2，0），∴OA = 2 ．
1
∵OB
=
OA，∴OB =1．
2
∵点 B 在 轴正半轴上，∴B（0，1）．……（1 分）
y
根据题意画出图形．
过点 C 作 CH⊥ x 轴于点 H，
可得 Rt△BOA≌Rt△AHC．可得
=1，CH = 2 ．
AH
∴C（3，2）．……………………………………………………………………（2 分）
5
（2）∵点 B（0，1）和点 C（3，2）在抛物线 y = - x + bx + c 上．
2
6
c
=1,
ì
í
î c
17
ì
ï
ï = ,
b
5
…………………………………………（3 分）
∴
解得
í
6
- ´ 9 + 3b + c = 2.
ï
î 6
ï =1.
5
17
∴该抛物线的表达式为 y = - x +
x + ．………………………………（1 分）
1
2
6
6
（3）存在．……………………………………………………………………………（1 分）
设以 AC 为直角边的等腰直角三角形的另一个顶点P 的坐标为（ x ， ）．
y
（ⅰ）ÐPAC
=
90
，AC=AP．
o
过点 P 作 PQ⊥ x 轴于点 Q，
可得 Rt△QPA≌Rt△HAC．
∴ （4，-1）．（另一点与点B（0，1）重
合 ， 舍
P
1
去）．…………………………………………（1 分）
（ⅱ）ÐPCA
=
90
，AC=PC．
o
过点 P 作 PQ 垂直于直线 = ，垂足为点 Q，
2
y
可得 Rt△QPC≌Rt△HAC．
∴ P （1，3）， P （5，1）．……………………………………………………（1 分）∵ P 、
2
3
1
5
P 、 P 三点中，可知 P 、 P 在抛物线 y
= - x + bx + c 上．……………（1 分）
2
6
2
3
1
2
∴ 、 即为符合条件的 D 点．
P P
1
2
∴D 点坐标为（4，-1）或（1，3）．…………………………………………………（1 分）

25．解：
（1）联结 OB．
A
在 Rt△ ABC 中，Ð = 90 ，
C
o
1
2
BC = 4 ，
tan ÐCAB =
，
P
O
∴AC=8．………………………………（1 分）
设OB = x ，则OC = 8 - x ．
C
B
D
在 Rt△OBC 中，Ð = 90 ，
C
o
( )
2
∴ = 8 -
+ 4 ．……………………………………………………………（2 分）
x
x
2
2
解得 x = 5，即⊙O 的半径为 5．………………………………………………（1 分）
（2）过点 O 作 OH⊥AD 于点 H．
∵OH 过圆心，且 OH⊥AD．
A
1
2
1
2
∴
=
=
．………………………（1 分）
x
AH
AP
P
在 Rt△
AOH 中，可得OH
= AO - AH
2
2
O
x
100 - x
2
2
即OH
=
25 -
=
1
．…………（ 分）
4
2
C
B
D
在△ AOH 和△ ACD 中，
ÐC = ÐOHA，ÐHAO = ÐCAD ，∴△AOH∽△ADC．……………………（1 分）
100 - x2
x
OH AH
2
2
∴
=
CD AC
．即
= ．
4 + y
8
8 100 - x
2
得 =
- 4 ．………………………………………………………（1 分）
y
x
定义域为0 < x < 4 5
．…………………………………………………………（1 分）
（3）∵ 是 AB 的中点，∴AP=BP．∵AO=BO，∴PO 垂直平分 AB．
P
设ÐCAB
= a ，可求得ÐABO = a ，ÐCOB = 2a ，ÐOBC
= 90 - 2a ，
o
ÐAOP = 90 -a ，ÐABD = 90 + a ，ÐAPB = 2ÐAPO = 90 + a ．
o
o
o
∴ÐABD
= ÐAPB
．
∴△ABP∽△ABD．…………………………（1 分）
2
S
S
æ AP ö
= ç
∴
÷ ．………………………（1 分）
DABP
DABD
è AB ø
ÐABP = ÐD ．
由 AP=BP 可得ÐABP
= ÐPAB
．
∴ÐPAB
D
= Ð ．
∴ BD = AB =
4 5
，即
= 4 5
．…………（1 分）
y
8 100 - x
2
由 =
- 4 可得 2 = 50 -10 5 ，即
AP2 = 50 -10 5 ．………（1 分）
y
x
x
2
÷ =
50 -10 5 5 - 5
S
æ AP ö
= ç
=
．……………………………………（1 分）
DABP
80
8
S
è AB ø
DABD

24．解：
（1）∵A（2，0），∴OA = 2 ．
1
∵OB
=
OA，∴OB =1．
2
∵点 B 在 轴正半轴上，∴B（0，1）．……（1 分）
y
根据题意画出图形．
过点 C 作 CH⊥ x 轴于点 H，
可得 Rt△BOA≌Rt△AHC．可得
=1，CH = 2 ．
AH
∴C（3，2）．……………………………………………………………………（2 分）
5
（2）∵点 B（0，1）和点 C（3，2）在抛物线 y = - x + bx + c 上．
2
6
c
=1,
ì
í
î c
17
ì
ï
ï = ,
b
5
…………………………………………（3 分）
∴
解得
í
6
- ´ 9 + 3b + c = 2.
ï
î 6
ï =1.
5
17
∴该抛物线的表达式为 y = - x +
x + ．………………………………（1 分）
1
2
6
6
（3）存在．……………………………………………………………………………（1 分）
设以 AC 为直角边的等腰直角三角形的另一个顶点P 的坐标为（ x ， ）．
y
（ⅰ）ÐPAC
=
90
，AC=AP．
o
过点 P 作 PQ⊥ x 轴于点 Q，
可得 Rt△QPA≌Rt△HAC．
∴ （4，-1）．（另一点与点B（0，1）重
合 ， 舍
P
1
去）．…………………………………………（1 分）
（ⅱ）ÐPCA
=
90
，AC=PC．
o
过点 P 作 PQ 垂直于直线 = ，垂足为点 Q，
2
y
可得 Rt△QPC≌Rt△HAC．
∴ P （1，3）， P （5，1）．……………………………………………………（1 分）∵ P 、
2
3
1
5
P 、 P 三点中，可知 P 、 P 在抛物线 y
= - x + bx + c 上．……………（1 分）
2
6
2
3
1
2
∴ 、 即为符合条件的 D 点．
P P
1
2
∴D 点坐标为（4，-1）或（1，3）．…………………………………………………（1 分）

25．解：
（1）联结 OB．
A
在 Rt△ ABC 中，Ð = 90 ，
C
o
1
2
BC = 4 ，
tan ÐCAB =
，
P
O
∴AC=8．………………………………（1 分）
设OB = x ，则OC = 8 - x ．
C
B
D
在 Rt△OBC 中，Ð = 90 ，
C
o
( )
2
∴ = 8 -
+ 4 ．……………………………………………………………（2 分）
x
x
2
2
解得 x = 5，即⊙O 的半径为 5．………………………………………………（1 分）
（2）过点 O 作 OH⊥AD 于点 H．
∵OH 过圆心，且 OH⊥AD．
A
1
2
1
2
∴
=
=
．………………………（1 分）
x
AH
AP
P
在 Rt△
AOH 中，可得OH
= AO - AH
2
2
O
x
100 - x
2
2
即OH
=
25 -
=
1
．…………（ 分）
4
2
C
B
D
在△ AOH 和△ ACD 中，
ÐC = ÐOHA，ÐHAO = ÐCAD ，∴△AOH∽△ADC．……………………（1 分）
100 - x2
x
OH AH
2
2
∴
=
CD AC
．即
= ．
4 + y
8
8 100 - x
2
得 =
- 4 ．………………………………………………………（1 分）
y
x
定义域为0 < x < 4 5
．…………………………………………………………（1 分）
（3）∵ 是 AB 的中点，∴AP=BP．∵AO=BO，∴PO 垂直平分 AB．
P
设ÐCAB
= a ，可求得ÐABO = a ，ÐCOB = 2a ，ÐOBC
= 90 - 2a ，
o
ÐAOP = 90 -a ，ÐABD = 90 + a ，ÐAPB = 2ÐAPO = 90 + a ．
o
o
o
∴ÐABD
= ÐAPB
．
∴△ABP∽△ABD．…………………………（1 分）
2
S
S
æ AP ö
= ç
∴
÷ ．………………………（1 分）
DABP
DABD
è AB ø
ÐABP = ÐD ．
由 AP=BP 可得ÐABP
= ÐPAB
．
∴ÐPAB
D
= Ð ．
∴ BD = AB =
4 5
，即
= 4 5
．…………（1 分）
y
8 100 - x
2
由 =
- 4 可得 2 = 50 -10 5 ，即
AP2 = 50 -10 5 ．………（1 分）
y
x
x
2
÷ =
50 -10 5 5 - 5
S
æ AP ö
= ç
=
．……………………………………（1 分）
DABP
80
8
S
è AB ø
DABD