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2017一模理科数学答案
一、选择题
1-6：ACBABA 7-12：ACCDAB
二、填空题
13.； 14.； 15. ； 16.
三、17.解：
（Ⅰ） ——1分
由正弦定理得， ——2分
即 ——4分
结合余弦定理，有，． ——6分
（Ⅱ）法一：
——8分
所以，（当且仅当时取等）
——10分
所以 ——12分
法二：，
．——10分
，
即时，取到最大值．——12分
18．解：（Ⅰ）
男士
女士
合计
赞同
9
6
15
不赞同
6
9
15
合计
15
15
30
——2分
——4分
没有90％的把握认为该地区市民是否赞同“延迟退休”与性别有关
——6分
（Ⅱ）
0
1
2
3
——10分
——12分
19．解：
（Ⅰ）证明：为正三角形，点为的中点，
，平面，
平面，从而．——2分
连接，，，
则 ——4分
又
平面.——6分
（Ⅱ）设点为的中点，连接，则平面.
以为原点，分别为轴、轴、
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. ——7分
则，
，
设平面的法向量为，
由得，.——8分
设平面的法向量
得令得 ——10分
设向量夹角为，则 ——11分
从而二面角的余弦值为.——12分
20．解：
（Ⅰ）由题意，，，
解得.椭圆的标准方程为.——4分
（Ⅱ）假设存在定点,使得向量为定值.
①当直线斜率不为时，椭圆左焦点，设直线的方程为.联立，消去，得
设，则.——6分
,
——8分
若为定值，则，即，此时；
——10分
②当直线斜率为时，，亦符合题意；——11分
存在点,使得向量为定值.——12分
21．解：
（Ⅰ）. ——1分
令，
①当时，， ，函数在上单调递增；
——2分
②当时，，所以，即.函数在上单调递增； ——3分
③当时，，令，得.
在和上单调递增，在单调递减
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在单调递减 ——6分
（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）
（Ⅱ）存在，使得成立.
存在使得且成立.
且.
由（Ⅰ）知， 时在上单调递增，，.
——8分
，时，.
由可知，，此时.
——9分
且.
且恒成立.
且
；——10分
，——11分
又. ——12分
22．选修4—4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）直线： ——3分
曲线的普通方程为. ——5分
（Ⅱ）: ，即. ——6分
圆的圆心到直线的距离. ——9分
所以. ——10分
23．选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）因为， ——3分
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. ——5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由柯西不等式得.
——7分
即，当且仅当，即时，等号成立.
所以，的最小值为． ——10分
另法：因为，所以，则
——7分
当时，取最小值，最小值为． ——10分
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