辽宁省丹东市四校协作体2012届上学期高三年级摸底测试(零诊)数学试卷(理科).doc

辽宁省丹东市四校协作体2012届上学期高三年级摸底测试（零诊）数学试卷
（理科）

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知△内角A、B、C所对的边长分别为，若，，，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知四棱锥的俯视图是边长为2的正方形及其对角线（如下图），主视图与左视图都是边长为2的正三角形，则其全面积是
（A）
（B）
（C）8
（D）12
（4）已知是△所在平面上任意一点，若，
则△一定是
（A）直角三角形 （B）等腰直角三角形
（C）等腰三角形 （D）等边三角形
（5）若是自然对数的底数，则
（A） （B） （C） （D）
（6）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测
评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平
均成绩超过甲的平均成绩的概率为
（A） （B） （C） （D）
（7）已知，，那么
（A） （B） （C） （D）
（8）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列5个命题：
①若，，则；
②若，，，则；
③若，，，则；
④若，，，则；
⑤若，，，则．
其中正确命题的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（9）设函数是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若数列
是等差数列，且，则的值
（A）恒为正数 （B）恒为负数 （C）恒为0 （D）可正可负
（10）已知实数、满足约束条件，若使得目标函数取最大值时有唯一最优解，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（11）函数的值域是
（A） （B）
（C） （D）
（12）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）复平面内，复数（是虚数单位）对应的点在第 象限；
（14）执行右边的程序框图，若输入时，那么输出的 ；

（15）在△中，若，，，则
的角平分线所在直线的方程是 ；

（16）已知数列中，，，

……

，，则右图
中第9行所有数的和为 ．

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知是函数图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）作出函数在上的图象简图（不要求书写作图过程）．

（18）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，平面侧面．
（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线与平面所成角是，锐二面角的平面角是，试判断与的大小关系，并予以证明．

（19）（本小题满分12分）
如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依次类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到
正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是．记小球遇到第行第个
障碍物（从左至右）上顶点的概率为．
（Ⅰ）求，的值，并猜想的表达式（不必证明）；
（Ⅱ）已知，设小球遇到第6行第个障碍物（从左至右）上顶点时，得到的分数为，试求的分布列及数学期望．

（20）（本小题满分12分）
已知椭圆经过点，一个焦点是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆与轴的两个交点为、，点在直线上，直线、分别与椭圆交于、两点．试问：当点在直线上运动时，直线是否恒经过定点？证明你的结论．

（21）（本小题满分12分）
已知，设函数，．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若是自然对数的底数，当时，是否存在常数、，使得不等式对于任意的正实数都成立？若存在，求出、的值，若不存在，请说明理由．

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙O是△的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．
（Ⅰ）求证：CD=DE·DB；
A
C
B
O．
E
D
（Ⅱ）若，O到AC的距离为1，求⊙O的半径．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原
点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求直线的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，求．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设正有理数是的一个近似值，令．
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）求证：比更接近于．

方法3：∵，∴最值是，
………………（2分）
∵是函数图象的一条对称轴，∴，
………………（4分）
∴，
整理得，∴； ………………（6分）

（II）方法1：连接CD，则由（I）知是直线AC与平面A1BC所成的角，
………………（8分）
是二面角A1—BC—A的平面角，即，
………………（10分）
在Rt△ADC中， ，在Rt△ADB中，，
由AC AB，得又所以
………………（12分）
方法2：设AA1=a，AB=b，BC=c，由（I）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 B(0，0，0)， A(0，b，0)，C(c，0，0)，，b，a)，
∴(c，0，0)，( 0，b，a)，…………（7分）
( c，-b，0)，设平面A1BC的一个，

（19）（本小题满分12分）
解：（I） ， ………………（2分）
， ………………（4分）
猜想； ………………（6分）
（II）3,2,1， ………………（7分）
，
，

3
2
1

………………（10分）
． ………………（12分）
（20）（本小题满分12分）
解：（I）方法1：椭圆的一个焦点是 ，

（II）方法1：当点在轴上时，、分别与、重合，
若直线通过定点，则必在轴上，设，………………（6分）
当点不在轴上时，设，、，，
直线方程，方程，
代入得，
解得，，
∴， ……………（8分）
代入得
解得，，
∴， ………………（10分）
∵，
∴，
∴，，
∴当点在直线上运动时，直线恒经过定点．
……………（12分）
方法2：直线恒经过定点，证明如下：
当斜率不存在时，直线即轴，通过点，……………（6分）
当点不在轴上时，设，、，，

方法3：∵、、三点共线， 、、三点也共线，
∴是直线与直线的交点，
当斜率存在时，设：，代入，
得，，，
直线方程，直线方程，
分别代入，得，，
∴，即，
，
∴对任意变化的都成立，只能，
∴直线，通过点
当斜率不存在时，直线即轴，通过点，……………（10分）
∴当点在直线上运动时，直线恒经过定点．
……………（12分）
（21）（本小题满分12分）

设，

+
0
-

极大值

∴当时，函数取得最大值，∴恒成立；
………………（10分）
∵，
∴在时恒成立；
∴当时，，． ………………（12分）
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
（I）证明：∵，
∴，又，
∴△～△，∴，
∴CD=DE·DB； ………………（5分）
（II）解：连结OD，OC，设OD交AC于点F，

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
证明：（I）
∵，∴，而，
∴； ………………（5分）
（II）∵
，
∵，，，
∴，即，
∴比更接近于． ………………（10分）
年级
高三
学科
数学
版本

期数

内容标题
辽宁省丹东市四校协作体2012届上学期高三年级摸底测试（零诊）数学试卷（理科）（通用版）
分类索引号
G.622.46
分类索引描述
统考试题与题解
主题词
辽宁省丹东市四校协作体2012届上学期高三年级摸底测试（零诊）数学试卷（理科）（通用版）
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