江苏省扬州市2018届高三第一次模拟考试数学.doc

2018届高三年级第一次模拟考试(六)
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－x)2，其中x＝xi.
棱锥的体积V＝Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.若集合A＝{x|1<x<3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝________．
2.若复数(a－2i)(1＋3i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．
3.若数据31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的标准差是________．
4.为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图．根据此图估计该校2 000名男生中体重在70～78(kg)的人数为________．

(第4题) (第5题)
5. 运行如图所示的流程图，输出的结果是________．
6. 已知从2名男生2名女生中任选2人，则恰有1男1女的概率为________．
7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为________．
8. 若实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．
9.已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a4，a3，6a5成等差数列，且a3＝3a，则S3＝________．
10．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．
11．已知函数f(x)＝sinx－x＋，则关于x的不等式f(1－x2)＋f(5x－7)<0的解集为________．
12．已知正△ABC的边长为2，点P为线段AB中垂线上任意一点，Q为射线AP上一点，且满足·＝1，则||的最大值为________．
13．已知函数f(x)＝若存在实数k使得该函数的值域为[－2，0]，则实数a的取值范围是________．
14．已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y2＝1，则12x2＋8xy－y2的最小值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．
(1) 证明：B1C1∥平面A1DE；
(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，证明：AB⊥DE.

16. (本小题满分14分)
已知在△ABC中，AB＝6，BC＝5，且△ABC的面积为9.
(1) 求AC的长度；
(2) 当△ABC为锐角三角形时，求cos的值．

17. (本小题满分14分)
如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P，Q分别在射线OA和OB上．经测量得，扇形OPQ的圆心角(即∠POQ)为、半径为1千米．为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA，OB交于M，N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点S，设∠POS＝α(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计．
(1) 试将公路MN的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围；
(2) 试确定α的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值.

18.(本小题满分16分)
已知椭圆E1：＋＝1(a>b>0)，若椭圆E2：＋＝1(a>b>0，m>1)，则称椭圆E2与椭圆E1“相似”．
(1) 求经过点(，1)，且与椭圆E1：＋y2＝1“相似”的椭圆E2的方程；
(2) 若m＝4，椭圆E1的离心率为，点P在椭圆E2上，过点P的直线l交椭圆E1于A，B两点，且＝λ，
①若点B的坐标为(0，2)，且λ＝2，求直线l的方程；
②若直线OP，OA的斜率之积为－，求实数λ的值．

19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax＋b，a，b∈R.
(1) 若g(－1)＝0，且函数g(x)的图象是函数f(x)图象的一条切线，求实数a的值：
(2) 若不等式f(x)>x2＋m对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围；
(3) 若对任意实数a，函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点，求实数b的取值范围．

20.(本小题满分16分)
已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝a＋an，数列{bn}满足b1＝，2bn＋1＝bn＋.
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 设数列{cn}满足cn＝，求c1＋c2＋…＋cn的值；
(3) 是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使得bp，bq，br成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p，q，r的值；若不存在，请说明理由．

2018届高三年级第一次模拟考试(六)
数学附加题
(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知x，y∈R，若点M(1，1)在矩阵A＝对应的变换作用下得到点N(3，5)，求矩阵A的逆矩阵A－1.

C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数，m是常数)．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ.
(1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2) 若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且PQ＝2，求实数m的值．

22.(本小题满分10分)
扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习，每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所．
(1) 求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率；
(2) 设X，Y分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．

23．(本小题满分10分)
二进制规定：每个二进制数由若干个0，1组成，且最高位数字必须为1.若在二进制中，Sn是所有n位二进制数构成的集合，对于an，bn∈Sn，M(an，bn)表示an和bn对应位置上数字不同的位置个数．例如当a3＝100，b3＝101时，M(a3，b3)＝1；当a3＝100，b3＝111时，M(a3，b3)＝2.
(1) 令a5＝10 000，求所有满足b5∈S5，且M(a5，b5)＝2的b5的个数；
(2) 给定an(n≥2)，对于集合Sn中的所有bn，求M(an，bn)的和．
2018届扬州高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
1．{2}　2. －6　3. 2　4. 240　5. 94　6.
7. 　8. 　9. 　10.
11．(2，3)　12. 　13. 　14.
15. 解析：(1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形B1BCC1是矩形，所以B1C1∥BC.(2分)
在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，
故BC∥DE，所以B1C1∥DE.(4分)
又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，
所以B1C1∥平面A1DE.(7分)
(2) 在平面ABB1A1内，过点A作AF⊥A1D，垂足为F.
因为平面A1DE⊥平面A1ABB1，平面A1DE∩平面A1ABB1＝A1D，AF⊂平面A1ABB1，所以AF⊥平面A1DE.(11分)
又DE⊂平面A1DE，所以AF⊥DE.
在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，所以A1A⊥DE.
因为AF∩A1A＝A，AF⊂平面A1ABB1，A1A⊂平面A1ABB1，所以DE⊥平面A1ABB1.
因为AB⊂平面A1ABB1，所以DE⊥AB.(14分)

16. 解析：(1) 因为S△ABC＝AB×BC×sinB＝9，又AB＝6，BC＝5，所以sinB＝.(2分)
又B∈(0，π)，
所以cosB＝±＝±.(3分)
当cosB＝时，
AC＝＝＝.(5分)
当cosB＝－时，
AC＝＝＝.
所以AC＝或.(7分)
(2) 由△ABC为锐角三角形得B为锐角，
所以AB＝6，AC＝，BC＝5，
所以cosA＝＝.
又A∈(0，π)，所以sinA＝＝，(9分)
所以sin2A＝2××＝，
cos2A＝－＝－，(12分)
所以cos＝cos2Acos－sin2Asin＝.(14分)
17. 解析：(1) 因为MN与扇形弧PQ相切于点S，
所以OS⊥MN.
在Rt△OSM中，因为OS＝1，∠MOS＝α，所以SM＝tanα.
在Rt△OSN中，∠NOS＝－α，所以SN＝tan，
所以MN＝tanα＋tan＝，(4分)
其中<α<.(6分)
(2) 因为<α<，所以tanα－1>0.
令t＝tanα－1>0，则tanα＝(t＋1)，
所以MN＝， (8分)
由基本不等式得MN≥·＝2，(10分)
当且仅当t＝，即t＝2时等号成立. (12分)
此时tanα＝，由于<α<，
故α＝，MN＝2千米．(14分)
18. 解析：(1) 设椭圆E2的方程为＋＝1，代入点(，1)得m＝2，
所以椭圆E2的方程为＋＝1.(3分)
(2) 因为椭圆E1的离心率为，故a2＝2b2，
所以椭圆E1：x2＋2y2＝2b2.
又椭圆E2与椭圆E1“相似”，且m＝4，
所以椭圆E1：x2＋2y2＝8b2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，直线l1：y＝kx＋2，
①方法一：由题意得b＝2，所以椭圆E1：x2＋2y2＝8，将直线l：y＝kx＋2，代入椭圆E1：x2＋2y2＝8得(1＋2k2)x2＋8kx＝0，
解得x1＝，x2＝0，故y1＝，y2＝2，
所以A.(5分)
又＝2，即B为AP中点，
所以P，(6分)
代入椭圆E2：x2＋2y2＝32得＋2＝32，
即20k4＋4k2－3＝0，即(10k2－3)(2k2＋1)＝0，所以k＝±，
所以直线l的方程为y＝±x＋2.(8分)
方法二：由题意得b＝2，所以椭圆E1：x2＋2y2＝8，E2：x2＋2y2＝32，
设A(x，y)，B(0，2)，则P(－x，4－y)，
代入椭圆得解得y＝，
故x＝±，(6分)
所以k＝±，
所以直线l的方程为y＝±x＋2.(8分)
②方法一： 由题意得x＋2y＝8b2，x＋2y＝2b2，x＋2y＝2b2，
·＝－，即x0x1＋2y0y1＝0，
因为＝λ，所以(x0－x1，y0－y1)＝λ(x2－x1，y2－y1)，解得(12分)
所以＋2＝2b2，
则x＋2(λ－1)x0x1＋(λ－1)2x＋2y＋4(λ－1)y0y1＋2(λ－1)2y＝2λ2b2，
(x＋2y)＋2(λ－1)(x0x1＋2y0y1)＋(λ－1)2(x＋2y)＝2λ2b2，
所以8b2＋(λ－1)2·2b2＝2λ2b2，即4＋(λ－1)2＝λ2，所以λ＝.(16分)
方法二：不妨设点P在第一象限，设直线OP：y＝kx(k>0)，代入椭圆E2：x2＋2y2＝8b2，
解得x0＝，则y0＝，
因为直线OP，OA的斜率之积为－，所以直线OA：y＝－x，代入椭圆E1：x2＋2y2＝2b2，
解得x1＝－，则y1＝
因为＝λ，所以(x0－x1，y0－y1)＝λ(x2－x1，y2－y1)，
解得
所以＋2＝2b2，则x＋2(λ－1)x0x1＋(λ－1)2x＋2y＋4(λ－1)y0y1＋2(λ－1)2y＝2λ2b2，
(x＋2y)＋2(λ－1)(x0x1＋2y0y1)＋(λ－1)2(x＋2y)＝2λ2b2，
所以8b2＋2(λ－1)[·＋2··]＋(λ－1)2·2b2＝2λ2b2，
即8b2＋(λ－1)2·2b2＝2λ2b2，即4＋(λ－1)2＝λ2，所以λ＝.
19. 解析：(1) 由g(－1)＝0知，g(x)的直线图象过点(－1，0)．
设切点坐标为T(x0，y0)，由f′(x)＝ex得切线方程是y－ex0＝ex0(x－x0)，
此直线过点(－1，0)，故0－ex0＝ex0(－1－x0)，解得x0＝0，所以a＝f′(0)＝1.(3分)
(2) 由题意得m<ex－x2，x∈(0，＋∞)恒成立，
令m(x)＝ex－x2，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝ex－2x，再令n(x)＝m′(x)＝ex－2x，则n′(x)＝ex－2，
故当x∈(0，ln2)时，n′(x)<0，n(x)单调递减；当x∈(ln2，＋∞)时，n′(x)>0，n(x)单调递增，
从而n(x)在(0，＋∞)上有最小值n(ln2)＝2－2ln2>0，
所以m(x)在(0，＋∞)上单调递增，(6分)
所以m≤m(0)，即m≤1.(8分)
(3) 若a<0，F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－ax－b在(0，＋∞)上单调递增，
故F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点的必要条件是F(0)<0，即b>1，(10分)
以下证明当b>1时，F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点．
①若a<0，
由于F(0)＝1－b<0，F＝e－－a－b＝e－>0，且F(x)在(0，＋∞)上连续，
故F(x)在上必有零点；(12分)
②若a≥0，F(0)＝1－b<0，
由(2)知ex>x2＋1>x2在x∈(0，＋∞)上恒成立，
取x0＝a＋b，则F(x0)＝F(a＋b)＝ea＋b－a(a＋b)－b>(a＋b)2－a2－ab－b＝ab＋b(b－1)>0，
由于F(0)＝1－b<0，F(a＋b)>0，且F(x)在(0，＋∞)上连续，
故F(x)在(0，a＋b)上必有零点，
综上得，实数b的取值范围是(1，＋∞)．(16分)
20. 解析：(1) 2Sn＝a＋an ，①
2Sn＋1＝a＋an＋1 ，②
②－①得2an＋1＝a－a＋an＋1－an，
即(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.
因为{an}是正数数列，所以an＋1－an－1＝0，
即an＋1－an＝1，
所以{an}是等差数列，其中公差为1.
在2Sn＝a＋an中，令n＝1，得a1＝1，
所以an＝n.(2分)
由2bn＋1＝bn＋得＝·，
所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，
所以＝，即bn＝.(5分)
(2) cn＝＝，裂项得cn＝－，(7分)
所以c1＋c2＋…＋cn＝－.(9分)
(3) 假设存在正整数p，q，r(p<q<r)，使得bp，bq，br成等差数列，则bp＋br＝2bq，
即＋＝.
因为bn＋1－bn＝－＝，
所以数列{bn}从第二项起单调递减，
当p＝1时，＋＝，
若q＝2，则＝，此时无解；
若q＝3，则＝，因为{bn}从第二项起递减，所以r＝4，所以p＝1，q＝3，r＝4符合要求．(11分)
若q≥4，则≥≥2，即b1≥2bq，不符合要求，此时无解；
当p≥2时，一定有q－p＝1，否则若q－p≥2，则≥＝＝≥2，即bp≥2bq，矛盾，
所以q－p＝1，此时＝，令r－p＝m＋1，则r＝2m＋1，所以p＝2m＋1－m－1，q＝2m＋1－m，
综上得，存在p＝1，q＝3，r＝4或p＝2m＋1－m－1，q＝2m＋1－m，r＝2m＋1满足要求．(16分)
21．B. 解析：因为A＝，即＝，即解得
所以A＝.(5分)
方法一：设A－1＝，则AA－1＝＝，即(7分)
解得所以A－1＝.(10分)
方法二：因为＝，
且det(A)＝＝2×2－1×3＝1，
所以A－1＝－1＝.(10分)
C. 解析：(1) 因为直线l的参数方程是： (t是参数)，
所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.(2分)
因为曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ，所以ρ2＝6ρcosθ ，所以x2＋y2＝6x，
所以曲线C的直角坐标方程是(x－3)2＋y2＝9.(5分)
(2) 设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝2.
又d＝＝2.(8分)
所以|3－m|＝4，即 m＝－1或m＝7.(10分)
22．解析：(1) 记 “6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习” 为事件A，则P(A)＝1－＝.
故6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率为.(3分)
(2) ξ所有可能取值是0，2，4，6，记“6名学生中恰有i名被分到甲学校实习”为事件Ai(i＝0，1，…，6)，则
P(ξ＝0)＝P(A3)＝＝，
P(ξ＝2)＝P(A2＋A4)＝P(A2)＋P(A4)＝
＋＝，
P(ξ＝4)＝P(A1＋A5)＝P(A1)＋P(A5)＝
＋＝，
P(ξ＝6)＝P(A0＋A6)＝P(A0)＋P(A6)＝
＋＝，(7分)
所以随机变量ξ的概率分布为：
ξ
0
2
4
6
P

所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＝.(9分)
故随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝.(10分)
23．解析：(1) 因为M(a5，b5)＝2，所以b5为5位数且与a5有2项不同．
因为首项为1，所以a5与b5在后四项中有两项不同，所以b5的个数为C＝6.(3分)
(2) 当M(an，bn)＝0时，bn的个数为C；
当M(an，bn)＝1时，bn的个数为C，
当M(an，bn)＝2时，bn的个数为C，
…
当M(an，bn)＝n－1时，bn的个数为C.
设M(an，bn)的和为S, 则S＝0C＋1C＋2C＋…＋(n－1)C，(6分)
倒序得S＝(n－1)C＋…＋2C＋1C＋0C，　
倒序相加得2S＝(n－1)(C＋C…＋C)＝(n－1)·2n－1，即S＝(n－1)·2n－2，
所以M(an，bn)的和为(n－1)·2n－2.(10分)