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上海浦东新区
2012年高三综合练习
数学（理）试题
注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚.
2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．函数的单调递减区间为________.
2. 已知=______.
3. 已知，为虚数单位，且，则=_____.
4.已知，， 则=_____
5. 已知，则的最大值是_______.
6.方程的解是_________.
7.数列的前项和为，若点（）在函数的反函数的图像上，则=________.
8.在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5位数，则得到能被2整除的5位数的概率为______。
9.若复数（为虚数单位）满足，则在复平面内所对应的图形的面积为＿＿.
10.若直线与曲线 （为参数）没有公共点，则实数的取值范围是____________.
11.一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为___________
12. 已知函数是偶函数，则函数图像与轴交点的纵坐标的最大值是______．
13. 定义一个对应法则：.现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则：。当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为______.
14. 若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.下列命题正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面；
B. 三条相交直线确定一个平面；
C. 对于直线、、，若，则 ；
D. 对于直线、、，若，则.
16．“”是“直线和直线平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
17.已知命题“若，则”，则命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18. 把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止.那么在下面四个数中，可能是剪出的纸片块数的是（ ）
A.1001 B.1002 C.1003 D.1004
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分，每一问6分）
如图，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，点和点为线段的三等分点，线段与弧交于点，且，平面外一点满足平面,。
⑴ 证明：；
⑵ 将（及其内部）绕所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积。
20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.
已知，函数.
(Ⅰ)当时，求使成立的的集合；
(Ⅱ)求函数在区间上的最小值.
21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.
已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，其渐近线方程是，双曲线过点
(1)求双曲线方程
(2)动直线经过的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问:是否存在直线,使G平分线段MN，证明你的结论
22. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.
已知集合具有性质：对任意，与至少一个属于.
（1）分别判断集合与是否具有性质，并说明理由；
（2）①求证：；
②求证：；
（3）研究当和时，集合中的数列是否一定成等差数列.
23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.
已知函数；，
（1）当为偶函数时，求的值。
（2）当时，在上是单调递增函数，求的取值范围。
（3）当时，（其中，），若，且函数的图像关于点对称，在处取得最小值，试探讨应该满足的条件。
参考答案及评分细则
注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚.
2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
注：答案只要等价即得分
1．【答案】或都对.
2.【答案】6
3. 【答案】4．【解析】由有．
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】0.4
8.【答案】
9.【答案】2
10.【答案】或.
11.【答案】.
12.【答案】4
13.【答案】．
14.【答案】
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.【答案】D
16．【答案】C
17.【答案】B
18. 【答案】C
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.
注：本答案只给出了一种解法，其他解法相应给分
19．（本题满分12分，每一问6分）
【解答】⑴ 证明： 为直径，点为弧的中点，
，即。………2分
又平面,平面，
，
由平面，……4分
又平面，
。…………………………………………………………………………6分
⑵ 如图所示，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，，，，……………………………………7分
设 则由，得
，……………………………………………………………………9分
则，由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为 ，高为。…………………………………………………11分
所以该圆锥的体积为。………………………………12分
20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.
【解答】（Ⅰ）由题意，. …………………………………………1分
当时，，解得； ……………………………2分
当时，，解得. ……………………………3分
综上，所求解集为……………………………………………………4分
（Ⅱ）①当时，在区间上，，其图像是开口向上的抛物线，对称轴是，
∵，
∴，
∴……………………………………………………6分
② 当时，在区间[1,2]上，，……8分
③当时，在区间[1,2]上，，其图像是开口向下的抛物线，对称轴是，
当即时，…………10分
当即时，
∴综上， …………………………………………12分
21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.
【解答】 (1)如图，设双曲线方程为=1 …………1分
由已知得………………………………………3分
解得 …………………………………………………5分
所以所求双曲线方程为=1 ……………………6分
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），
∴其重心G的坐标为(2，2）…………………………………………………………8分
假设存在直线，使G(2，2)平分线段MN，
设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有
，∴kl=……………………10分
∴l的方程为y=(x－2)+2,12分
由,消去y,整理得x2－4x+28=0
∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线不存在 …………………………………………14分
22. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.
解：（1）对于集合：
∴集合具有． ……………………………………………………………2分
对于集合：
，
∴集合不具性质．………………………………………………………… 4分
（2）① …………………………………… 6分
②
。
。
，
．………………………………………………………10分
（3）①当时，集合中元素一定成等差数列．
证明：当时，
∴．
即，又，∴．
故成等差数列．…………………………………………………………13分
②当时，集合中元素不一定成等差数列． ………………14分
如中0,1,2,3组成等差数列；中0,2,3,5不组成等差数列．………………15分
③当时，成等差数列．
证明：当时，
又
。
成等差数列．……………………………………………………18分
23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.
解：（1）因为函数为偶函数，所以， 2分
，，
所以，4分
（2）6分
，其中，所以，
8分
由题意可知：，，
所以，10分
（3）
12分
因为，所以与不能同时成立，不妨设，，
所以 ，其中；
由的图像关于点对称，在处取得最小值，，, ， 所以，，①
14分
由的图像关于点对称知道，，，，又因为在处取得最小值，
所以，，
所以 ②
16分
由①②可知，，。18分
8
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