北京市朝阳区2017届高三上学期期中考试数学理试题含答案.doc

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试 数学试卷（理工类） 201611（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集，集合，则ABCD2下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在上单调递减的是AB CD3若，则，的大小关系是A B C D4已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是A B C D 5设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是A B C D 6已知三角形外接圆的半径为（为圆心），且， ，则等于 A B C D7已知函数则函数的零点个数是A4 B3 C2 D18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上 9已知平面向量.若/，则 .10函数的单调递减区间为 .11各项均为正数的等比数列的前项和为.若，则 ， 12已知角A为三角形的一个内角，且，则 ， .13已知函数在上是具有单调性，则实数的取值范围 . 14九章算术是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇”试确定离开长安后的第 天，两马相逢三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）已知数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列. （）求数列的通项公式； （）设数列的前项和为，求证:.16（本小题满分13分） 已知函数（）的图象经过点. （）求的最小正周期；（）若，求的取值范围. 17（本小题满分13分） 如图，已知四点共面，, ,.（）求的值；（）求的长.18 （本小题满分13分） 已知函数，（）若函数是偶函数，试求的值；（）当时，求证：函数在上单调递减. 19（本小题满分14分）已知函数，（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在上单调递减，试求的取值范围；（）若函数的最小值为，试求的值20（本小题满分14分）设是正奇数，数列（）定义如下：，对任意，是的最大奇约数数列中的所有项构成集合（）若，写出集合； （）对，令表示中的较大值），求证：；（）证明集合是有限集，并写出集合中的最小数北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试 数学答案（理工类） 201611一、选择题：（满分40分） 题号12345678答案AC B DCAB A二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15（本小题满分13分）解：（）设的公差为因为成等比数列，所以 即 化简得，即又，且，解得 所以有 7分（）由（）得：所以 因此， 13分16（本小题满分13分）解：（）因为函数的图象经过点，所以 解得 3分所以所以最小正周期为 6分（）因为，所以 所以当，即时，取得最大值，最大值是；当，即时，取得最小值，最小值是 所以的取值范围是 13分17（本小题满分13分）解：（）在中，因为，所以由正弦定理得， 5分（）在中，由得， 所以 解得或（舍） 又因为在中，因为 ，所以 13分18（本小题满分13分）解：（）因为函数是偶函数， 所以恒成立 所以 4分（）由题意可知设，则注意到，由，即，解得由，即，解得所以在单调递减，单调递增所以当，所以在单调递减， 当，所以在单调递减，所以当时，函数在上单调递减. 13分19（本小题满分14分）解：由题意可知（）因为，则， 所以函数在点处的切线方程为 即 3分（）因为函数在上单调递减，所以当时，恒成立即当时，恒成立显然，当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增 所以要使得“当时，恒成立”， 等价于即所以 8分（）设，则当，即时，所以所以函数在单增，所以函数没有最小值当，即时，令得，解得随着变化时，和的变化情况如下：0极大值极小值当时，. 所以. 所以.又因为函数的最小值为，所以函数的最小值只能在处取得.所以.所以.易得.解得 14分以下证明解的唯一性，仅供参考： 设因为，所以，设，则.设，则.当时，从而易知为减函数.当，；当，所以方程只有唯一解20（本小题满分14分）解：（）数列为：9，15，3，9，3，3，3， 故集合 3分（）证明：由题设，对，都是奇数，所以是偶数从而的最大奇约数， 所以，当且仅当时等号成立 所以，对有，且 所以，当且仅当时等号成立9分（）由（）知，当时，有 所以对，有 又是正奇数，且不超过的正奇数是有限的， 所以数列中的不同项是有限的 所以集合是有限集集合中的最小数是的最大公约数 14分