辽宁省沈阳市郊联体2018届高三上学期期末考试文数试题-含解析.doc

2017-2018学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题
数学（文）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：,,所以，故选A.
考点：集合的运算.
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2. 已知复数在复平面内对应的点位于直线上，则的值为（ ）
A. 2 B. C. D. -2
【答案】B
【解析】,在复平面内对应的点为位于直线上，
所以
故选B
3. “”是“直线和直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据题意，若l1∥l2，则有1×3=a×（a-2），解可得a=-1或3，反之可得，当a=-1时，直线l1：x-y+6=0，其斜率为1，直线l2：-3x+3y-2=0，其斜率为1，且l1与l2不重合，则l1∥l2，
当a=3时，，直线l1：x+3y+6=0，直线l2：x+3y+6=0，l1与l2重合，此时l1与l2不平行，所以l1∥l2⇒a=-1，反之，a=-1⇒l1∥l2，故l1∥l2⇔a=-1，
故选C．
4. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】A中,也可能两平面相交，A错。B中，两平面垂直，并不能推出两平面的任取一直线相互垂直，B错.C中由经过一平面垂线的平面与另一平面垂直，B对。D中，两平面平行只有被第3个平面相交所得的交线平行，其余情况不平行，D错，选C.
5. 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线为，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】双曲线的焦距为，得, 即a2+b2=5，…①双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，可得a=2b，…②，解①②可得a=2，b=1．所求的双曲线方程为：
故选D
6. 数列满足 ，数列满足，且，则（ ）
A. 最大值为100 B. 最大值为25 C. 为定值24 D. 最大值为50
【答案】C
【解析】，所以-即数列是等差数列，公差为1，又，所以 ，所以，故.
故选C
7. 已知正数满足，则曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】则，可得f（x）在点（m，f（m））处的切线的斜率为k=m2+n2，
由正数m，n，满足mn=，可得k=m2+n2≥2mn=，则倾斜角的范围是.
故选A
8. 如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

A. 15 B. 13 C. 12 D. 9
【答案】B
【解析】题中的几何体的直观图如图所示,

其中底面ABCD是一个矩形(其中AB=5,BC=2),棱EF∥底面ABCD,且EF=3,直线EF到底面ABCD的距离是3.连接EB,EC,则题中的多面体的体积等于四棱锥E-ABCD与三棱锥E-FBC的体积之和,而四棱锥E-ABCD的体积等于×(5×2)×3=10,三棱锥E-FBC的体积等于因此题中的多面体的体积等于10+3=13.
故选B.
9. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离∴椭圆C的离心率e=
故选A
10. 已知在三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵SA⊥平面ABC，AB⊥AC，故三棱锥外接球等同于以AB，AC，SA为长宽高的长方体的外接球，故三棱锥外接球的表面积S=（22+22+32）π=17π.
故选D.
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，交准线于点，若，则（ ）
A. B. C. 3 D. 5
【答案】B
【解析】得p=2,作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴

故选B
点睛：本题考查抛物线的定义的应用,体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算，解题过程中相似比的应用是关键.
12. 已知函数满足，当时，，若在区间内，函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时 作出f（x）在[，4]上的函数图象如图所示：

因为函数有三个不同的零点，∴与有3个交点，
若直线经过点（4，ln4），则a=,若直线y=ax与y=lnx相切，设切点为（x，y），则 此时切线斜率为，所以
故选D
点睛：本题充分体现了转化思想以及数形结合的思想，即把根的问题转化为函数零点问题，再进一步转化为两个函数图象交点的问题，做出图象直观的判断，再进行计算.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知直线与直线垂直，且与圆相切，则直线的一般方程为__________．
【答案】或（和）
【解析】由直线l1与直线l2：4x-3y+1=0垂直，则可设l1的方程是3x+4y+b=0．由圆C：x2+y2=-2y+3，知圆心C（0，1），半径r=2，或∴l1的方程为3x+4y+6=0或3x+4y-14=0．
故答案为3x+4y+6=0或3x+4y-14=0．
14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则__________．
【答案】15
【解析】当时，，所以，因为是定义在上的奇函数，所以
故答案为15
15. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交双曲线于两点，线段与双曲线的另一交点为，若，则双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】如图所示：

因为，所以|AC|=4|F2C|．由x=-c，代入双曲线的方程，可得，取A（-c，），直线AF2的方程为：y-0= 化为：y=- 代入双曲线可得：（4c2-b2）x2+2cb2x-b2c2-4a2c2=0，
∴xC×（-c）= ∴c-（-c）=5（c-
化为：3a2=c2，解得e=
故答案为
16. 已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当的周长最大时，的面积为__________．
【答案】
..................
故答案为
点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用定义找到了的周长最大时点P在AF′的延长线上，此时直线的倾斜角为，根据余弦定理即可得的长，对的面积进行分割即可得解.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，内角的边长分别为，且.
（1）若，，求的值；
（2）若，且的面积，求和的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1），根据余弦定理即得,再由正弦定理即可得的值；
（2）利用降幂公式化简得即，又得，结合这两个等式即可得和的值.
试题解析：
（1）由余弦定理得.
由正弦定理得.
（2）原式降幂得
化简得
即=10① 又得②

18. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，，且，求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）连接AB1与A1B交于点，则P∥B1C，由此能证明B1C∥平面A1PB；（2）利用得出体积为1，由是直角三角形得出面积为，则利用可得点到平面的距离.
试题解析：
（1）法一 连交于，连.
依题，为矩形，为中点，又为的中点.
为的中位线，.
又平面，平面
平面
（2）=.
易得，为直角三角形，
设点到平面的距离为，
，.即点到平面的距离为.
19. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，椭圆 的离心率，且过抛物线的焦点.
（1）求抛物线和椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，，求证：为定值.
【答案】（1）抛物线的方程为，椭圆的标准方程为；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）利用抛物线C1：y2＝2px上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；求出p，即可得到抛物线方程，通过椭圆的离心率e＝，，且过抛物线的焦点F（1，0）求出a，b，即可得到椭圆的方程；
（2）直线l1的斜率必存在，设为k，设直线l与椭圆C2交于A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线l的方程为y=k（x-1），N（0，-k），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以及判别式，通过向量关系式即可求出λ+μ为定值．
试题解析：
（Ⅰ）抛物线的准线为， 所以,所以
抛物线的方程为     
所以，,解得所以椭圆的标准方程为  
(Ⅱ)直线的斜率必存在,设为,设直线与抛物线交于
则直线的方程为, 
联立方程组:
所以 ,  (*) 
由得:
得:             
所以
将(*)代入上式,得
20. 已知椭圆：的焦点的坐标为，的坐标为，且经过点，轴.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过的直线与椭圆交于两不同点，在椭圆上是否存在一点，使四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由的坐标为，且经过点，轴，得，解得的值即可得椭圆的方程；（2）假设存在符合条件的点M（x0，y0），当斜率不存在，推出矛盾不成立，设直线l的方程为，与椭圆的方程联立得到根与系数关系，利用平行四边形的对角线相互平分的性质可得点M的坐标，代入椭圆方程解得即可．
试题解析：
（1），解得.所以椭圆的方程.
（2）假设存在点，
当斜率不存在，，，不成立；
当斜率存在，设为，设直线与联立得.
.
，则的中点坐标为
AB与的中点重合，
得 ，
代入椭圆的方程得.解得.
存在符合条件的直线的方程为：.
21. 设函数，已知曲线在处的切线的方程为，且.
（1）求的取值范围；
（2）当时，，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.

试题解析：
（1）．
因为，，
所以切线方程为．
由，得的取值范围为．
（2）令，得，．
①若，则．从而当时，；当时，．即在单调递减，在单调递增．故在的最小值为．而，故当时，．
②若，．当时，．即在单调递增．故当时，．
③若，则．从而当时，不恒成立．故
综上的的最大值为．
点睛：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，对于不等式恒成立问题，转化为求最值是关键.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上任意一点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据直线的极坐标方程，即可求得直线l的直角坐标公式，由椭圆C的参数方程即可求得曲线C的直角坐标方程；
（2）由（1）可得丨x-y-4丨=丨2cosφ-sinφ-4丨，根据辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得|x-y-4|的最小值．
试题解析：
（1）由ρcosθ-ρsinθ=4，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即得直线l的直角坐标方程为 ；曲线的参数方程为（为参数）所以.
（2）设，则丨x-y-4丨=丨2cosφ-sinφ-4丨=|cos（φ+α）-4丨=4-cos（φ+α）（tanα=）当cos（φ+α）=1时，|x-y-4|取最小值，最小值为4-.
23. 选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若的解集为， ，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）当时，，利用零点分段法解得的范围，即可得不等式解集；
（2）若的解集为得，利用均值不等式得，代入得关于的不等式，即可解得.
试题解析：
（1）当时， 或 或 所以解得或即不等式的解集为.
（2）由的解集为得，由均值不等式得，当且仅当时取等.得.
点睛：本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，利用分类讨论法去掉绝对值符号是解题的关键，注意计算的准确性.